1 Introduction
用计机生成三维物体的真实图形，是计机囑Ş学研I的重要内容。真实图形在仿真模拟、几何造型、广告媄视和U学计算可视化等许多领域都有着q泛应用。在用显C备描q物体的囑ŞӞ必须把三l信息经q某U投影变换在二维的显C^面上l制出来。从三维投媄Cl的降维操作Q会D囑Ş的二义性。要消除q类二义性，必dl制时消除被遮挡的不可见的线或面Q习惯上UC为消除隐藏线Hidden Line Removal和隐藏面Hidden Face Removal?/p>
q是渲染昄上对消隐的需求，在根据三l模型自动生成工E图的工E设计Y件中Q对消隐的需求有所不同?/p>
工程设计软g与机械设计Y件不同，工程设计软g一ơ出图消隐的模型量大Q对出图的算法要求主要有Q?/p>
- 主要使用消隐U算法；
- 消隐得到的线能找C三维模型的关p，方便标注模型信息Q如模型名称、规格等Q?/li>
- 自动标注布局法Q能Ҏ注的名称、规格等自动布局Q减手工调_
- 自动寸标注Q?/li>
- W号化处理，如管道模型能用一条线W号化处理；
其实最后ȝ成一句话是一键根据模型生成能交付的图U。虽然现在技术上具备三维模型下R间的能力Q但是目前二l图U怾然是设计交付、加工制造主要依据。工E类设计软g主要的功能就是快速徏模，撞和自动囄生成。当模型量大Ӟ消隐速度快及自动生成的标注文字排列整齐（或满_E习惯）成了二维囄自动生成的核心技术，也是E序处理中的隄?/p>
2 HLR
几何内核一般都提供HLR法Q用来根据模型投q成二l工E图。OpenCASCADE的HLR提供了隐藏线消隐法?/p>
https://www.spatial.com/zh/products/cgm-hlr-hidden-line-removal
OpenCASCADE 提供了两U消隐算法：HLRBRep_Algo和HLRBRep_PolyAlgo。这些算法都是基于相同的原理Q比较Ş状每条边相对每个面的可见性，q?计算每条边的可见部分与消隐部分。算法通过计算在指定投影方向上的物体显C特性，去除或标记被面遮挡的辏V这两个法也与一些提取功能配合用，如重构一 个简化的模型{，化后新的模型pl成Q就是在投媄方向上的轮廓Uѝ?/p>
3 边的分类
OpenCASCADE的HLR中将边分Z下类型：
- Sharp Edges
- Smooth Edges
- Sewn Edges
- Outline Edges
- Isoparameter Edges
从类HLRBRep_HLRToShape和类HLRBRep_PolyHLRToShape中给Zq些边的一些定义。其中Sharp Edge表示C0q箋Q非G1q箋Q的边，是一般EdgeQ?/p>
Smooth Edge表示G1q箋Q非G2 q箋Q的边；
Sewn Edge表示G2q箋的边Q?/p>
Outline Edge表示模型的轮廓边Q这U类型的边不在BREP数据中，需要根据投影方向生成；
Isoparameter Edge表示面的{参U生成的边，q种cd的边不也不在BREP数据中；
其中Sharp Edge、Smooth Edge和Sewn Edge一般都是BREP中的EDGE数据Q而Outline Edge和Isoparameter Edge是根据设|额外生成的辏V理解边的这些定义，方便对HLR法q行理解。HLR法是相对简单的法Q主要是将上述五种cd的边与面q行求交Q判断遮挡关pR?/p>
目前OpenCASCADE中的HLR法代码写得有点乱，上次在深圳ogg的俄|斯开发h员提到要重构HLR部分的代码。深入理?HLR法Qؓ自动生成囄功能打下基础?/p>
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eryar@163.com
1 Introduction
OpenCASCADE中几何曲U与曲面求交使用cGeomAPI_IntCSQ是对类IntCurveSurface_HInter的简单封装。在IntCurveSurface_HInter中对曲线和曲面求交分Z下几U类型：
- PerformConicSurfQ二ơ曲U与曲面求交Q其中又分ؓ两类Q二ơ曲U与二次曲面求交和二ơ曲U和自由曲面求交Q?/li>
- InternalPerformCurveQuadricQ自由曲U与二次曲面求交Q?/li>
- InternalPerformQ自由曲U和自由曲面求交Q?/li>
本文主要介绍曲线与曲面求交的实现原理?/p>
2 二次曲线与二ơ曲面求?/h2>
二次曲线与二ơ曲面求交用IntAna_ConicQuad计算Q主要思\是将曲线用参数方E表C，代入二次曲面的代数方E。二ơ曲面可以用二ơ多式表示Q将二次曲线与二ơ曲面相交表C成一个多式方程Q用math_DirectPolynomialRoots对多式方程q行求解?/p>
3 二次曲线与自由曲面求?/h2>
二次曲线与自由曲面求交将曲面使用IntCurveSurface_Polyhedron在UQV上采L散得到grid|格。这个类实现与IntPolyh_MaillageAffinagecd能有重复?/p>
IntCurveSurface_ThePolygon多段U与Intf_InterferencePolygonPolyhedron |格求交Q根据多D늺与网格求交情况，扑ֈ初始|使用IntImp_IntCS计算_倹{与曲面求交的Marching法cMQ用P代法去计精交炏VP代方EؓIntImp_ZerCSParFuncQ写个方E的Value()D和Derivatives()微分计算公式?/p>
曲U与曲面求交问题转化为求曲面参数u,v和曲U参数wQ曲线C(w)曲面S(u,v)上的炚w合，建立函数如下Q?/p>
F(u,v,w)=S(u,v) - C(w)
所求的_交点满方程F(u,v,w)=0QFZ含有三个坐标的矢量，对应函数Value()Q?/p>
Fx(u,v,w)=Sx(u,v) - Cx(w) = 0
Fy(u,v,w)=Sy(u,v) - Cy(w) = 0
Fz(u,v,w)=Sz(u,v) - Cz(w) = 0
上面为含有三个方E的以u,v,w为变量的非线性方E组Q精交点就是非U性方E组的解。用类math_FunctionSetRoot应用Newton-Raphsonq代法求解非U性方E组的解。用Newtonq代法有个前提条件是要求非线性方E组一阶可|卌写出Jacobianq代矩阵Q即上述函数Derivatives()的实现原理：
4 自由曲线与二ơ曲面求?/h2>
自由曲线与二ơ曲面求交IntCurveSurface_TheQuadCurvExactInter Q通过cIntCurveSurface_TheQuadCurvFuncOfTheQuadCurvExactHInter建立二次曲面与曲U之间的函数Q是求解曲线上参数U的一元函数?/p>
5 自由曲线与自由曲面求?/h2>
自由曲线与自由曲面求交和二维自由曲线求交cMQ采用的L法。即曲UK过采样L成多D늺PolygonQ将曲面采样生成|格PolyhedronQ通过cIntCurveSurface_TheInterferenceOfHInter来计多D늺与网格的怺?/p>
包Intf主要用来计算二维多段Uѝ三l多D늺及网格的怺。根据离散计的_交点，再根据类IntCurveSurface_TheExactHInter使用q代法求得精交炏V这个思想与曲面和曲面求交相同?/p>
6 求交l果
曲线与曲面求交的l果主要也是保存在类IntCurveSurface_Intersection对象中，q个cȝ设计与二l曲U求交类|不够直接?/p>
可以看到IntCurveSurface_Intersectionq个cȝ构造函数是protected的，意思是不能直接使用Q通过zcIntCurveSurface_HInter调用SetValues()函数求交结果保存v来。求交结果ؓ交点IntCurveSurface_IntersectionPoint和交UIntCurveSurface_IntersectionSegment?/p>
其中交点中IntCurveSurface_IntersectionPoint保存了三l坐标点Q交点在曲面上的U,V参数Q交点在曲线上的参数U及相交状态。交U主要是U现面和重合部分的几何奇异情冉|据?/p>
从类图上可以看出Q这个套路同LCHLR法中，理解q个套\对理解HLR法有帮助?/p>
7 Conclusion
lg所qͼOpenCASCADE中将曲线与曲面求交根据曲U和曲面cd的不同分别处理。二ơ曲U曲面求交依赖IntAna包，自由曲线和自由曲面求交用离散法Q最l实现算法与两个曲面求交的Marching法cMQ通过L得到的精交点Q再代入q代方程求得_解。其中把曲线或曲面离散的采样Ҏ有考虑曲线或曲面的曲率{，采样Ҏ量较大，会媄响性能 。曲面采L散代码与曲面求交中的有重复。从几何求交cM可以看到没有容差的输入，可以思考一下这个问题?/p>
TKGeomAlgo中除了拟合算法外Q大部分代码主要是U线求交、线面求交及面面求交法。理解这些算法的实现原理QؓBoolean法的求交逻辑打下基础?/p>
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1 Introduction
OpenCASCADE中对二维曲线求交和三l曲U求交是不同的，三维曲线求交l一使用L法，二维曲线求交Ҏ曲线cd的不同分U类型进行处理。二l曲U求交中q提供了计算自交的直接接口。在TKGeomAlgo中，主要内容是拟合、求交算法，理解求交法的实现原理，辑ֈ能阅d修改源码的状态，能够分析和解军_际遇到的问题Q理解OpenCASCADE的能力边界，Ҏ需要选择所需要的功能Q软gl果可控。本文主要介l二l曲U相交的实现原理?/p>
׃OpenCASCADE开发时间相对久q，在二l曲U求交相关代码中大量使用了宏定义的方式来实现C++ 的模板template能力Q宏定义在类的XXX_0.cxx文g中，对应模板实现?.gxx中：
q种实现方式会让代码的可L变差，不利于代码维护。应该用C++的方式对q些*.gxx代码重构Q增Z码可L和可维护性?/p>
2 求交分类
二维求交使用cGeom2dAPI_InterCurveCurveQ?q个cL对类Geom2dInt_GInter的封装。在cGeom2dInt_GInter中，如果只输入一条曲U，可以计算自交Q如果输入两条曲U，计算两条曲线的相交?/p>
- IntCurve_IntConicConicQ二ơ曲U与二次曲线求交。二ơ曲U与二次曲线求交都先使用几何Ҏ计算交点Q再判断是否在参数范围内Q?/li>
- Geom2dInt_TheIntConicCurveOfGInterQ二ơ曲U与L曲线求交。二ơ曲U与L曲线求交通过cGeom2dInt_MyImpParToolOfTheIntersectorOfTheIntConicCurveOfGInter建立距离方程Q用类math_FunctionAllRoots来对方程q行求解Q?/li>
- Geom2dInt_TheIntPCurvePCurveOfGInterQQ意曲U与L曲线求交。自由曲U求交用离散法IntCurve_IntPolyPolyGenQ用类Geom2dInt_ThePolygon2dOfTheIntPCurvePCurveOfGInter曲UK过采样点生成多D늺PolylineQ用类Intf_InterferencePolygon2d计算多段U之间的_交点，再用类IntCurve_ExactIntersectionPoint通过_交Ҏ到曲U上的精交点；
q些c都是从cIntRes2d_IntersectionzQ?/p>
从上囑֏知，二维求交l果cIntRes2d_Intersection相关zcd知二l求交与HLR法也有关系Q理解二l曲U求交逻辑Q对理解HLR代码也有帮助?/p>
3 自交计算
当只输入一条曲U时Q可以对曲线q行自交计算Q主要实现逻辑为：若ؓ普通二ơ曲U，则不会自交；若是其他曲线Q用离散法ҎU进行自交计。代码如下图所C：
4 求交l果
二维曲线求交l果保存到类IntRes2d_Intersection中，主要包含两部分：
- IntRes2d_IntersectionPointQ交Ҏ据，保存交点坐标|交点在两个曲U上的参敎ͼ及两条曲U在交点处的q渡状态TransitionQ?/li>
- IntRes2d_IntersectionSegmentQ交U数据，当两条曲U有重叠时的几何奇异情况Ӟ求交l果ZU；
因ؓcIntRes2d_Interseciton的构造函数protectedQ所以不能直接用这个类Q都是通过其派生类使用函数SetValues()计得到的交点和交U数据保存v来。这里类的设计比较繁琐，代码可读性较差?/p>
5 Conclusion
OpenCASCADE对于二维曲线求交q行分类处理Q根据曲U类型是二次曲线、参数曲U分成三c：二次曲线与二ơ曲U求交、二ơ曲U与参数曲线求交和参数曲U与参数曲线求交Q不同的求交cd采用不同的策略可以提高求交性能和稳定性。用离散法计算二维曲线自交。从求交l果来看Q也处理了几何奇异问题，xUK叠情c?/p>
对于曲线求交q有很大改进I间Q?/p>
- 使用C++~码风格重构*.gxx代码Q提高代码可L，方便代码l护Q?/li>
- 对于自由曲线求交的离散法中计两条多D늺法中引入BVH来加速；
- 曲U离散成多段U时考虑曲线的曲率变化，不要均匀采样Q减多D늺数量Q?/li>
- 对于三维曲线求交都是使用了离散法Q徏议像二维曲线求交q样q行分类处理Q以及引入BVHQ提高性能和稳定性；
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1 Introduction
OpenCASCADEZl曲U提供了求交及自交的c?Geom2dAPI_InterCurveCurveQ当传入一个二l几何曲U时可以计算自交self-intersections。但是没有提供直接的三维几何曲线求交的类Q也没有直接的计自交的cR有人同学问OpenCASCADE有没有三l曲U自交的功能Q其实理解两个Edge求交法后，可以自己实现一个自交函数?/p>
2 Self-Intersection
因ؓOpenCASCADE中两条三l曲U求交的cLIntTools_EdgeEdgeQ其实现原理是基于包围盒的分割法。基于这个分割递归思想Q实现自交也可以参考这个思\。算法的程为：输入一条要计算自交的边EdgeQ对边进行离散采P采样得到的每段曲线的包围盒生成BVHq行怺，BVH中包围盒怺的两条曲U调用IntTools_EdgeEdge来计相交?/p>
L得到的曲U段会比较多Q如果用两个循环来检两两曲U段的相交情冉|能差，可以引入BVH提高性能?/p>
3 Test
可以通过插值Interpolate来构造曲U测试，指定几个自交Ҏ构造插值曲Uѝ计结果如下图所C：
与曲U求交原理类|都是使用L的方法，可以思考一下数值算法如何处理?/p>
1 Introduction
