文章來(lái)源：http://www.freegames.com.cn/school/383/2007/27685.html
Nemesis2k
per-pixel lighting 紋理空間坐標(biāo)基的計(jì)算方法
我知道的幾種方法：
1. 對(duì)于參數(shù)化的表面，設(shè)其方程為 P = P (u, v)，其中 P 為向量，
三個(gè)分量分別為 x, y z。也可以表示為：
Px = Px (u ,v)
Py = Py (u ,v)
Pz = Pz (u ,v)
那在任意一個(gè)頂點(diǎn)
T = {dPx/du, dPy/du, dPz/du}
B = {dPx/dv, dPy/dv, dPz/dv}
N = T X B
然后把 T, B, N 歸一化就行了。
這里的偏導(dǎo)數(shù)可以用差分計(jì)算。
這樣計(jì)算出來(lái)的切空間是在每一個(gè)頂點(diǎn)的切空間。
2。對(duì)于由三角形面片組成的網(wǎng)格，在 MSDN 上的 Per-pixel lighting
文章里介紹了一種方法。
設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是 P0, P1, P2，其中每個(gè)頂點(diǎn)都有位置，法向量
和 2-D 紋理坐標(biāo)。
Pi : {x, y, z}, {nx, ny, nz}, {s, t}
現(xiàn)在我們要計(jì)算在 P0 點(diǎn)的切空間。
這里要分辨兩個(gè)切空間：
1）頂點(diǎn)上的切空間
2）三角形面片上的切空間
兩個(gè)切空間是相同的嗎？我覺(jué)得是不同的。方法 2 和方法 3 計(jì)算出來(lái)的
實(shí)際上都是三角形面片的切空間，頂點(diǎn)的切空間還要通過(guò)平均頂點(diǎn)所在
各個(gè)三角形面片的切空間基向量來(lái)計(jì)算。（是這樣的嗎？高手指教一下！）
設(shè)三角形面片所在的切空間的基向量為 T, B, N，坐標(biāo)原點(diǎn)在 P0。
那么三角形面片中的任意向量應(yīng)該可以表示為：
Vec = x*T + y*B
因此，如果我們找到了兩個(gè)向量 Vec1, Vec2 以及它們?cè)?T, B 上的
分量，那么自然就可以解出 T, B 了。
令：
Vec1 = P1 - P0
Vec2 = P2 - P0
dS1 = P1.s - P0.s
dS2 = P2.s - P0.s
dT1 = P1.t - P0.t
dT2 = P2.t - p0.t
那么我們有
Vec1 = dS1*T + dT1*B (1)
Vec2 = dS2*T + dT2*B (2)
聯(lián)立 (1), (2) 就可以解出
B*(dS2*dT1 - dS1*dT2) = (dS2*Vec1 - dS1*Vec2)
所以：
(dS2*dT1 - dS1*dT2) 是一個(gè)常數(shù)，反正我們之后要對(duì) B 歸一化，
可以不用管它。于是：
B = normalize(dS2*Vec1 - dS1*Vec2) 這就是 MSDN 里那篇文章里的方法。
B 可以通過(guò)解方程獲得，但是 T 就不行了，因?yàn)檫@樣解出來(lái)的 T 和
B 不一定垂直。怎么處理呢？
MSDN 中的方法是，利用頂點(diǎn)的 N 來(lái)求 T：
T = B X N
然后再求 N
N = T X B
但是這樣可以嗎？這里的 N 是頂點(diǎn) P0 的 N，而不是三角形面片的 N。
是不是這樣求出來(lái)的 T, N, B 恰好是頂點(diǎn) P0 的切空間的坐標(biāo)基，不需要
再平均了？（高手指教！）
我想的處理方法是這樣的：
同樣解出 T 來(lái)：
T = normalize(dT2*Vec1 - dT1*Vec2)
然后 N = T X B。這個(gè) N 是三角形面片的 N。
然后 T = B X N。這樣 T, N, B 構(gòu)成正交基，而且是三角形面片的。
