Topology and Geometry in OpenCascade-Face
eryar@163.com
摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程序說明OpenCascade中的邊界表示的具體實現，即拓樸與幾何的聯系。對具有幾何信息的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文僅對面（Face）進行說明。
關鍵字Key Words：OpenCascade、BRep、Topology、Geometry、Face
一、引言 Introduction
面（Face）由一個外環和若干個內環來表示，內環完全在外環之內。根據環（Wire）的定義，在面上沿環的方向前進，左側總在面內，右側總在面外。面有方向性，一般用其外法矢方向作為該面的正向。若一個面的法矢向外，稱為正向面；反之，稱為反向面。面的形狀（surface）由面的幾何信息來表示，可以是平面或曲面，平面可用平面方程來描述，曲面可以用控制多邊形或型值點來描述（NURBS曲面），也可用曲面方程（隱式、顯式或參數形式）來描述。對于參數曲面，通常在其二維參數域上定義環，這樣就可以由一些二維的有向邊來表示環，集合運算中對面的分割也可在二維參數域上進行。
OpenCascade中的面結構如下圖所示：
Figure 1.1 OpenCascade Face
根據其類圖可知，面除了其參數曲面mySurface外，還包含顯示曲面的剖分（由三角形組成）。當面在著色顯示模式下時會計算出面的三角形。可視化的算法是由BRepMesh::Mesh()來為每個面三角剖分后用來顯示。
二、面 Face
面（Face）是用來描述三維實體邊界的拓樸實體。面是由底層的曲面及一個或多個環（Wire）來描述。例如，一個圓柱體包含三個面：底面、頂面和側面。每個面都是無限的（無界的）（Geom_Plane和Geom_CylindricalSurface），通過邊界來限定無限的面得到面。即用位于Geom_Circle上的邊形成的環，限定出底面和頂面。側面包含四條邊：其中兩條邊與頂面和底面其享，剩下的兩條邊是縫合邊（seam edge），參看之前的討論。限定側面的環包含縫合邊兩次，兩個縫合邊具有不同的朝向。
2.1 曲面 Surface
讓我們簡要回顧一下什么是曲面（surface）。如果你在高中時學過數學分析（mathematical analysis），那么你可能對這個概念已經熟記于心。如果沒學過，那么可能需要讀些文章來自學。在wikipedia上有關于參數曲面的簡單例子。
曲面將二維參數空間{u, v}映射到三維空間。如下圖所示：
Figure 2.1 Map parameter space{u, v} into 3D space
參數區間可以有界，也可以是無界的，也可以只在一個方向上有界。如平面（Plane）的參數空間是無界的；NURBS是有界的；圓柱面（Cylindrical Surface）在U方向上有界（U∈[0，2π]），在V方向上是無界的。
Geom_Surface::Value()返回一個對應于參數空間中的參數（U，V）的空間點（X，Y，Z）。例如：地球上的任意一點都由緯度（V）和經度（U）表示，但是在世界坐標系中可以看作三維點（假如地球的中心定義為原點）。這個函數是純虛函數，所有派生自Geom_Surface的類都有對這個函數的實現，使計算各種曲面上對應參數的空間點的方式統一。
讓我們回想一下，邊必須具有三維曲線（3D Curve）和曲面空間中的參數曲線（pcurve）。而OpenCascade要求面的邊界（環wire）在三維和二維空間中必須是閉合的。因此，圓柱的側面是采用前面我們討論的那樣來描述的。
2.2 朝向 Orientation
面的朝向表示面的法向與曲面法向之間的關系（Face orientation shows how face normal is aligned with its surface normal）。若面的朝向是TopAbs_FORWARD（向前），則面的法向與曲面的法向一致；若面的朝向是TopAbs_REVERSED（反向），則面的法向與曲面的法向相反。面的法向表示材質的位置，材料位于面的背面。在正確描述的實體中，所有面的法向都是向外的，如下圖所示：
Figure 2.2 In a correct solid body all face normals go outward
面上的材料是由邊的朝向確定的。方向是由曲面不是面（）的法向和邊的微分的叉積確定。若邊的朝向向前，則邊的導數等于它的三維曲線的導數；若邊的朝向反向，則邊的導數與它的三維曲線的導數相反。也許考慮邊的參數曲線會更易于理解：假如邊是向前的，材料在它的左側，假如是反向的，則材料在它的右側。這讓我想起了格林公式中對平面區域的邊界曲線正向的規定：對平面區域D的邊界曲線L，我們規定L的正向如下：當觀察者沿L的這個方向行走時，D內在他附近處的那一部分總在他的左邊。
Figure 2.3 Orientation of the edge
當用積分區域的概念來理解邊的朝向時好像要容易些。把參數空間看作積分區域D，其中藍色的邊表示材料在參數曲線的右側；紅色的邊表示材料在邊的左側。
2.3 容差 Tolerance
面的容差的幾何意義是包圍面的一個具有厚度的板。如下圖所示：
Figure 2.4 Face Tolerance
與邊和頂點的容差相比，建模算法中用到面的容差的情況相對要少。通常都使用默認值Precision::Confusion()。通常情況下，OpenCascade要求注意以下條件：
當邊位于面上，頂點位于邊上時，面的容差<=邊的容差<=頂點的容差。
2.4 三角剖分 Triangulation
除了面的參數表示，為了面的顯示，需要對面進行三角剖分，剖分得到的三角形也保存在面的數據結構中。當在著色渲染模式下時，可視化算法內部調用了BRepMesh::Mesh()來對每個面進行三角剖分，并將三角剖分得到的三角形加到面的數據結構中。
2.5 附加位置 Additional location
與邊和頂點不同，面有附加位置信息（TopLoc_Location），它是面（BRep_TFace）的成員變量。所以，在使用底層曲面或三角剖分得到的三角形時，不要忘了將其考慮進去。
三、示例程序 Example Code
3.1 底層創建面并訪問其數據 Creating a face bottom-up and accessing the data
與創建邊和頂點一樣，需要類BRep_Builder和Brep_Tool來從底層創建面和訪問面中的數據。代碼如下所示：
1 BRep_Builder aBuilder;
2 TopoDS_Face aFace;
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4 aBuilder.MakeFace (aFace, aSurface, Precision::Confusion());
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8 TopLoc_Location aLocation;
9 Handle(Geom_Surface) aSurf = BRep_Tool::Surface (aFace, aLocation);
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11 gp_Pnt aPnt = aSurf->Value (aU, aV).Transformed (aLocation.Transformation());
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13 //or to transform a surface at once
14 //Handle(Geom_Surface) aSurf = BRep_Tool::Surface (aFace);
15 //gp_Pnt aPnt = aSurf->Value (aU, aV);
16 Handle(Poly_Triangulation) aTri = BRep_Tool::Triangulation (aFace, aLocation);
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18 aPnt = aTri->Nodes.Value (i).Transformed (aLocation.Transformation());
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一定要考慮面的附加位置信息。
四、結論 Conclusion
面是邊界表示法BRep中有幾何數據的最后一個拓樸結構。為了面的顯示，需要對其進行三角剖分，三角剖分后的數據也是保存在面的數據結構中。面還有附加位置數據需要考慮，若不考慮附加位置，剖分后的三角形都是相對于原點的。
從底層創建面和訪問面的屬性數據，與頂點和邊一樣，使用類BRep_Builder和類BRep_Tool來實現。
五、參考資料
1. Roman Lygin, OpenCascade notes, opencascade.blogspot.com
2. 孫家廣等. 計算機圖形學. 清華大學出版社
3. OpenCascade source code.