OpenCASCADE中提供了二维几何曲线的求交类Geom2dAPI_InterCurveCurveQ对应到三维几何只提供了GeomAPI_IntCS, GeomAPI_IntSSQ没有提供几何的GeomAPI_IntCC求交cR这些几何求交一般用的是数值算法，卌方程。对于两条几何曲UP(u1), Q(u2)Q求交就是解P(u1) - Q(u2) = 0q个方程。ؓ什么对于三l几何曲U没有提供数值算法？
对于拓朴Ҏ供了求交法IntTools_EdgeEdgeQ这个类是用类g曲面求交的离散网格法Q用了L包围盒法?/p>
Z包围合盒的算法是个递归法Q算法思\Q?/p>
- 1) 查两条边在参数范围内的包围盒Q若I间q涉Q则q行下一步；否则退出本ơ判断；
- 2) 扑և两条边包围盒的公共部分对应的参数Q若没找刎ͼ则退出本ơ判断；
- 3) q将W一条边在参数范围内分割??部分Q执行第一步；
- 4) 退出条Ӟ没有怺或找到相交的参数|
W一ơ是分别分成2部分Q?/p>
在递归函数FindSolutions()中，只去对第一条边q行参数分割?部分Q?/p>
2 辅助函数
W一个辅助函数是FindParameters()Q用来更新第二条边在W一条边的的包围盒中的参数范_使用q个参数范围更新包围盒?/p>
W二个辅助函数是CheckCoincidence()Q用来检两D边是否重合。第一步是快速计，对边采样10个点Q若通过初步_检，后面再深入计。这些算法都不太高效?/p>
W三个辅助函数是IsIntersection()用来判断两边条在参数范围内是否相交?/p>
3 试
两条边求交q程中的包围盒显C出来，方便查看理解法。先试两个圆之间的怺Q?/p>
其中W一条边是绿色的圆，求交q程中的包围盒也用绿色表C；W二条边是红色的圆，求交q程中的包围盒也用红色表C。因为圆是闭合的Q第一ơ都分割?部分。将上面交点处理攑֤Q?/p>
后面都是第一条边分割?部分Q然后分别用q?部分的包围盒L与第二条边相交的参数范围Q再更新W二条边的包围盒。l放大上面交点处Q?/p>
发现对于两个圆的求交Q执行了100ơ，效率不高。又用两个Bh曲线求交来测试：
发现对于Bh曲线求交速度较快?/p>
4 Conclusion
曲线求交需要考虑重合部分Qopencascae中没有用数值算法来计算Q而是采用Z包围盒的法来处理。这U算法一般情况下可以快速找到求交解Q有旉归较深Q对于基本曲U可以像曲面求交一样分cd理以提高性能。opencascade中对于三l曲U求交算法性能q有优化I间?/p>
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1 Introduction
蒙皮Q?strong>SkinningQ就是将一截面曲U（section curvesQ融合在一L成曲面的q程。蒙皮只?strong>放样Q?strong>LoftingQ的新名词，放样可以q溯到计机没未诞生的时候，从那时到现在Q它一直在造船、汽车和航空工业中被q泛地应用?/p>
扫掠Q?strong>SweepQ研I的是一条截面曲U沿L路径曲线扫掠的问题。根据扫掠曲面的定义Q扫掠曲面未必都能表C成NURBS形式Q所以一般采用拟合算法来D。一U算法是Z蒙皮法，沿着路径曲线变换和采样N个截面，然后它们作为截面曲U进行蒙皮。随着采样数量N的增加，生成的拟合曲面精度也提高?/p>
本文主要介绍OpenCASCADE中扫掠造型法的用，除了上面一般的扫掠曲面Q还有一些高U用法?/p>
2 Sweep with Guide
在DRaw Test Harness中输入命令setsweep可以看到有指定引?UGuide的选项Q?/p>
q个引导UGuide有什么用呢？下面l出一个示例：
其中Profile是扫掠截面，Spine为扫掠脊U，Guide为扫掠引导线。扫掠结果就是一个螺旋的d模型。在Draw Test Harness的例子中Q给Z个关于引导线扫掠的示例，两个dQ?/p>
把这两个例子理解基本能掌握扫掠算法的使用ҎQ从q两个例子可以看出，OpenCASCADE扫掠造型能力q不错?/p>
3 Sweep on Face
扫掠q有一个能力是使扫掠截面垂直于一个支撑面Q这是一个有用的选项。下面还是在Draw Test Harness中测试一下：
4 Conclusion
OpenCASCADE中扫掠造型法功能q比较强大，除了支持常规的扫掠外Q还支持带引导线的扫掠，及带引导U的多个截面的变形扫掠，q支持截面始l垂直于支持面的扫掠选项。扫掠的关键是确定截面的变换规则Q底层的蒙皮拟合法q是比较E_的。把Draw Test Harness中两个钻头的例子理解后，基本上应该能够掌握OpenCASCADE中扫掠造型的用方法?/p>
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1 Introduction
OpenCASCADE中对面的怺定义如下图所C：
三维I间中两个带有Geometry Surface的面FaceQ当两个Surface之间的距d于Face中的容差ToleranceQ则认ؓ是相交的。一般两个面之间怺得到的是交线Q还有一些情况得到的是交点，如下图所C：
布尔q算中面的相交是相对复杂的问题，除了考虑上述交线和交点的问题以外Q还要考虑有重叠的情况Q对于新生成的交U，q要考虑生成PCurveQ若面上有开孔，q要穿q开孔区域的交线排除{；最后要考虑如何保存面相交的l果。相交的计算在函敎ͼ
最l是调用IntTools_FaceFace来计两个面的相交。ƈ计结果交U和交点Q是否重叠等信息保存到BOPDS_InterfFF中：
2 Face Info
cBOPDS_FaceInfo用来存储以下信息Q?/p>
注意PBo31和PBSc1Q一个状态是OnQ一个状态是Section。在怺处理cBOPAlgo_PaveFiller中通过函数BOPAlgo_PaveFiller::UpdateFaceInfo这些相交的状态更新?/p>
3 Tangent Face
从前面的文章关于边与边、边与面是否有重叠时采用了固定采L来处理的不严谨的逻辑来看Q判断线的重叠是个复杂的问题Q判断面与面的重叠就相对更复杂。本文先从简单入手，先看对于最单的两个q面重叠的检，引出大家对于L两个面重叠区域检的思考。对q种Ҏ的情况处理在IntTools_FaceFace中的函数PerformPlanes()中实现。其中用二ơ曲面的几何求交法进行处理，源码如下Q?/p>
通过源码可以看出Q若两个q面之间的法向夹角小于TolAng及距d于TolӞ则认Z个面是一LIntAna_SameQ当距离大于TolӞ则认为没有相交IntAna_Empty?/p>
对于重叠的^面，theTangentFaces讄成true表示是重叠的。这里留下一个问题大家思考：如何判断自由曲面的重叠情况？
4 Hole
当面上有孔洞Ӟq要对交U进行处理，以排除掉孔洞中的交线。当使用IntTools_FaceFace来计两个面的交U时Q可以看CU的范围不正，没有处理孔洞情况Q甚至也没有处理面的边界。如下图所C红色的交线Z用IntTools_FaceFace计算得到的：
当用BOPAlgo_PaveFiller计算交线q结合PaveBlock得到交线昄如下图所C：
虽然计算两个面之间的怺处理最l是调用的IntTools_FaceFaceQ但是要得到正确的交UK要用类BOPAlgo_PaveFiller。这里也留下问题供大家思考：Z么IntTools_FaceFace计算的交U范围不正确Qؓ什么BOPAlgo_PaveFiller计算的交U正？
5 Conclusion
lg所qͼ布尔数据中面的相交的l果可能有交U，也可能有交点。将求交l果保存到FaceInfo中。从单的两个q面重叠来看Q将重叠的状态用变量theTangetFaces来保存。那L两个曲面重叠如何判断呢？面的怺虽然提供cIntTools_FaceFace来计，但是没有正确处理交线的范_Z么BOPAlgo_PaveFiller中可以正处理交U呢Q?/p>
大家中U国庆节日快乐！
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1 Introduction
在OpenCASCADE中对于边的相交分Zc：边与点，边与边，边与面，边与点的怺已经归结为点与边的相交处理了Q边的相交主要处理边与边Q边与面的相交。边与边、边与面的相交会引入一个新的数据结?公共部分Common PartQ用于保存重叠的公共部分数据?/p>
2 Edge/Edge Interferences
对于两条边的怺是指在两条边的某些地方的距离于边的容差之和Q主要分ZU情况，一U是两条边只有一个交点的情况Q一U是有重叠部分的情况Q先看只有一个交Ҏ况：
我们在DRAW中通过脚本构造最单的情况来测试?/p>
在处理边与边怺的函数BOPAlgo_PaveFiller::PerformEE()中，Ҏ两条边调用BOPAlgo_EdgeEdgeq行求交。从q里可以看到Pave Block的用，相当于对每两条边上的每对Pave Block部分q行求交。这里有一些优化空_目前是用的两个循环处理Q可以尝试用BVH来提升一些性能。当每对Pave Block对应的点的烦引号一致时Q即每对Pave Block的端炚w叠时Q用快速计的法来判断是否有重叠?/p>
对于边的求交l果保存到BOPDS_InterfEE中，都会保存是哪两条边相交及怺的公共部分。对于相交于一点的公共部分的类型ؓTopAbs_VERTEXQ对于有重叠部分的公共部分类型ؓTopAbs_EDGEQ?/p>
当两Ҏ有重叠部分时Q如下图所C：
如何两条边的公共部分呢Q在函数IntTools_EdgeEdge::IsCoincident()中实玎ͼ
//=======================================================================
//function : IsCoincident
//purpose :
//=======================================================================
Standard_Boolean IntTools_EdgeEdge::IsCoincident()
{
Standard_Integer i, iCnt, aNbSeg, aNbP2;
Standard_Real dT, aT1, aCoeff, aTresh, aD;
Standard_Real aT11, aT12, aT21, aT22;
GeomAPI_ProjectPointOnCurve aProjPC;
gp_Pnt aP1;
//
aTresh=0.5;
aNbSeg=23;
myRange1.Range(aT11, aT12);
myRange2.Range(aT21, aT22);
//
aProjPC.Init(myGeom2, aT21, aT22);
//
dT=(aT12-aT11)/aNbSeg;
//
iCnt=0;
for(i=0; i <= aNbSeg; ++i) {
aT1 = aT11+i*dT;
myGeom1->D0(aT1, aP1);
//
aProjPC.Perform(aP1);
aNbP2=aProjPC.NbPoints();
if (!aNbP2) {
continue;
}
//
aD=aProjPC.LowerDistance();
if(aD < myTol) {
++iCnt;
}
}
//
aCoeff=(Standard_Real)iCnt/((Standard_Real)aNbSeg+1);
return aCoeff > aTresh;
}从上qC码可以看出，对于重叠部分的检是一条边Ҏ范围分?3D采LQ计每个点到另一条边的距，满条g的采L的数量超q?2个，基本认ؓ是重叠的。从q里可以看出q样重叠稍微有点不严}。固定采L数量对于段曲线来说数量q大Q对于很长的曲线来说数量又偏，q里有待提高。如果重叠，则将公共部分的数据保存v来：
对于试的TCL脚本不会走这个通用的判断流E，会直接有IntTools_EdgeEdge::ComputeLineLine()函数来处理这U特D情况：
从保存的数据可以看出Q公共部分的怺cd为TopAbs_VERTEXQ及交点分别在两条边上的参数。关于有重叠部分的两条边怺Q同学们可以自行使用DRAW脚本来测试一下?/p>
3 Edge/Face Interferences
边与面的怺会遇到和边与边相交类似的情况Q即会有重叠部分Common Part。也分ؓ两种情况Q一U情冉|边与面只有一个交点的情况Q交点可能会有多个；一U情冉|有重叠部分的情况?/p>
我们可以在用脚本来试一下重叠的情况Q?/p>
从代码中可以看出当边的端点在面上Ӟ则会判断边与面会不会重叠Coincidence。判断逻辑与判断边是否重叠cMQ都是用固?3个采L的方式处理，q加上定位器来判断点是否在面上，因ؓ面上可能会有孔洞Q?/p>
//=======================================================================
//function : IsCoincident
//purpose :
//=======================================================================
Standard_Boolean IntTools_EdgeFace::IsCoincident()
{
Standard_Integer i, iCnt;
Standard_Real dT, aT, aD, aT1, aT2, aU, aV;
gp_Pnt aP;
TopAbs_State aState;
gp_Pnt2d aP2d;
//
GeomAPI_ProjectPointOnSurf& aProjector=myContext->ProjPS(myFace);
Standard_Integer aNbSeg=23;
if (myC.GetType() == GeomAbs_Line &&
myS.GetType() == GeomAbs_Plane)
aNbSeg = 2; // Check only three points for Line/Plane intersection
const Standard_Real aTresh = 0.5;
const Standard_Integer aTreshIdxF = RealToInt((aNbSeg+1)*0.25),
aTreshIdxL = RealToInt((aNbSeg+1)*0.75);
const Handle(Geom_Surface) aSurf = BRep_Tool::Surface(myFace);
aT1=myRange.First();
aT2=myRange.Last();
Standard_Real aBndShift = 0.01 * (aT2 - aT1);
//Shifting first and last curve points in order to avoid projection
//on surface boundary and rejection projection point with minimal distance
aT1 += aBndShift;