要計(jì)算 P0 頂點(diǎn)的切空間基，還需要平均多個(gè)面片。
這種方法到是比較復(fù)雜。
一個(gè)問(wèn)題是，為什么有
Vec1 = dS1*T + dT1*B (1)
Vec2 = dS2*T + dT2*B (2)
這兩個(gè)公式！
我想是因?yàn)樵谟?jì)算頂點(diǎn)的紋理坐標(biāo)時(shí)，因?yàn)槭菑钠矫嬗成涞狡矫妫晕覀兪褂昧?br>仿射變換：
s = as*x + bs*y + cs
t = as*x + bs*y + cs
反過(guò)來(lái)我們有
x = ax*s + bx*t + cx (3)
y = ay*s + by*t + cy (4)
z = az*s + bz*t + cz (5)
于是
Vec1.x = P1.x - P0.x = ax*(P1.s - P0.s) + bx*(P1.t - P0.t)
Vec1.y = P1.y - P0.y = ay*(P1.s - P0.s) + by*(P1.t - P0.t)
Vec1.z = P1.z - P0.z = az*(P1.s - P0.s) + bz*(P1.t - P0.t)
于是
Vec1 = {ax, ay, az}*dS1 + {bx, by, bz}*dT1
這和 (1) 已經(jīng)很象了，那么 {ax, ay, az} 就是 T 嗎？
答案是是的！事實(shí)上 (3), (4), (5) 就是三角形面片的參數(shù)表示，那么
T = {dx/ds, dy/ds, dz/ds} = {ax, ay, az}
B = {dx/dt, dy/dt, dz/dt} = {bx, by, bz}
也就是說(shuō)，如果我們能直接把 ax, ay, az, bx, by, bz 求出來(lái)，T 和 B 就求出來(lái)了
（當(dāng)然要把他們正交歸一化）
3 nVidia 網(wǎng)站上的方法。
我們可以假設(shè)
x = ax*s + bx*t + cx
y = ay*s + by*t + cy
z = az*s + bz*t + cz
如何求解 (3) ？這里有 3 個(gè)未知數(shù)，那我們需要 3 個(gè)方程。
將 3 個(gè)頂點(diǎn)的屬性 {x, y ,z}, {s, t} 帶入，剛好有三個(gè)方程：
P0.x = ax*P0.s + bx*P0.t + cx (1)
P1.x = ax*P1.s + bx*P1.t + cx (2)
P2.x = ax*P2.s + bx*P2.t + cx (3)
解出來(lái)就得到 ax, bx, cx 了。
同理可得： ay, by, cy, az, bz, cz。
T = {ax, ay, az}
B = {bx, by, bz}
N = T X B
T = B X N
然后都?xì)w一化即可。
nVidia 網(wǎng)站上的方法呢，是建立三個(gè)平面方程
Ax*x + Bx*s + Cx*t + Dx = 0 (4)
Ay*y + By*s + Cy*t + Dy = 0 (5)
Az*z + Bz*s + Cz*t + Dz = 0 (6)
并且指出，三角形面片上的所有點(diǎn)的 (x, s, t) 都在
方程 (4) 定義的平面中。那么
dx/ds = -Bx/Ax
dx/dt = -Cx/Ax
同理
dy/ds = -By/Ay
dy/dt = -Cy/Ay
dz/ds = -Bz/Az
dz/dt = -Cz/Az
那么這些 Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz, Cx, Cy, Cz 怎么求呢？
容易知道，{Ax, Bx, Cx} 其實(shí)是平面的法向量，那么可以
選平面中的三個(gè)點(diǎn)，計(jì)算出兩個(gè)向量，然后叉乘。
{Ax, Bx, Cx} = {P1.x - P0.x, P1.s - P0.s, P1.t - P0.t} X
{P2.x - P0.x, P2.s - P0.s, P2.t - P0.t}
這兩種方法是等價(jià)的。