文章來源：http://www.freegames.com.cn/school/383/2007/27685.html
Nemesis2k
per-pixel lighting 紋理空間坐標基的計算方法
我知道的幾種方法：
1. 對于參數化的表面，設其方程為 P = P (u, v)，其中 P 為向量，
三個分量分別為 x, y z。也可以表示為：
Px = Px (u ,v)
Py = Py (u ,v)
Pz = Pz (u ,v)
那在任意一個頂點
T = {dPx/du, dPy/du, dPz/du}
B = {dPx/dv, dPy/dv, dPz/dv}
N = T X B
然后把 T, B, N 歸一化就行了。
這里的偏導數可以用差分計算。
這樣計算出來的切空間是在每一個頂點的切空間。
2。對于由三角形面片組成的網格，在 MSDN 上的 Per-pixel lighting
文章里介紹了一種方法。
設三角形的三個頂點是 P0, P1, P2，其中每個頂點都有位置，法向量
和 2-D 紋理坐標。
Pi : {x, y, z}, {nx, ny, nz}, {s, t}
現在我們要計算在 P0 點的切空間。
這里要分辨兩個切空間：
1）頂點上的切空間
2）三角形面片上的切空間
兩個切空間是相同的嗎？我覺得是不同的。方法 2 和方法 3 計算出來的
實際上都是三角形面片的切空間，頂點的切空間還要通過平均頂點所在
各個三角形面片的切空間基向量來計算。（是這樣的嗎？高手指教一下！）
設三角形面片所在的切空間的基向量為 T, B, N，坐標原點在 P0。
那么三角形面片中的任意向量應該可以表示為：
Vec = x*T + y*B
因此，如果我們找到了兩個向量 Vec1, Vec2 以及它們在 T, B 上的
分量，那么自然就可以解出 T, B 了。
令：
Vec1 = P1 - P0
Vec2 = P2 - P0
dS1 = P1.s - P0.s
dS2 = P2.s - P0.s
dT1 = P1.t - P0.t
dT2 = P2.t - p0.t
那么我們有
Vec1 = dS1*T + dT1*B (1)
Vec2 = dS2*T + dT2*B (2)
聯立 (1), (2) 就可以解出
B*(dS2*dT1 - dS1*dT2) = (dS2*Vec1 - dS1*Vec2)
所以：
(dS2*dT1 - dS1*dT2) 是一個常數，反正我們之后要對 B 歸一化，
可以不用管它。于是：
B = normalize(dS2*Vec1 - dS1*Vec2) 這就是 MSDN 里那篇文章里的方法。
B 可以通過解方程獲得，但是 T 就不行了，因為這樣解出來的 T 和
B 不一定垂直。怎么處理呢？
MSDN 中的方法是，利用頂點的 N 來求 T：
T = B X N
然后再求 N
N = T X B
但是這樣可以嗎？這里的 N 是頂點 P0 的 N，而不是三角形面片的 N。
是不是這樣求出來的 T, N, B 恰好是頂點 P0 的切空間的坐標基，不需要
再平均了？（高手指教！）
我想的處理方法是這樣的：
同樣解出 T 來：
T = normalize(dT2*Vec1 - dT1*Vec2)
然后 N = T X B。這個 N 是三角形面片的 N。
然后 T = B X N。這樣 T, N, B 構成正交基，而且是三角形面片的。
要計算 P0 頂點的切空間基，還需要平均多個面片。
這種方法到是比較復雜。
一個問題是，為什么有
Vec1 = dS1*T + dT1*B (1)
Vec2 = dS2*T + dT2*B (2)
這兩個公式！
我想是因為在計算頂點的紋理坐標時，因為是從平面映射到平面，所以我們使用了
仿射變換：
s = as*x + bs*y + cs
t = as*x + bs*y + cs
反過來我們有
x = ax*s + bx*t + cx (3)
y = ay*s + by*t + cy (4)
z = az*s + bz*t + cz (5)
于是
Vec1.x = P1.x - P0.x = ax*(P1.s - P0.s) + bx*(P1.t - P0.t)
Vec1.y = P1.y - P0.y = ay*(P1.s - P0.s) + by*(P1.t - P0.t)
Vec1.z = P1.z - P0.z = az*(P1.s - P0.s) + bz*(P1.t - P0.t)
于是
Vec1 = {ax, ay, az}*dS1 + {bx, by, bz}*dT1
這和 (1) 已經很象了，那么 {ax, ay, az} 就是 T 嗎？
答案是是的！事實上 (3), (4), (5) 就是三角形面片的參數表示，那么
T = {dx/ds, dy/ds, dz/ds} = {ax, ay, az}
B = {dx/dt, dy/dt, dz/dt} = {bx, by, bz}
也就是說，如果我們能直接把 ax, ay, az, bx, by, bz 求出來，T 和 B 就求出來了
（當然要把他們正交歸一化）
3 nVidia 網站上的方法。
我們可以假設
x = ax*s + bx*t + cx
y = ay*s + by*t + cy
z = az*s + bz*t + cz
如何求解 (3) ？這里有 3 個未知數，那我們需要 3 個方程。
將 3 個頂點的屬性 {x, y ,z}, {s, t} 帶入，剛好有三個方程：
P0.x = ax*P0.s + bx*P0.t + cx (1)
P1.x = ax*P1.s + bx*P1.t + cx (2)
P2.x = ax*P2.s + bx*P2.t + cx (3)
解出來就得到 ax, bx, cx 了。
同理可得： ay, by, cy, az, bz, cz。
T = {ax, ay, az}
B = {bx, by, bz}
N = T X B
T = B X N
然后都歸一化即可。
nVidia 網站上的方法呢，是建立三個平面方程
Ax*x + Bx*s + Cx*t + Dx = 0 (4)
Ay*y + By*s + Cy*t + Dy = 0 (5)
Az*z + Bz*s + Cz*t + Dz = 0 (6)
并且指出，三角形面片上的所有點的 (x, s, t) 都在
方程 (4) 定義的平面中。那么
dx/ds = -Bx/Ax
dx/dt = -Cx/Ax
同理
dy/ds = -By/Ay
dy/dt = -Cy/Ay
dz/ds = -Bz/Az
dz/dt = -Cz/Az
那么這些 Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz, Cx, Cy, Cz 怎么求呢？
容易知道，{Ax, Bx, Cx} 其實是平面的法向量，那么可以
選平面中的三個點，計算出兩個向量，然后叉乘。
{Ax, Bx, Cx} = {P1.x - P0.x, P1.s - P0.s, P1.t - P0.t} X
{P2.x - P0.x, P2.s - P0.s, P2.t - P0.t}
這兩種方法是等價的。