aT2 -= aBndShift;
dT=(aT2-aT1)/aNbSeg;
//
Standard_Boolean isClassified = Standard_False;
iCnt=0;
for(i=0; i <= aNbSeg; ++i) {
aT = aT1+i*dT;
aP=myC.Value(aT);
//
aProjector.Perform(aP);
if (!aProjector.IsDone()) {
continue;
}
//
aD=aProjector.LowerDistance();
if (aD > myCriteria) {
if (aD > 100. * myCriteria)
return Standard_False;
else
continue;
}
//
++iCnt;
//We classify only three points: in the begin, in the
//end and in the middle of the edge.
//However, exact middle point (when i == (aNbSeg + 1)/2)
//can be unprojectable. Therefore, it will not be able to
//be classified. Therefore, points with indexes in
//[aTreshIdxF, aTreshIdxL] range are made available
//for classification.
//isClassified == TRUE if MIDDLE point has been chosen and
//classified correctly.
if(((0 < i) && (i < aTreshIdxF)) || ((aTreshIdxL < i ) && (i < aNbSeg)))
continue;
if(isClassified && (i != aNbSeg))
continue;
aProjector.LowerDistanceParameters(aU, aV);
aP2d.SetX(aU);
aP2d.SetY(aV);
IntTools_FClass2d& aClass2d=myContext->FClass2d(myFace);
aState = aClass2d.Perform(aP2d);
if(aState == TopAbs_OUT)
return Standard_False;
if(i != 0)
isClassified = Standard_True;
}
//
const Standard_Real aCoeff=(Standard_Real)iCnt/((Standard_Real)aNbSeg+1);
return (aCoeff > aTresh);
}求交l果与边与边怺cdQ会保存边与面的索引Q及公共部分的数据。除了保存这些数据以外，q和点与面相交一P更新面上的信息FaceInfoQ即有哪些边在面上?/p>
4 Conclusion
lg所qͼ边与辏V边与面怺会得到公共部分Common PartQ公共部分可能是点，也可能是重叠的边。在qo怺的边与边、边与面旉有一定的优化I间Q即使用BVH来加速检相交部分。在快速判断边与边是否重叠、边与面是否重叠部分的代码采用固定数量的采样点的处理方式不太严}。将怺的结果及q程数据都保存到BOPDS_DS中作为后面算法用?/p>
1 IMGUI
ImGui 是一个用于C++的用L面库Q跨q_、无依赖Q支持OpenGL、DirectX{多U渲染APIQ是一U即时UIQImmediate Mode User InterfaceQ库Q保留模式与x模式的区别参?a target="_blank" rel="noopener">保留模式与即时模?/strong>。ImGui渲染非常快，但界面上有大量的数据集需要渲染可能会有一些问题，需要用一些缓存技巧。缓存只是避免数据的更新逻辑耗时太久影响渲染Q实际渲染过E不存在瓉?/p>
IMGUI很轻量，q支持跨q_Q对于小的测试程序IMGUI是理想的GUI?/p>
Zopencascade的glfw sample加入IMGUIQ这样就可以开发一些带有GUI的程序。这些程序小巧且能方便跨q_Q看上去效果也不错?/p>
现在OcctImgui开源，开源地址Qhttps://github.com/eryar/OcctImgui 使用Premake来生成解x案，只需要将premake5.lua中的相关W三方库的\径修改一下，卛_以直接编译运行?/p>
目前occt的视图作为整个背景，下一步可以做成像CADRays中那Pocct的视图作囄一部分Q这样就可以使用IMGUI的Docking功能?/p>
使用IMGUI也可以开发出很Cool的界面，最后放两个ZIMGUI开发的囑Ş界面Q?/p>
https://github.com/adriengivry/Overload https://github.com/sasobadovinac/CADRays https://github.com/MeshInspector/MeshLib2 OcctImgui
3 Next
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1 Introduction
在OpenCASCADE中，布尔相关的算子Operator有General Fuse Operator(GFA)QBoolean Operator(BOA)QSection Operator(SA)QSplitter Operator(SPA)Q这些布算子都q一套数据结构BOPDS_DSQ其中存储了输入数据及中间结果数据。布算子包含两部分Q?/p>
- Intersection Part(IP)怺部分Q相交部分IP主要用来计算模型之间的相交情况，q将计算l果保存到BOPDS_DS中；
- Building Part(BP)构徏部分Q构建部件BP从BOPDS_DS中获取相交和其他数据来构建相应的l果Q?/li>
由此可见Q布数据BOPDS_DS是布操作中的数据中转站Q将布尔操作的输入数据及中间计算l果数据都保存v来。本文主要介lBOPDS_DS保存的数据?/p>
2 BOPDS_DS
BOPDS_DS中存储的信息有：
- ArgumentsQ输入模型数据；
- ShapesQ模型信息；
- InterferencesQ相交数据；
- Pave BlocksQ字面意思是\砖，我理解的是对边Edge分块Q?/li>
- Common BlocksQ公共部分，边与边，边与面的重叠部分Q?/li>
q里的Shapes是模型信息BOPDS_ShapeInfoQ存储模型类型，包围盒等数据Q?/p>
q里应该不需要再另外保存myTypeQ因为在myShape中可以直接获取类型信息。模型信息在初始化函数Init()中来讄Q主要是包围盒等信息Q?/p>
//=======================================================================
//function : Init
//purpose :
//=======================================================================
void BOPDS_DS::Init(const Standard_Real theFuzz)
{
Standard_Integer i1, i2, j, aI, aNb, aNbS, aNbE, aNbSx;
Standard_Integer n1, n2, n3, nV, nW, nE, aNbF;
Standard_Real aTol, aTolAdd;
TopAbs_ShapeEnum aTS;
TopoDS_Iterator aItS;
TColStd_ListIteratorOfListOfInteger aIt1, aIt2, aIt3;
TopTools_ListIteratorOfListOfShape aIt;
BOPDS_IndexRange aR;
Handle(NCollection_BaseAllocator) aAllocator;
TopTools_MapOfShape aMS;
//
// 1 Append Source Shapes
aNb=myArguments.Extent();
if (!aNb) {
return;
}
//
myRanges.SetIncrement(aNb);
//
aNbS=0;
aIt.Initialize(myArguments);
for (; aIt.More(); aIt.Next()) {
const TopoDS_Shape& aSx=aIt.Value();
//
aNbSx=0;
TotalShapes(aSx, aNbSx, aMS);
//
aNbS=aNbS+aNbSx;
}
aMS.Clear();
//
myLines.SetIncrement(2*aNbS);
//-----------------------------------------------------scope_1 f
aAllocator=
NCollection_BaseAllocator::CommonBaseAllocator();
//
//
i1=0;
i2=0;
aIt.Initialize(myArguments);
for (; aIt.More(); aIt.Next()) {
const TopoDS_Shape& aS=aIt.Value();
if (myMapShapeIndex.IsBound(aS)) {
continue;
}
aI=Append(aS);
//
InitShape(aI, aS);
//
i2=NbShapes()-1;
aR.SetIndices(i1, i2);
myRanges.Append(aR);
i1=i2+1;
}
//
aTolAdd = Max(theFuzz, Precision::Confusion()) * 0.5;
myNbSourceShapes = NbShapes();
//
// 2 Bounding Boxes
//
// 2.1 Vertex
for (j=0; j<myNbSourceShapes; ++j) {
BOPDS_ShapeInfo& aSI=ChangeShapeInfo(j);
//
const TopoDS_Shape& aS=aSI.Shape();
//
aTS=aSI.ShapeType();
//
if (aTS==TopAbs_VERTEX) {
Bnd_Box& aBox=aSI.ChangeBox();
const TopoDS_Vertex& aV=*((TopoDS_Vertex*)&aS);
const gp_Pnt& aP=BRep_Tool::Pnt(aV);
aTol = BRep_Tool::Tolerance(aV);
aBox.SetGap(aTol + aTolAdd);
aBox.Add(aP);
}
}在初始化函数中通过两个递归函数TotalShapes()和InitShape()来收集所有模型数据，然后再分别计点、边、面的包围盒。这些包围盒数据为后面用BVH怺做准备?/p>
3 Interferences
怺数据Interferences主要用来保存求交l果数据Q用了单的z关系Q不同的怺cd得到不同的相交结果?/p>
保存的数据有Q?/p>
其中Index1和Index2为相交的两个模型在BOPDS_DS中的索引受对于点Vertex和边Edge的相交结果，保存了相交点在边上的参数myParamQ?/p>
4 DRAW
在DRAW中输入相关的命o可以方便地对q些数据l构q行Debug?/p>
从源码可以看出，在做求交的初始函C准备了三部分数据Q一个是BOPDS_DSQ一个是BOPDS_IteratorQ还有一部分是缓存的求交工具的数据IntTools_Context。后面将l合DRAW代码对C++源码调试Q分析布操作中求交数据BOPDS_DS保存的具体数据?/p>
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1 Introduction
OpenCASCADE中新的布工具TKBO相对已经废弃的TKBool代码更规范，更易于理解。与ModelingData和ModelingAlgorithms大的模块l织一P主要也是数据l构Data Structure+法Algorithm的组lŞ式?/p>
其中BOPDS为布中的数据结构部分，BOPAlgo为布中的算法部分。理解算法的前提是先理解数据l构DS(Data Structure)Q所以先从数据结构入手，来深入理解布操作。本文先从简单的数据l构BOPDS_Iterator开始对源码q行分析?/p>
2 BOPDS_Iterator
从类的注释可以看出，q代器BOPDS_Iterator有以下两个功能：
- 扑և包围盒相交的ShapeQ?/p>
- 遍历怺的一对ShapeQ?/p>
//! The class BOPDS_Iterator is
//! 1.to compute intersections between BRep sub-shapes
//! of arguments of an operation (see the class BOPDS_DS)
//! in terms of theirs bounding boxes
//! 2.provides interface to iterate the pairs of
//! intersected sub-shapes of given type
class BOPDS_Iterator
{
public:其中核心的算法在函数Intersect()中，代码如下所C：
//=======================================================================
// function: Intersect
// purpose:
//=======================================================================
void BOPDS_Iterator::Intersect(const Handle(IntTools_Context)& theCtx,
const Standard_Boolean theCheckOBB,
const Standard_Real theFuzzyValue)
{
const Standard_Integer aNb = myDS->NbSourceShapes();
// Prepare BVH
BOPTools_BoxTree aBoxTree;
aBoxTree.SetSize (aNb);
for (Standard_Integer i = 0; i < aNb; ++i)
{
