OpenCASCADE 線面求交
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1 Introduction
OpenCASCADE中幾何曲線與曲面求交使用類(lèi)GeomAPI_IntCS，是對(duì)類(lèi)IntCurveSurface_HInter的簡(jiǎn)單封裝。在IntCurveSurface_HInter中對(duì)曲線和曲面求交分為以下幾種類(lèi)型：
- PerformConicSurf：二次曲線與曲面求交，其中又分為兩類(lèi)：二次曲線與二次曲面求交和二次曲線和自由曲面求交；
- InternalPerformCurveQuadric：自由曲線與二次曲面求交；
- InternalPerform：自由曲線和自由曲面求交；
本文主要介紹曲線與曲面求交的實(shí)現(xiàn)原理。
2 二次曲線與二次曲面求交
二次曲線與二次曲面求交使用IntAna_ConicQuad計(jì)算，主要思路是將曲線用參數(shù)方程表示，代入二次曲面的代數(shù)方程。二次曲面可以使用二次多項(xiàng)式表示，將二次曲線與二次曲面相交表示成一個(gè)多項(xiàng)式方程，使用math_DirectPolynomialRoots對(duì)多項(xiàng)式方程進(jìn)行求解。
3 二次曲線與自由曲面求交
二次曲線與自由曲面求交將曲面使用IntCurveSurface_Polyhedron在U，V上采樣離散得到grid網(wǎng)格。這個(gè)類(lèi)實(shí)現(xiàn)與IntPolyh_MaillageAffinage類(lèi)功能有重復(fù)。
IntCurveSurface_ThePolygon多段線與Intf_InterferencePolygonPolyhedron 網(wǎng)格求交，根據(jù)多段線與網(wǎng)格求交情況，找到初始值，使用IntImp_IntCS計(jì)算精確值。與曲面求交的Marching算法類(lèi)似，使用迭代法去計(jì)算精確交點(diǎn)。迭代方程為IntImp_ZerCSParFunc，寫(xiě)出這個(gè)方程的Value()值計(jì)算和Derivatives()微分計(jì)算公式。
將曲線與曲面求交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲面參數(shù)u,v和曲線參數(shù)w，使曲線C(w)曲面S(u,v)上的點(diǎn)重合，建立函數(shù)如下：
F(u,v,w)=S(u,v) - C(w)
所求的精確交點(diǎn)滿足方程F(u,v,w)=0，F(xiàn)為一含有三個(gè)坐標(biāo)的矢量，對(duì)應(yīng)函數(shù)Value()：
Fx(u,v,w)=Sx(u,v) - Cx(w) = 0
Fy(u,v,w)=Sy(u,v) - Cy(w) = 0
Fz(u,v,w)=Sz(u,v) - Cz(w) = 0
上面為含有三個(gè)方程的以u(píng),v,w為變量的非線性方程組，精確交點(diǎn)就是非線性方程組的解。使用類(lèi)math_FunctionSetRoot應(yīng)用Newton-Raphson迭代法求解非線性方程組的解。使用Newton迭代法有個(gè)前提條件是要求非線性方程組一階可導(dǎo)，即要寫(xiě)出Jacobian迭代矩陣，即上述函數(shù)Derivatives()的實(shí)現(xiàn)原理：
4 自由曲線與二次曲面求交
自由曲線與二次曲面求交IntCurveSurface_TheQuadCurvExactInter ，通過(guò)類(lèi)IntCurveSurface_TheQuadCurvFuncOfTheQuadCurvExactHInter建立二次曲面與曲線之間的函數(shù)，是求解曲線上參數(shù)U的一元函數(shù)。
5 自由曲線與自由曲面求交
自由曲線與自由曲面求交和二維自由曲線求交類(lèi)似，采用的離散法。即將曲線通過(guò)采樣離散成多段線Polygon，將曲面采樣生成網(wǎng)格Polyhedron，通過(guò)類(lèi)IntCurveSurface_TheInterferenceOfHInter來(lái)計(jì)算多段線與網(wǎng)格的相交。
包Intf主要用來(lái)計(jì)算二維多段線、三維多段線及網(wǎng)格的相交。根據(jù)離散計(jì)算的粗交點(diǎn)，再根據(jù)類(lèi)IntCurveSurface_TheExactHInter使用迭代法求得精確交點(diǎn)。這個(gè)思想與曲面和曲面求交相同。
6 求交結(jié)果
曲線與曲面求交的結(jié)果主要也是保存在類(lèi)IntCurveSurface_Intersection對(duì)象中，這個(gè)類(lèi)的設(shè)計(jì)與二維曲線求交類(lèi)似，不夠直接。
可以看到IntCurveSurface_Intersection這個(gè)類(lèi)的構(gòu)造函數(shù)是protected的，意思是不能直接使用，通過(guò)派生類(lèi)IntCurveSurface_HInter調(diào)用SetValues()函數(shù)將求交結(jié)果保存起來(lái)。求交結(jié)果為交點(diǎn)IntCurveSurface_IntersectionPoint和交線IntCurveSurface_IntersectionSegment。
其中交點(diǎn)中IntCurveSurface_IntersectionPoint保存了三維坐標(biāo)點(diǎn)，交點(diǎn)在曲面上的U,V參數(shù)，交點(diǎn)在曲線上的參數(shù)U及相交狀態(tài)。交線主要是線現(xiàn)面和重合部分的幾何奇異情況數(shù)據(jù)。
從類(lèi)圖上可以看出，這個(gè)套路同樣用到了HLR算法中，理解這個(gè)套路對(duì)理解HLR算法有幫助。
7 Conclusion
綜上所述，OpenCASCADE中將曲線與曲面求交根據(jù)曲線和曲面類(lèi)型的不同分別處理。二次曲線曲面求交依賴IntAna包，自由曲線和自由曲面求交使用離散法，最終實(shí)現(xiàn)算法與兩個(gè)曲面求交的Marching算法類(lèi)似，通過(guò)離散得到的精交點(diǎn)，再代入迭代方程求得精確解。其中把曲線或曲面離散的采樣點(diǎn)沒(méi)有考慮曲線或曲面的曲率等，采樣點(diǎn)數(shù)量較大，會(huì)影響性能 。曲面采樣離散代碼與曲面求交中的有重復(fù)。從幾何求交類(lèi)中可以看到?jīng)]有容差的輸入，可以思考一下這個(gè)問(wèn)題。
TKGeomAlgo中除了擬合算法外，大部分代碼主要就是線線求交、線面求交及面面求交算法。理解這些算法的實(shí)現(xiàn)原理，為Boolean算法的求交邏輯打下基礎(chǔ)。