const BOPDS_ShapeInfo& aSI = myDS->ShapeInfo(i);
if (!aSI.HasBRep())
continue;
const Bnd_Box& aBox = aSI.Box();
aBoxTree.Add (i, Bnd_Tools::Bnd2BVH (aBox));
}
// Build BVH
aBoxTree.Build();
// Select pairs of shapes with interfering bounding boxes
BOPTools_BoxPairSelector aPairSelector;
aPairSelector.SetBVHSets (&aBoxTree, &aBoxTree);
aPairSelector.SetSame (Standard_True);
aPairSelector.Select();
aPairSelector.Sort();
// Treat the selected pairs
const std::vector<BOPTools_BoxPairSelector::PairIDs>& aPairs = aPairSelector.Pairs();
const Standard_Integer aNbPairs = static_cast<Standard_Integer> (aPairs.size());
Standard_Integer iPair = 0;
const Standard_Integer aNbR = myDS->NbRanges();
for (Standard_Integer iR = 0; iR < aNbR; ++iR)
{
const BOPDS_IndexRange& aRange = myDS->Range(iR);
for (; iPair < aNbPairs; ++iPair)
{
const BOPTools_BoxPairSelector::PairIDs& aPair = aPairs[iPair];
if (!aRange.Contains (aPair.ID1))
// Go to the next range
break;
if (aRange.Contains (aPair.ID2))
// Go to the next pair
continue;
const BOPDS_ShapeInfo& aSI1 = myDS->ShapeInfo (aPair.ID1);
const BOPDS_ShapeInfo& aSI2 = myDS->ShapeInfo (aPair.ID2);
const TopAbs_ShapeEnum aType1 = aSI1.ShapeType();
const TopAbs_ShapeEnum aType2 = aSI2.ShapeType();
Standard_Integer iType1 = BOPDS_Tools::TypeToInteger (aType1);
Standard_Integer iType2 = BOPDS_Tools::TypeToInteger (aType2);
// avoid interfering of the shape with its sub-shapes
if (((iType1 < iType2) && aSI1.HasSubShape (aPair.ID2)) ||
((iType1 > iType2) && aSI2.HasSubShape (aPair.ID1)))
continue;
if (theCheckOBB)
{
// Check intersection of Oriented bounding boxes of the shapes
const Bnd_OBB& anOBB1 = theCtx->OBB (aSI1.Shape(), theFuzzyValue);
const Bnd_OBB& anOBB2 = theCtx->OBB (aSI2.Shape(), theFuzzyValue);
if (anOBB1.IsOut (anOBB2))
continue;
}
Standard_Integer iX = BOPDS_Tools::TypeToInteger (aType1, aType2);
myLists(iX).Append (BOPDS_Pair (Min (aPair.ID1, aPair.ID2),
Max (aPair.ID1, aPair.ID2)));
}
}
}在求交函数Intersect中用BVH快速找出包围盒有相交的每对ShapeQƈ以烦引的形式记录下来。从q个函数中可以看出布操作是否用OBB的选项的作用：当不使用OBBӞ只以AABB包围盒来相交的ShapeQ当使用OBBӞ在AABB的基上进一步用包围更紧密的OBB来检相交，可以排除部分。当怺的模型中以AABB就能检出来的Q再打开OBB选项Q不会提高性能Q反而会有所降低。ؓ了减这个媄响，在IntTools_Context中缓存Cachingq些OBBQ避免构造OBB带来的性能损失?/p>
3 Conclusion
布尔q代器BOPDS_Iterator通过BVH扑և求交的模型中每对包围盒有怺的模型ƈ提供遍历每对包围盒相交的模型的功能，为后面求交作准备。从其代码实现可以看出布选项使用OBBҎ能提高是有限的Q当使用AABB能检出来的Q再使用OBB会降低性能。当使用AABB出来相交，但OBB不相交的场景Ҏ能提升明显?/p>
今日?#8220;九一八事?#8221;92周年Q落后就要挨打，吾辈仍需努力?/p>
l常用Visual Studio写一些小E序来验证OpenCASCADE的功能，每次创徏目后都配置头文Ӟ库\径，E序q行时还要配|Debug的环境变量，比较ȝ。也试qCMake和QMakeQ都不太理想。CMake学习曲线陡峭一点，q会生成一堆文件。QMake单些Q但是有的选项不支持。直到看C个开源的游戏E序OverloadQ看其编译说明用了Premake来构建?/p>
使用IMGUI生成的Y件界面比较酷炫，使用Premake生成Visual Studio解决Ҏ?/p>
1 什么是构徏pȝ
构徏pȝQBuildSystemQ是用来从源码生成用户可以用的目标QTargetsQ的自动化工兗目标可以包括库Q可执行文gQ或者生成的脚本{等?/p>
目模块依赖关系l护 Q?/p>
目标的可配置化（不同pȝQWindowsQMac…Q不同^収ͼWin32QWin64QAmd64…Q?/p>
目标生成的自动化
2 Z么用构建系l?/h2>
主要用于提高开发h员的效率与稳定，试与发布的效率
-减少开发h员的知识成本Q比如对同一程Q但多种q_Q多U开发环境差异化的了解）
-减少目目变动的维护成?/p>
– VisualStudio 的编译选项规则Q配|方?/p>
– Xcode 的编译选项规则Q配|方?/p>
– 其他。。?/p>
-减少模块的维护成?/p>
– 协同人员对工E文Ӟ目录的修改冲H?/p>
减少q_Q系l生成的差异化成本（可以z地配置不同的^CpȝQ?/p>
– 通过单的配置Q可以灵z，快速地dQ修改，更新模块
– 可以方便的处理依赖关p，提高E_性和~译速度
使用脚本和配|文Ӟ实现自动清理Q生成所需q_Q系l，调试环境Q测试流E，然后发布版本?/p>
ȝ来说Q就是生成q程更加z，灉|Q高效，自动化?/p>
3 常见的构建系l?/h2>
L的可以跨q_Q支持C++的构建系l?/p>
- CMake
- Scons
- Premake
其他q有 GNU MakeQGNU autotoolsQApache AntQ主要用于JavaQ，GradleQ主要用于JavaQ?/p>
4 什么是Premake
Premake 是一U命令工P通过d目脚本Q来生成各种开发环境的目文g。主要用于：
生成开发h员喜Ƣ的q_Q工具集Q协同开发的人员Q可以用不同的q_和开发工P
通过脚本保持不同q_Q工具集下的目配置同步Q比如新建文件夹Q引入新的库文gQ?/p>
通过脚本来快速更新许多不同的大型代码库，q新生成项目（比如对依赖的多种著名库的版本更新Q?/p>
快速升U工具集的版本（比如无缝CVisualStudio 2010升到VisualStudio 2019Q?/p>
目前支持Q?/p>
Microsoft Visual Studio 2005-2019
GNU MakeQ包?Cygwin ?MinGW
XCode
Codelite
Premake 5.0 目前支持Q?/p>
32 ?64 位^?/p>
Xbox 360Q仅支持Visual StudioQ?/p>
插g模块可以支持其他语言Q框Ӟ和工具集
Premake 是存_的旧版C应用E序Q发布ؓ一个单个的Q非常小的exe文g。支持完整的Lua脚本环境
开源地址Qhttps://github.com/premake/premake-core
下蝲地址Qhttps://premake.github.io/
实例地址Q?a >https://github.com/wuguyannian/tutorial_premake
5 使用Premake
使用premake来构Z个用了glfw, occt和imgui的程序。从配置文g可以看出Q配|比CMake要简单：
workspace "OcctImgui"
configurations {"Debug", "Release"}
system "Windows"
platforms {"Win64"}
architecture "X64"
language "C++"
project "OcctImgui"
kind "ConsoleApp"
language "C++"
targetdir "build/bin/%{cfg.buildcfg}"
objdir "build/obj/%{cfg.buildcfg}"
files { "**.h", "**.cpp"}
-- Header files.
includedirs
{
"C:/OpenCASCADE-7.6.0/opencascade-7.6.0/inc",
"C:/glfw-3.3.8/include"
}
-- Library files.
links
{
"TKernel", "TKMath", "TKG2d", "TKG3d", "TKGeomBase", "TKGeomAlgo", "TKBRep", "TKTopAlgo", "TKPrim", "TKMesh", "TKService", "TKOpenGl", "TKV3d",
"glfw3"
}
filter "configurations:Debug"
defines { "DEBUG" }
symbols "On"
libdirs
{
"C:/OpenCASCADE-7.6.0/opencascade-7.6.0/win64/vc14/libd",
"C:/glfw-3.3.8/lib"
}
debugenvs
{
"path=%path%;C:/OpenCASCADE-7.6.0/opencascade-7.6.0/win64/vc14/bind"
}
filter "configurations:Release"
defines { "NDEBUG" }
symbols "Off"
optimize "On"
libdirs
{
"C:/OpenCASCADE-7.6.0/opencascade-7.6.0/win64/vc14/lib",
"C:/glfw-3.3.8/lib"
}
debugenvs
{
"path=%path%;C:/OpenCASCADE-7.6.0/opencascade-7.6.0/win64/vc14/bin"
}通过premake生成的Visual Studio解决Ҏ很干净Q没有多余的文g。后面再要写一个小的验证程序时Q只需要复制premake5.lua修改一下即可，很方ѝ对于小的验证程序来_使用premake是理想的构徏工具?/p>
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如果从事qC++ Windows客户端开发，大家对MFC、Qt、DuiLib、WxWidgets{各UDirectUI应该有了解，本篇l大家介l一个超U轻量的C++开源跨q_囑Ş界面框架ImGUI. ImGUI主要用于游戏行业Q所有的控g都需要手l实玎ͼ当然性能也是满满的，毕竟是直接用dx/opengl来实现。ImGUI仓库Qhttps://github.com/ocornut/imgui
ImGUI又称为Dear ImGuiQ它是与q_无关的C++轻量U跨q_囑Ş界面库，没有MW三方依赖，可以ImGUI的源码直接加到项目中使用Q也可以~译成dll, ImGUI使用DX或者OpenGLq行界面渲染Q对于画面质量要求较高，例如客户端游戏，4k/8k视频播放Ӟ用ImGUI是很好的选择Q当Ӟ你得非常熟悉DirectX或者OpenGLQ不然就是宝剑在手，屠龙无力。相对于Qt、MFC、DuiLib、SOUI{，ImGUI的拓展性更好，也更轻量U，当然对于开发者的要求也更?ImGUI没有cM于Qt/MFCq种Q可以拖拽控件进行搭建界面，ImGUI的所有控仉必须手写实现。ImGUI的demo基本提供了所有控件、图表等的实玎ͼ源码也有Q可以对照的学习。在PC端技术选型Ӟ如果公司有音视频、图形图像?k/8k视频业务Q或者一些简单的UI可以考虑一下用ImGUIQ毕竟是直接使用DX/OpenGL来进行绘制渲染，其它功能q接用C++来实现?/p>
OpenCASCADE提供了一个GLFW的示例程序，OpenCASCADE与IMGUI集成hQ对于实C些简单的的三维应用E序的UIQ有满满的科技感。很多游戏相关的程序都是用IMGUI来做界面?/p>
其中OpenCASCAE开源的光线q踪E序CADRays的UI是用IMGUI实现的：
IMGUI也支持DockingQ常见的控g都有Qƈ且也支持跨^収ͼ只依赖OpenGLQ生成的E序体积很小?/p>
使用GLFW配置IMGUI可以实现跨^台的界面开发，对于不复杂的应用E序是个不错的选择?/p>
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Abstract. OpenCascade classify the intersection line between two surfaces. A intersection line may be either geometric: line, circle, ellipse, parabola, hyperbola as defined in the class GLine, or analytic as defined in the class ALine, or defined by a set of points(coming from a walking algorithm) as defined in the class WLine. Or described by a restriction line on one of the surfaces as RLine.
Key Words. Surface Intersection, Intersection Line
1 Introduction
OpenCASCADE中对两个曲面求交得到的交U进行了分类Q如下类图所C：
交线d分ؓ四类Q?/p>
- ALineQAnalytic解析曲线Q主要ؓ两个二次曲面求交所得，如圆柱面、球面、圆锥面{之间的交线Q?/li>
- GLineQGeometric几何曲线Q即交线可以表示成简单的二次曲线Q如直线、圆、抛物线{；
- WLineQWalkingq踪法得到的交线Q保存了q踪路线上的两个曲面的交点；
- RLineQRestriction受限交线Q这条交U可能只在一个面上；
下面我们使用Tcl脚本在DRAW中验证一下这四类交线的来源，加深Ҏ面求交算法的理解。分cd来了ȝQ可以带着问题Qؓ什么要分这几种cdQ有什么好处？来看q篇文章。要用好开源的东西Q其实要求还是很高的Q需要对源码有相Ҏ入的理解?/p>
2 ALine
Analytic交线是二ơ曲面求交所得，二次曲面是因为可以统一使用二次型来表示的解析曲面，也是《解析几何》中研究的主要内宏V我们可以在DRAW中构造圆柱面与圆锥面求交验证一下。TCL脚本如下Q?/p>
# Test for IntPatch_ALine.
# Geometry surfaces.
cylinder s1 0 0 0 1 1 1 2
cone s2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 30 3
# Topology faces
mkface f1 s1 0 2*pi -8 8
mkface f2 s2 0 2*pi -5 5
# Intersection.
bop f1 f2
bopsection r
# Display result.
vdisplay f1 f2 r生成l果如下图所C，其中U色ZU：
DEBUG源码可以看到是用类IntPatch_ImpImpIntersection 计算求交Q即两个解析曲面求交法cR?/p>
3 GLine
Geometric几何曲线形式单，如果交线用几何曲U来表示Q对于后l算法有好处。如q面与圆锥面求交U，圆柱面与圆柱面求交等Q都会得到几何曲Uѝ将上面的圆柱面换成q面与圆锥面求交我们可以在DRAW验证l典的圆锥与q面交线Q根据^面位|不同，可以得到圆、椭圆、双曲线{几何曲UѝTCL脚本如下所C：
# Test for IntPatch_GLine.
cone s1 0 0 0 0 0 1 30 3
plane s2 0 0 0 0 0 1
mkface f1 s1 0 2*pi -5 5
mkface f2 s2 -8 8 -8 8
bop f1 f2
bopsection r
vdisplay f1 f2 r
计算交线l果如下图所C：
我们改变q面的法向，使其斜着与圆锥面求交Q会得到椭圆Q?/p>
q可以得到双曲线、抛物线{，同学们可以自己尝试一下?/p>
4 WLine
对于NURBS曲面求交Q一般会使用MarchingҎQ国内教材翻译ؓq踪法。在看《地球脉动》时Q注意到对于大草原上的水牛、大象等动物成群l队的迁徙用了q个词，q个词的字面意思有行进、行军，列队行进之意Q如果结合opencascade中的walking感觉译?strong>行进?/strong>更脓切，因ؓ在opencascade中对于求交专门有个package名ؓIntWalkQ其中类IntWalk_PWalking来用marching method对两个参数曲面进行求交。Walk有行C意，所以对于用WalkҎ得到的交U命名ؓWLine。对于NURBS曲面求交及二ơ曲面与NURBS曲面求交Q用了MarchingҎQWLine的来源是清晰的。l用上面的脚本Q只需要将上述两个面{换成NURBS曲面卛_触发Marching法进行求交。TCL脚本如下Q?/p>
# Test for IntPatch_WLine.
cone s1 0 0 0 0 0 1 30 3
plane s2 0 0 0 1 1 2
mkface f1 s1 0 2*pi -5 5
mkface f2 s2 -8 8 -8 8
nurbsconvert f1 f1
nurbsconvert f2 f2
bop f1 f2
bopsection r
vdisplay f1 f2 r通过IntWalk_PWalking行进?/strong>配合三参数P代法Q将行进q程中的交点都保存在WLine中?/p>
虽然l果与上面看上去一P内部交线已经不是单的几何曲线了?/p>
Restriction交线是受限交U，q种cd的交U只会位于一个面上。这里我们构造一个^面及与^面重叠的一个NURBS曲面来求交进行解释。TCL脚本如下Q?/p>
DEBUG会发现这两个曲面的交UؓRLineQƈ在生成RLine时指定交U属于哪个曲面，是在S1曲面SetArcOnS1q是在S2曲面SetArcOnS2Q?/p>
生成交线如下图所C： 当然可以使用RLine来判断两个曲面是否有重叠Q但是在opencascade中两个曲面重叠叫Tangent FaceQ可以将上述NURBS面不转换Q还是用两个重叠^面来验证Q?/p>
求交最后对交线数据归ƈ时的代码有点不敢恭维Q?/p>
lg所qͼ对两个曲面求交得到的交线q行分类Q避免交UK是NURBS曲线Q可以是单的二次曲线Q提高后l算法性能。在理解源码的基上，可以Ҏ实际应用场景选择高效的算法。如若只是求两个模型之间的交U，可以直接使用曲面求交法Q一般情况下性能q是不错的。当然理解源码后Q可以结合实际应用场景可以对求交法做进一步优化?/p>
要深入理解opencascade源码Q熟l用DRAW是一个相对容易的路线。因为在DRAW中可以用Tcl脚本快速验证各U想法，甚至直接DEBUG源码Q从表向深入C源码作者直接对话?/p>
5 RLine
# Test for IntPatch_RLine.
plane s1 0 0 0 0 0 1
plane s2 0 0 0 0 0 1
mkface f1 s1 -5 5 -5 5
mkface f2 s2 -8 8 -8 8
nurbsconvert f1 f1
bop f1 f2
bopsection r
vdisplay f1 f2 r
6 Conclusion
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1 Introduction
朱心雄等著《自由曲U曲面造型技术》书中对曲面求交的追t法QMarching methodQ有详细介绍Q首先曲面求交追t法的提出是1990qR.E. BARNHILL和S.N. KERSEY的一论文：A marching method for parametric surface/surface intersection感兴的可以下蝲来看看原文：
1990q我才几岁，那时安有黑白电视机已经不错的。对于一般NURBS曲面的求交，先用分割L法求得交U的拓朴l构和交点的估计|然后再应用P代法Ҏ估计值求得精交炏V如果认Z点分布不够细密，可以对网D行加密，再应用P代法得到新的_交点Q由此可以获得完整、致密的_交线Q而无需应用q踪法?/p>
2 q踪法的原理
q踪法的原理Q假设两曲面间共有N个交U环Q先通过某种求交Ҏ定各交U环上的一个交点，然后以该交点为初始交点，Ҏ交线的几何性质Q按照一定步长计该条交U上下一交点的近似|再应用P代法求得_交点。沿交线走向不断前进Q直到遍历整条交Uѝ追t法的优Ҏ在求得首交点后搜索交U其余交点的速度非常快，且适用范围qѝ不ZU参数曲面，只要曲面不存在非正则点，q可以求得曲面上L点的坐标位置、法矢、切矢等几何信息Q就可以用追t法求交。追t法的问题是目前无非常有效的方法来求得所有交U环的v始点。在有些情况下寻求初始点所p的时间远大于q踪法过E中所节省的时_而ؓ了节省寻求初始点的时_又可能漏掉某些交U，当在孤立交点和比较小的交U环时尤甚?/p>
3 q踪法的实现
OpenCASCADE实现曲面求交q踪法的cLIntWalk_PWalkingQ注意看cL释中的单词marching:
q踪法中需要解决两个问题：
- 如何定q踪方向Q目前常用切U法定q踪方向Q即估计真实交线在该点的切线方向Qƈ以此作ؓq踪方向。当曲面间存在切ҎQ由于在切点附近两曲面的法矢非常接近Q无法确定追t方向，q也是所谓的“q向”问题QTangent tracksQ。在cIntWalk_PWalking中，q踪方向作ؓ成员变量tgdirQ将q代法计的交线的切向量保存hQ当?ldquo;q向”问题Ӟ调用函数RepartirOuDiviser来修复?/li>
- 如何定q踪步长Q追t步长的选择通常有两U方法：1Q固定步长和2Q变步长也称适应步长法Adaptive Step。因P代法是根据估计点的参数来计算_交点Qؓ了避免根据点反求参数Q直接根据切U方向的X,Y分量来确定参数的步长。虽然有些变化，M上看使用的是固定步长法。若直接Ҏ交线切线方向tgdir乘以步长得到点，是需要反求点在曲面上的参数。步长主要与_ֺ讄有关Q精度设|高Q步长越，则会D计算速度慢，求出的交点过密，q可能带来不E_因素。如步长q大Q可?会导致P代不收敛或者蟩到另?一条交U上?/li>
使用默认_ֺ讄Q追t法得到的交Ҏ量就很大。若讄_ֺ低，交点数量会明昑և，提高计算速度?/p>
如上图所C，若两个曲面只有一个交U，使用有追t法时只需要指定交U的初始交点Q即可以得到整个交线。当两曲面有多个交线或有孤立交点Ӟ需要找出多个交U的起始交点Q?/p>
上图所CZ|交U断开生成两条交线Q一个是l色一个是U色Q这U情况就需要分别指Z个交Uv始点?/p>
4 Conclusion
lg所qͼ曲面求交q踪法的优点是在求得首交点后搜烦交线其余交点的速度非常快，且适用范围qѝ追t法的问题是目前无非常有效的方法来求得所有交U环的v始点。曲面求交一般会采用通用性较好的|格?q代?q踪法三者相l合的方法。应用网格法求得交点的初始估计|再用q代法求得精交点，q以其ؓLq行q踪Q直到得到整条精交Uѝ?/p>
IntWalk_PWalkingq踪法的步长与精度密切相养I选择合适的_ֺQ可以交线的交Ҏ量少Q提高计速度。因为精度越高追t过E中得到的追t点多Q对于每个追t点都需要用P代法计算_交点?/p>
1 Introduction
朱心雄等著《自由曲U曲面造型技术》书中对曲面求交的P代法有详l介l，其中关于曲面q代求交的原理介l如下：为求得两个曲面精的交点QNewton-Raphsonq代法得到广泛应用，该法的优点ؓ
- 计算_ֺ高，速度快，在初值选择比较合理的情况下Q一般仅需要P代二Cơ就可以使交点的_ֺ从百分之几提高到万分之几甚至百万分之一的数量?/li>
- 适用范围q，只要能获得曲面的几何位置、切矢、法矢等信息Q不Z么类型的曲面都可以用P代法?/li>
其缺Ҏ对初始D求较严格Q初始值选择不当Q可能导致P代不收敛Q也无法得到精的交点?/p>
在曲面求交等问题中，一般可Ҏ参与变化的参数数量将q代法分Z参数q代法和四参数P代法两种cd。我们知道，一张参数曲面有两个参数Q两张参数曲面共有四个参数变量。采用三参数q代法时Q两个曲面的四个参数中只有三个参数参与P代过E，而保持另一个参数固定不变，q实际上是计算不变参数的等参数U与另一张曲面的交点。采用四参数q代法时Q两张曲面的四个参数变量都参与P代过E，四者都可能变化。两UP代法各有其优~点。在下述情况下以应用三参数P代法为宜Q?/p>
- 要求交点P代至某参数线上，以利于后l追t求交法中o除无效初值点Q?/li>
- 当交U接q于参数边界Ӟ希望交点P代至准确的边界上Q以便进行裁剪等操作?/li>
但对于一般交点，三参数法则未必适用。首先遇到的问题是在四个参数中选择何者作Z变参敎ͼ固定参数选择不当可能降低q代收敛速度以至Ҏ不收敛，或者破坏交U拓朴结构的正确性。P代法本n不能够成独立的求交方法，主要在追t法中用，OpenCASCADE中曲面求交追t法的类是IntWalk_PWalking。前面的blog已经介绍了曲面交求的L|格法，和类IntWalk_TheInt2S实现原理Q本文主要介lOpenCASCADE曲面求交q代法的cIntWalk_TheInt2S的用法结果?/p>
2 Newtonq代求交
前文介绍了曲面求交的L|格法，使用cIntPolyh_Intersection来计两个曲面网格的交线Q计结果是|格交线的一l交炏V把L|格的交点作P代法的输入，来检查一下P代法的计结果?/p>
Newtonq代法的输入是初始估计点分别在两个曲面上的四个参敎ͼu1, v1, u2, v2Q，及两个曲面aS1和aS2QP代终止精度TolTangency。将计算l果输出Q其中第一个距Lq代的精g|格上交点的距离Q第二个距离是精交点的u1, v1, u2,v2分别在两个曲面上点的距离Q可以看出经qNewtonq代计算后，Ҏ_交点的参数u1, v1, u2, v2计算Z个曲面上的点在指定的_ֺ下是重合的。ؓ了便于观察，计结果输出到DRAW中查看?/p>
其中U色的线是两个曲面网格的交线Q绿色的U是网gU经qNewtonq代后得到精交Uѝ再两个交U与实际曲面一hC来ҎQ?/p>
从图上可以看出，l色的交U已l能比较准确地表达两个曲面之间的怺情况。比|格交线效果好?/p>
3 Conclusion
lg所qͼ曲面求交的L|格交线作ؓNewtonq代法的初始估计点，可以得到较好的交Uѝ后面再分析一下曲面求交的q踪法，看在q踪法中是如何用离散网gU数据的。对于一般的NURBS曲面求交Q先用离散网格法或分割离散法求得交线和交点的估计|然后再应用Newtonq代法由估计值求得精交炏V如果认Z计交点分布不够细密，可以对网格加密，由此可以得到完整、致密的_交线而无需应用q踪法?/p>
1 Introduction
朱心雄等著《自由曲U曲面造型技术》书中对曲面求交的P代法有详l介l，其中关于曲面q代求交的原理介l如下：为求得两个曲面精的交点QNewton-Raphsonq代法得到广泛应用，该法的优点ؓ
- 计算_ֺ高，速度快，在初值选择比较合理的情况下Q一般仅需要P代二Cơ就可以使交点的_ֺ从百分之几提高到万分之几甚至百万分之一的数量?/li>
- 适用范围q，只要能获得曲面的几何位置、切矢、法矢等信息Q不Z么类型的曲面都可以用P代法?/li>
其缺Ҏ对初始D求较严格Q初始值选择不当Q可能导致P代不收敛Q也无法得到精的交点?/p>
在曲面求交等问题中，一般可Ҏ参与变化的参数数量将q代法分Z参数q代法和四参数P代法两种cd。我们知道，一张参数曲面有两个参数Q两张参数曲面共有四个参数变量。采用三参数q代法时Q两个曲面的四个参数中只有三个参数参与P代过E，而保持另一个参数固定不变，q实际上是计算不变参数的等参数U与另一张曲面的交点。采用四参数q代法时Q两张曲面的四个参数变量都参与P代过E，四者都可能变化。两UP代法各有其优~点。在下述情况下以应用三参数P代法为宜Q?/p>
- 要求交点P代至某参数线上，以利于后l追t求交法中o除无效初值点Q?/li>
- 当交U接q于参数边界Ӟ希望交点P代至准确的边界上Q以便进行裁剪等操作?/li>
但对于一般交点，三参数法则未必适用。首先遇到的问题是在四个参数中选择何者作Z变参敎ͼ固定参数选择不当可能降低q代收敛速度以至Ҏ不收敛，或者破坏交U拓朴结构的正确性。P代法本n不能够成独立的求交方法，主要在追t法中用，OpenCASCADE中曲面求交追t法的类是IntWalk_PWalking。本文主要介lOpenCASCADE曲面求交q代法的cIntWalk_TheInt2S的用法及原理?/p>
2 Newtonq代求交
OpenCASCADE中两曲面求交q代法由cIntWalk_TheInt2S实现Q其cM主要函数有：
l定两个曲面Q和初始估计点在两个曲面上的参数(u1, v1), (u2,v2)QP代计出_交点。固定三参数的方式d分四U类型IntImp_ConstIsoparametricQ?/p>
IntImp_UIsoparametricOnCaro1Q是固定估计点在曲面1上的参数uQ?/p>
IntImp_VIsoparametricOnCaro1Q是固定估计点在曲面1上的参数vQ?/p>
IntImp_UIsoparametricOnCaro2Q是固定估计点在曲面2上的参数uQ?/p>
IntImp_VIsoparametricOnCaro2Q是固定估计点在曲面2上的参数vQ?/p>
Z避免三参数P代法找不C点的情况Q会在四个方向上分别q行计算QL一个方向上会找C点，q将扑ֈ交点的参数固定情况返回：
在函数Perform()中通用求解q代方程l，得到_交点Q?/p>
其中q代方程lؓ成员变量myZerParFuncQ方E组求解使用cmath_FunctionSetRoot。由方程l求解类注释可知Q需要方E组的一阶偏导数x度GradientQ采用的是Newtonq代法。若方程l有解Root且满精度要求，则保存下_交点的坐标值及在两个曲面上的参数值等数据?/p>
3 三参数P代方E组
三参数P代方E类为GeomInt_TheFunctionOfTheInt2SOfThePrmPrmSvSurfacesOfWLApprox,
是从cmath_FunctionSetWithDerivativesz的，即三参数q代方程是个方程l?Function Set)。其定义在文件IntImp_ZerParFunc中，先用函数ComputeParameters()Ҏ固定参数cd来确定估计点的固定参数及另外三个参数变量的初始|
设两个参数曲面S1(u1,v1)QS2(u2,v2)Qƈ已知一交点的初估计点P0QP0点在两张曲面上对应的投媄点分别ؓP1=S1(u0,v0)和P2=S2(s0,t0)。由于P0点ؓ一估计点，所以P1和P2q不重合。设以s0作ؓ固定参数Q即当固定参数类型ؓIntImp_UIsoparametricOnCaro1Ӟ则问题{化ؓ求u*,v*,t*Q两曲面片上的点S1(u*,v*)和S2(s0,t*)重合。徏立方E组Q?/p>
R(u,v,t)=S1(u,v) - S2(s0, t)
通过函数计算两个曲面上的点pntsol1和pntsol2Q得C个变量的方程l的倹{?/p>
因ؓ要用Newtonq代法，需要提供方E组的一阶偏导数Q即Jacobian矩阵Q?/p>
函数Derivatives()用来计算一阶偏导数Q?/p>
4 Conclusion
lg所qͼq代法本w不能构成一个独立的求交ҎQ与所有不动点q代法一P应用q代法求交线之前Q首先必ȝZ点的初始估计|而交点的初始值必通过其他求交Ҏ得到。因此，q代交交常同其它求交Ҏl合使用Q作Z点精化的一U手DcP代法的主要过E是Ҏ初始估计点的几何性质Q如坐标位置、切矢、法矢、曲率等Q运用NewtonҎ得到一个较原估计点更接q于目标点（即精交点）的估计点。如此反复进行，直到求得的交Ҏx要求的精度。该法的优点是在初值比较好时其收敛速度非常快，而且能应用于L参数曲面包括Coons曲面和等距曲面，因此应用非常q泛Q其主要~点是对初始D求比较苛刻，初始?选择不当有可能导致P代不收敛?/p>
OpenCASCADE中曲面求交的q代法也不是独立的方法，与之配合的有L|格求交得到初|在追t中作用q代法。P代求交用的是三参数q代法，Ҏ三参数P代法的数学方E可知，需要计曲面上参数对应的点和切矢?/p>
1 Introduction
由朱心雄{著《自由曲U曲面造型技术》书中对曲面求交之网格离散法描述如下Q该法的基本思想是先曲面离散ؓ由小q面片组成的|格Q当|格_密时Q可以认为已l非常接q真实曲面，对分别表CZ同曲面的两张|格Q利用^面片求交法求得的交线Qƈ以此交线q似代表曲面间的交线。这U方法原理简明，便于实现Q适用范围q，L参数曲面均可利用该法求交。但取精地交线Q则必须生成非常l密的网|q将D占用内存多，计算p大。因此，实际工作中很单一使用L|格法，而常其与其他方法结合用?/p>
OpenCASCADE中对于曲面求交也提供L|格法，其中曲面的离散网格由cIntPatch_Polyhedron表示Q两个网格面求交使用cIntPatch_InterferencePolyhedron。在实际计算两个面相交时q没有用这个类Q而是使用cIntPolyh_IntersectionQ而离散网g用类IntPolyh_MaillageAffinage?/p>
2 |格L
使用cIntPolyh_MaillageAffinage主要用来生成曲面的网|其中MaillageAffinage是法语，译q来是Mesh Refining|格l化Q网格精度主要是通过参数UQV方向上的采样Ҏ量来定。当不指定采L数量Ӟ默认是参数UQV方向分别10个，即默认会生成10x10个采LQ即使是q面也是生成100个采L。通过函数FillArrayOfPnt()生成采样炏V通过函数FillArrayOfTriangles()来生成三角ŞQ三角Ş的数量通过如下图所C公式计，默认数量 ?x(10-1)x(10-1)=162?/p>
对于单的q面Q如果不指定采样Ҏ量，也会生成100个采L?62个三角ŞQ?/p>
3 |格求交
两个|格求交是通过cIntPolyh_Intersection来计，计算的结果也是两个网g间的交线。还是将交线昄出来便于观察Q?/p>
从生成的交线来看Q这个结果要比IntPatch_InterferencePolyhedron要好Q没有多余的交线。类IntPolyh_Intersection中用BVH来过滤不怺的三角ŞQ所以速度也会快很多?/p>
4 Conclusion
lg所qͼ使用cIntPolyh_Intersection来计两个曲面网格的交线。曲面网格生成直接通过参数UQV上的采样Ҏ量来定Q虽然生成网格速度快，但是_ֺ控制不好Q即使是q面也会Ҏ采样数量生成大量采样点和三角形，影响求交速度。网格求交作为曲面求交的预处理步骤，如何用更的三角形来表示曲面Q可提高|格求交性能?/p>
1 Introduction
由朱心雄{著《自由曲U曲面造型技术》书中对曲面求交之网格离散法描述如下Q该法的基本思想是先曲面离散ؓ由小q面片组成的|格Q当|格_密时Q可以认为已l非常接q真实曲面，对分别表CZ同曲面的两张|格Q利用^面片求交法求得的交线Qƈ以此交线q似代表曲面间的交线。这U方法原理简明，便于实现Q适用范围q，L参数曲面均可利用该法求交。但取精地交线Q则必须生成非常l密的网|q将D占用内存多，计算p大。因此，实际工作中很单一使用L|格法，而常其与其他方法结合用?/p>
OpenCASCADE中对于曲面求交也提供L|格法，其中曲面的离散网格由cIntPatch_Polyhedron表示Q两个网格面求交使用cIntPatch_InterferencePolyhedron。本文主要介l曲面的|格求交cIntPatch_InterferencePolyhedron?/p>
2 Polyhedron Interference
OpenCASCADE中计两个三角网gU的cLIntPatch_InterferencePolyhedronQ这个类q可以用来计一个网格的自交情况。目前是单计两个网g所有三角Ş的相交情况，旉复杂度ؓO(nm)或O(n^2)Q对于网g角Ş数量大的情况效率很低。ؓ了稍微提高一些性能Q引入Bnd_BoundSortBox来加速过滤掉包围盒不怺的三角ŞQ减两个三角Ş怺计算?/p>
其中函数Intersect()是用来计算两个三角形的怺情况。关于两个三角Ş的快速求交计，很多|格处理库都使用了Tomas Moller’s 1997 triangle intersection routineQ如
http://geometry-central.net/surface/algorithms/intersection/ 中也提供两个|格求交函数Q?/p>
在用较q泛的网格处理库CGAL中也有相兌函敎ͼ
感兴的同学可以Ҏ一下这三个库关于两个网格求交的性能Q看谁的性能最好，使用了什么技术。这里只是将OpenCASCADE中计的求交l果输出Q首先是面的自相交情况：
其中U色部分ZU，可以看出在计自怺Ӟ会生成多余的交线。其中蓝色部分是有重叠三角Ş的情c?/p>
当计两个网gU时QM上是正确的，不过也会有多余的交线产生?/p>
3 Conclusion
lg所qͼ两个|格怺计算最直接的算法就是两两三角Şq行求交计算Q但是对于大|格会有性能问题。OpenCASCADE中两个网格求交计会得到多余的交U，目前|格L求交只是用于Bh曲面的求交计的前处理IntPatch_PrmPrmIntersectionQ从OpenCASCADE计算两个曲面交线l果来看Q离散网D中多余的交U没有媄响最l的计算l果。大家可以带着q个问题“L|格计算得到多余的交U对最l结果有影响么？”来理解IntPatch_PrmPrmIntersection中曲面求交的实现原理?/p>
1 Introduction
由朱心雄{著《自由曲U曲面造型技术》书中对曲面求交之网格离散法描述如下Q该法的基本思想是先曲面离散ؓ由小q面片组成的|格Q当|格_密时Q可以认为已l非常接q真实曲面，对分别表CZ同曲面的两张|格Q利用^面片求交法求得的交线Qƈ以此交线q似代表曲面间的交线。这U方法原理简明，便于实现Q适用范围q，L参数曲面均可利用该法求交。但取精地交线Q则必须生成非常l密的网|q将D占用内存多，计算p大。因此，实际工作中很单一使用L|格法，而常其与其他方法结合用?/p>
OpenCASCADE中对于曲面求交也提供L|格法，其中曲面的离散网格由cIntPatch_Polyhedron表示Q两个网格面求交使用cIntPatch_InterferencePolyhedron。本文主要介l曲面的|格表示cIntPatch_Polyhedron?/p>
2 Polyhedron
OpenCASCADE用于曲面求交的网格离散算法相对BRepMesh中的法要简单很多，主要思\是根据参数UQV方向上的采样Ҏ量来计算曲面上的点，再根据固定公式将采样点连成三角Ş。其中生成采L代码如下所C：
成员变量CMyPnts是采L数组QCMyU和CMyV是采L在曲面上的参数。将采样点连成三角Ş函数如下图所C：
Ҏ上述生成采样点及三角形函敎ͼ对于q面生成的三角Ş如下图所C：
其中Triangle()函数中变量line表示参数u方向上第几条U，代入具体的烦引Index来看规律Q?/p>
当参数烦?Index?Ӟline?Q得到的三角形ؓ1-4-5Q?/p>
当参数烦引Index?Ӟline?Q得到的三角形ؓ1-5-2Q?/p>
当参数烦引Index?Ӟline?Q得到的三角形ؓ2-5-6Q?/p>
当参数烦引Index?Ӟline?Q得到的三角形ؓ2-6-3Q?/p>
当参数烦引Index?Ӟline?Q得到的三角形ؓ4-7-8Q?/p>
当参数烦引Index?Ӟline?Q得到的三角形ؓ4-8-5Q?/p>
从上可以得到生成三角形的规律Q即Ҏ索引Index计算正在处理的三角Ş是参数u方向上第几条UlineQ生成这条线上在参数v方向上的所有的三角形。生成的三角形都是逆时针的?/p>
下面我们看看对于一些基本曲面，q种L|格法生成的网格效果：
球面的离散网?/p>
圆柱面的L|格
圆环面的L|格
Bh曲面
3 Conclusion
lg所qͼcIntPatch_Polyhedron中生成网格的法主要依赖曲面在参数UQV上的采样Ҏ量。默认采L数量是根据函数NbSamplesV()和NbSamplesU()生成?/p>
也可以指定采L数量Q当采样Ҏ量越多，则生成的三角形越多，|格密。当然这U方式也可用来生成曲面的昄数据Q生成速度很快Q唯一的缺h生成昄用网格的_ֺ只能通过采样Ҏ量来控制Q对于曲率变化大的曲面，若指定多的采LQ则会生成大量三角ŞQ占用大量内存空间?/p>
附上试代码Q?/p>
#include <TColgp_Array2OfPnt.hxx>
#include <Geom_Plane.hxx>
#include <Geom_CylindricalSurface.hxx>
#include <Geom_ConicalSurface.hxx>
#include <Geom_SphericalSurface.hxx>
#include <Geom_ToroidalSurface.hxx>
#include <Geom_BSplineSurface.hxx>
#include <GeomAdaptor_Surface.hxx>
#include <GeomAPI_PointsToBSplineSurface.hxx>
#include <IntPatch_Polyhedron.hxx>
#include <IntPatch_InterferencePolyhedron.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
#pragma comment(lib, "TKG2d.lib")
#pragma comment(lib, "TKG3d.lib")
#pragma comment(lib, "TKGeomBase.lib")
#pragma comment(lib, "TKGeomAlgo.lib")
void makeSurface(Handle(Geom_BSplineSurface)& theSurface)
{
TColgp_Array2OfPnt aPoints(1, 5, 1, 5);
aPoints.SetValue(1, 1, gp_Pnt(-4, -4, 5));
aPoints.SetValue(1, 2, gp_Pnt(-4, -2, 5));
aPoints.SetValue(1, 3, gp_Pnt(-4, 0, 4));
aPoints.SetValue(1, 4, gp_Pnt(-4, 2, 5));
aPoints.SetValue(1, 5, gp_Pnt(-4, 4, 5));
aPoints.SetValue(2, 1, gp_Pnt(-2, -4, 4));
aPoints.SetValue(2, 2, gp_Pnt(-2, -2, 4));
aPoints.SetValue(2, 3, gp_Pnt(-2, 0, 4));
aPoints.SetValue(2, 4, gp_Pnt(-2, 2, 4));
aPoints.SetValue(2, 5, gp_Pnt(-2, 5, 4));
aPoints.SetValue(3, 1, gp_Pnt(0, -4, 3.5));
aPoints.SetValue(3, 2, gp_Pnt(0, -2, 3.5));
aPoints.SetValue(3, 3, gp_Pnt(0, 0, 3.5));
aPoints.SetValue(3, 4, gp_Pnt(0, 2, 3.5));
aPoints.SetValue(3, 5, gp_Pnt(0, 5, 3.5));
aPoints.SetValue(4, 1, gp_Pnt(2, -4, 4));
aPoints.SetValue(4, 2, gp_Pnt(2, -2, 4));
aPoints.SetValue(4, 3, gp_Pnt(2, 0, 3.5));
aPoints.SetValue(4, 4, gp_Pnt(2, 2, 5));
aPoints.SetValue(4, 5, gp_Pnt(2, 5, 4));
aPoints.SetValue(5, 1, gp_Pnt(4, -4, 5));
aPoints.SetValue(5, 2, gp_Pnt(4, -2, 5));
aPoints.SetValue(5, 3, gp_Pnt(4, 0, 5));
aPoints.SetValue(5, 4, gp_Pnt(4, 2, 6));
aPoints.SetValue(5, 5, gp_Pnt(4, 5, 5));
theSurface = GeomAPI_PointsToBSplineSurface(aPoints).Surface();
}
void writeStl(const IntPatch_Polyhedron& thePolyhedron, const std::string& theFileName)
{
// Dump surface polyhedron to STL file.
std::ofstream aStlFile(theFileName);
aStlFile << "solid polyhedron" << std::endl;
// Dump triangles.
for (Standard_Integer t = 1; t <= thePolyhedron.NbTriangles(); ++t)
{
Standard_Integer aPi1 = 0;
Standard_Integer aPi2 = 0;
Standard_Integer aPi3 = 0;
thePolyhedron.Triangle(t, aPi1, aPi2, aPi3);
const gp_Pnt& aP1 = thePolyhedron.Point(aPi1);
const gp_Pnt& aP2 = thePolyhedron.Point(aPi2);
const gp_Pnt& aP3 = thePolyhedron.Point(aPi3);
aStlFile << "facet" << std::endl;
aStlFile << "outer loop" << std::endl;
aStlFile << "vertex " << aP1.X() << " " << aP1.Y() << " " << aP1.Z() << std::endl;
aStlFile << "vertex " << aP2.X() << " " << aP2.Y() << " " << aP2.Z() << std::endl;
aStlFile << "vertex " << aP3.X() << " " << aP3.Y() << " " << aP3.Z() << std::endl;
aStlFile << "endloop" << std::endl;
aStlFile << "endfacet" << std::endl;
}
aStlFile << "endsolid polyhedron" << std::endl;
aStlFile.close();
}
void testPolyhedron()
{
// Plane surface polyhedron.
Handle(Geom_Plane) aPlane = new Geom_Plane(gp::XOY());
Handle(GeomAdaptor_Surface) aSurfaceAdaptor = new GeomAdaptor_Surface(aPlane, 0.0, 10.0, 0.0, 20.0);
IntPatch_Polyhedron aPlanePolyhedron(aSurfaceAdaptor);
writeStl(aPlanePolyhedron, "d:/plane.stl");
// Spherical surface polyhedron.
Handle(Geom_SphericalSurface) aSphericalSurface = new Geom_SphericalSurface(gp::XOY(), 3.0);
aSurfaceAdaptor = new GeomAdaptor_Surface(aSphericalSurface);
IntPatch_Polyhedron aSphericalPolyhedron(aSurfaceAdaptor);
writeStl(aSphericalPolyhedron, "d:/spherical.stl");
// Cylindrical surface polyhedron.
Handle(Geom_CylindricalSurface) aCylindricalSurface = new Geom_CylindricalSurface(gp::XOY(), 5.0);
aSurfaceAdaptor = new GeomAdaptor_Surface(aCylindricalSurface, 0.0, M_PI, 0.0, 8.0);
IntPatch_Polyhedron aCylindricalPolyhedron(aSurfaceAdaptor);
writeStl(aCylindricalPolyhedron, "d:/cylindrical.stl");
// Toroidal Surface polyhedron.
Handle(Geom_ToroidalSurface) aToroidalSurface = new Geom_ToroidalSurface(gp::XOY(), 10.0, 3.0);
aSurfaceAdaptor = new GeomAdaptor_Surface(aToroidalSurface);
IntPatch_Polyhedron aToroidalPolyhedron(aSurfaceAdaptor);
writeStl(aToroidalPolyhedron, "d:/toroidal.stl");
// BSpline surface polyhedron.
Handle(Geom_BSplineSurface) aBSplineSurface;
makeSurface(aBSplineSurface);
aSurfaceAdaptor = new GeomAdaptor_Surface(aBSplineSurface);
IntPatch_Polyhedron aPolyhedron(aSurfaceAdaptor);
writeStl(aPolyhedron, "d:/bspline.stl");
}
int main(int argc, char* argv[])
{
testPolyhedron();
return 0;
}
]]>
Abstract: 曲面求交是几何造型内核最为重要也最为复杂的问题之一Q求交算法的质量Q稳定、准、快速）直接影响到几何内核的E_性和实用E度Q故h十分重要的意义。求交问题包括曲U与曲线求交、曲U与曲面求交和曲面与曲面求交Q其中最重要隑ֺ最大的当属曲面与曲面求交问题，其他求交问题可以应用曲面与曲面求交的思想予以解决。本文主要介lopencascade中曲面与曲面求交的实现原理?/p>
Key Words: Face Face Intersection, Intersection
1. Introduction
如果说理解opencascade中面的构造原理（即理解BRepBuilderAPI_MakeFace的源码）Q我觉得是理解了BRep表示法的数据l构Modeling Data。如果说理解了曲面与曲面求交的实现原理，我觉得算是对几何内核中的核心法布尔操作有了一定的认识。曲面与曲面求交q程QIntersection AlgorithmQ中主要依赖三大工具Q拟合（Approximation AlgorithmQ、投影（Projection AlgorithmQ和定位QClassification AlgorithmQ。下面结合布操作TKBO中的曲面与曲面求交类IntTools_FaceFace源码实现分别介绍q三大工L应用场景。opencascade中的法cM般的使用套\和把大象装冰q似d分三步：
W一步，初始化；通过构造函数或Init(){函数将法c需要的参数输入q去QIntTools_FaceFace中通过SetParameters()函数讄法的参?/p>
W二步：计算Q用函数Build()Q?Perform()函数来执行计；IntTools_FaceFace中的主要实现逻辑在Perform()中?/p>
W三步：输出Q将计算l果输出。IntTools_FaceFace通过Lines()和Points()函数输出计算l果即交U和交点?/p>
2. Approximation Algorithm 拟合
opencascade中曲面的表示有两U方式，一U是参数方程S(u,v)表示Q一U是二次曲面的代数方Ef(x,y,z)=0表示。因此也曲面求交问题分为：
- 代数/代数曲面求交Q?/li>
- 代数/参数曲面求交Q?/li>
- 参数/参数曲面求交Q?/li>
opencascade中计曲面求交更底层的类是IntPatch_IntersectionQ其中也是分q三U类型来处理Q?/p>
GeomGeomPerfom()对应的是代数/代数曲面求交Q?/p>
GeomParamPerform()对应的是代数/参数曲面求交Q?/p>
ParamParamPerform()对应的是参数/参数曲面求交Q?/p>
其中代数/代数曲面求交函数GeomGeomPerform()中用类IntPatch_ImpImpIntersection来计两个二ơ代数曲面的求交Q其实这是Imp~写是隐式代数方程Implicit Equation的意思?/p>
二次代数曲面的求交用包IntAna来实玎ͼq在早期文章中分析了其实现原理，主要思想是将一个二ơ曲面的参数表示代入隐式方程变成一元方E，然后对这个一元方E进行求解。例如圆柱面与二ơ代数曲面求交：
其中代数/参数曲面求交函数GeomParamPerform()中用类IntPatch_ImpPrmIntersection来计代数曲面和参数曲面的求交，q里Prm为Parametric equation参数方程的羃写。其代码注释中写到bi-parametrised surface意思双参数曲面S(u, v)?/p>
其中代数/参数曲面求交函数ParamParamPerform()中用类IntPatch_PrmPrmIntersection来计参数数曲面和参数曲面的求交?/p>
参数/参数曲面求交的基本方法有以下五种Q?/p>
- 代数法，也称解析法；
- |格L法；
- 分割法；
- q代法；
- q踪法；
相关原理介绍可以参考朱心雄{著《自由曲U曲面造型技术》。大家可以结合源码，看看opencascade中用了哪些Ҏ。曲面交U的表达涉及三个问题Q交点信息表C，交线l织及交U中交点的删除策略。交U的表达使用cIntPatch_LineQ?/p>
在类IntTools_FaceFace中函数SetParameters()中可以指定交U中交点的删除策略。通过参数ApproxCurves和ApproximationTolerance来指定交U中交点是否拟合及拟合精度。求交过E中得到的交点往往非常致密Q这栯然可以保证交U的_ֺQ但保存的数据量太大Q在实际应用中需要删除部分交炏VPratt提出使用最二乘法对交UKDQ以删除不必要的交点。这里就需要用到拟合法Approximation Algorithm?/p>
在opencascade中拟合问题被抽象成非U性方E组的求解问题，当然最二乘法也是其中Ҏ之一。拟合算法是造型内核中最基础最重要的算法，除了单的Ҏ合成U以外，q要处理带约束的情况Q如加上交点通过曲面的位|约束等。几何约束求解器中核心也是如此。法国、俄|斯数学厉害Q我惛_该是已经形成理论+应用的良性@环。数学是创新的基Q是用最单的语言来精描q自然中的规律，虽然我们理工U一直学数学Q但工作后很大一部分人很用高{数学中的工P感觉数学没什么用。学而不思则|，思而不学则D。我ȝ的学习规律就是要有实践，上学时实践就是通过做题Q数学理论的一U实践就是开发出软gE序?/p>
现在国家提倡自L觉得是大好事Q什么时候我们出一个几何内核，Z个PDE偏微方程求解器等QŞ成理论加实践的良性@环，以我们的人数和勤劻Iȝ技强国׃会太q?/p>
3. Projection Algorithm 投媄
投媄主要用来计算曲面上的曲线对应到曲面参数空间的曲线PCurveQ生成FACE面时如果边EDGE中没有PCurveQ得到的面是不正的。投q法的实现原理在早期的文章中已l详l介l过Q投q法依赖拟合算法。投q法用在生成交U的函数中MakeCurve()Q?/p>
当不对交U进行拟合时Q生成交U及PCurve主要使用cGeomInt_SS的静态函数来得到交线Q?/p>
q样生成的交U是Bh曲线且控刉Ҏ量很大。当通过拟合可以生成更简化的Bh交线?/p>
4. Classification Algorithm 定位
定位工具主要用于判断点和一个区域的状态，是在区域内、外q是上。在早期的文章中有一些介l：https://www.cnblogs.com/opencascade/p/Point_Classifier.html
点定位在曲面求交中的应用是处理拓朴面的情况Q对于几何曲面，其实参数域就是其参数S(u,v)的取D围。对于拓朴面Q其参数域是通过边界Wire来限定的Q而且q会有面上开孔的情况需要处理。其实IntTools_FaceFace主要是用来计FACE中几何曲面求交的Q没有正处理定位问题，即生成的交线没有处理面的边界问题。相信看懂源码的同学可以解决q个问题?/p>
定位问题是个几何问题Q在《计几何及应用》一书中有对点的定位问题有详l算法。一般的处理Ҏ是通过点作一条半线Q计半线与多边Ş交点的个敎ͼ若交Ҏ为奇敎ͼ则点在内部，否则在外部。还有一U方法是通过计算点与多边形各点的角度来判断。这两种方式旉复杂度均为O(n)。opencascade中用的W一U方法。书中提到几U效率更高的法Q如点定位问题的分层ҎQ可以将查询旉提高到O(logn)。点定位问题的单调链Ҏ用O(nlogn)旉和O(n)I间作预处理Q查询时间可以O((logn)^2)完成。点定位的三角Şl分Ҏ(Triangulation refinement method)只用O(n)I间存放预处理结果，用O(logn)旉回答点在哪个区域Q完成预处理的时间是O(nlogn)。由此可见，opencascade的定位算法还有一些改q空间?/p>
5. Conclusion
几何内核中曲面和曲面求交是最重要最复杂的问题，处理曲面和曲面求交需要拟合Approximation Algorithm、投影Projection Algorithm和定位Classification Algorithm工具。其中拟合和投媄主要是数学问题，定位主要是个几何问题Q理解问题就能找到相应的解决工具。庆q有opencascadeq个功能相对完备的开源的几何内核Q提供了一个理pd늚q_。理解数学理论后可以去阅L码，甚至是参与和贡献Q求交、拟合、投影和定位工具都有一些改q空间?/p>
最q关注的朋友说文章发得少了，主要原因是有点忙Q不是因Z守不惛_享，当然有些朋友也提醒要留一手。对于opencascade的技术分享我是没有保留的Q因为opencascade是开源的Q如果通过q些文章分n能帮助别决一些问题，是创造h|是有意义的。时不时收到|友的感谢，收获的感动不是用金钱可以衡量的?/p>
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McCad是一个开源工P能自动将BRep模型转换成CSG模型。随着核动力技术的发展Q不断开展新型反应堆的研IӞ反应堆的燃料形式和堆芯布|都较ؓ复杂Q由于蒙特卡|?MC)Ҏh强大的几何处理能力和较高的计精度Q它是模拟分析这些复杂堆芯的有效手段。通过使用McCad复杂BRep模型转换成CSG模型QCSG表示的模型可作ؓ核反应堆芯计蒙特卡|?MC)Ҏ的输入?/p>
McCadZOpenCASCADE内核已经持箋开发了20q_ZLGPL协议开源，感兴的伙伴可以下载尝试一下：
https://github.com/inr-kit/McCAD-Library
BRep转CSG个h感觉没有完美的解x案，但是应用范围很广。如果{换效果好Q其实还有一个用途，是BRep转换的CSG模型导入到PDMS中，从而解决通过机械讑֤接口MEI导入STEP/IGES后PDMS模型数据变大的问题?/p>
McCad is an open source tool for automatic conversion of B-Rep models into CSG.
McCad has been continuously developed for more than two decades. It provides automatic conversion of Boundary Representation (BREP) CAD models into Constructive Solid Geometry (CSG), the latter of which is an input syntax often used in Monte Carlo (MC) radiation transport codes. The conversion process, from BREP to CSG, is essential for high-fidelity nuclear analysis of complex nuclear facilities. McCad can convert CAD files in STEP format to different input syntaxes used with MC codes such as MCNP, TRIPOLI, Geant4, etc., so that the manual efforts on building a complex simulation model can be avoided. McCad provides an advanced algorithm to decompose complex solids into its constituent convex primitives, and generates the void space description between the solids, which is required by MC codes.
It relies on OpenCASCADE CAD kernel to perform CAD manipulations and Boolean operations. McCad has been integrated into the SALOME platform, with a detailed manual provided. It is an open-source code released under LGPL license. This code has been currently used for nuclear research institutes crossing continents, for nuclear analyses on fission reactors, fusion facilities and neutron source facilities.
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1 Introduction
OpenCASCADE的显C模块的功能性能如何Q很多h都很兛_。开源社区的FreeCAD目前的显C功能都没有使用OpenCASCADE的显C模块。早?014q时Q我在社坛提昄模块交互选择的性能问题Q?/p>
https://dev.opencascade.org/content/selection-convert-2d-not-very-efficient
当时的版本应该是6.8.0。在6.7.1的发布信息中q提C我很开心：
当时KGV也正在优化这部分的功能：
https://tracker.dev.opencascade.org/view.php?id=24623
通过引入BVH来更高效地处理选择Q这个功能集成到6.9.0的版本中了。在6.8.0版本中已l在增强昄模块的性能Q如引入culling机制Q?/p>
https://tracker.dev.opencascade.org/view.php?id=24307
?.4.0版本Qculling基本完善Q当模型出视锥体范围就从显存中去除Q?/p>
https://tracker.dev.opencascade.org/view.php?id=30223
到现在最新版本，昄模块的显C和交互功能的性能到底如何Q下面给出我的一个测试，试l果仅供参考?/p>
2 g信息
试电脑的配|信息如下表Q?/p>
q台电脑已经是好几年之前的配|了Q相对现在的L配置已经落后了?/p>
3 试l果
q个试模型是船的艏部模型，包括船体l构和舾装模型，d的三角面片数量ؓ5百万Q数FPS?5.8Q数大?2应该流畅。交互选择性能很好Q感觉不到gq，鼠标Ud到模型上可以高亮?/p>
q个试模型是一个渡轮，包括船体l构和舾装的所有模型，d的三角面片数量ؓ1?百万Q数FPS?.1Q视图操作（对视囄放、旋转、移动）已经有比较严重的延迟Q但是交互选择性能q不错，没有延迟Q鼠标移动到模型上也是实旉亮?/p>
q个是vz^台模型，包括l构和舾装模型。这个模型量最大，d??百万三角面片Q数FPS?.2Q视图操作（对视囄放、旋转、移动）已经有比较严重的延迟Q但是交互选择性能q不错，没有延迟Q鼠标移动到模型上也是实旉亮。这个最大的模型占用内存情况如下图所C：
软gd占存3.4G内存Q这其中q包含左边的设计D树的数据。当模型放大，出视图范围外的模型已经被剔除cullingQ所以可以从上图可以看出三角面片数量变少了，?百万?/p>
4 Conclusion
通过以上的测试数据，大家可以l合自己行业模型的体量来选择是否使用OpenCASCADE的显C模块。对于接q?千万三角面片的模型来_模型量已l比较大Q在q个电脑配置情况下基本能满一些大体量的模型显C及交互操作。因为对于大的设计模型，一般在设计q程中，也不是一个h设计Q而是多h多专业协同设计，一个h涉及到的模型量一般不会达?千万q个量。而当设计完成Q只需要浏览时Q如模型评审Q，q时有很多优化手段?/p>
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