Representation Data in OpenCascade BRep

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摘要Abstract：現在的顯示器大多數是光柵顯示器，即可以看做一個像素的矩陣。在光柵顯示器上顯示的任何圖形，實際上都是一些具有一種或多種顏色的集合。數學上精確表示的圖形在顯示器中只能用逼近的方式顯示出來。本文主要對OpenCascade的BRep文件中用來顯示曲線和曲面的離散數據結構進行說明。

關鍵字：OpenCascade, BRep, Polygon, Triangulation, Subdivision Curves,

一、引言 Introduction

光柵圖形顯示器可以看做一個像素矩陣。在光柵顯示器上顯示的任何一種圖形，實際上都是一些具有一種或多種顏色的像素的集合。在數學上，理想的曲線是沒有寬度的，它是由無數個點構成的集合，而當要顯示曲線時，就不能用無數個點在顯示器中顯示，必須對其進行離散化，即細分處理。考慮性能要求，需要用盡可能少的點來顯示曲線。對于曲面也是一樣，雖然已經有曲面的數學解析表示，但是需要在顯示器中顯示時，必須對其離散化，即三角剖分得到的逼近曲面的三角網格。

在OpenCascade中已經有曲線和曲面的精確的數學解析表達形式的類，如下圖所示：

Figure 1.1 Parametric geometry curves

Figure 1.2 Parametric geometry surfaces

在OpenGL中顯示這些曲線和曲面時，不能直接顯示出由參數方程精確表示的曲線和曲面，必須對曲線和曲面進行細分，即離散化，得到OpenGL顯示用的點和三角網格。

在OpenCascade中使用類Poly_Polygon3D/Poly_Polygon2D來保存多段線的數據，即可以用來保存逼近顯示由參數方程精確表示的曲線的離散點數據。

在OpenCascade中使用類Poly_Triangulation來保存網格數據，即用三角網格來逼近表示的曲面，或更通用的一個形狀。

形狀的離散化由函數BRepMesh::Mesh()來統(tǒng)一處理，處理后就可以得到形狀用來顯示的多段線和三角網格數據。有了這些離散數據，不管是將形狀交給顯示模塊進行顯示，還是將形狀在其他顯示引擎中顯示，就很方便了。

在OpenCascade的BRep中也保存了形狀的用來顯示用的離散數據，即多段線和三角網格。只有經過BRepMesh::Mesh()離散化之后，形狀才具有這些數據。

二、細分曲線 Subdivision of Curves

在前面的一篇文章《在OpenSceneGraph中繪制OpenCascade的曲線 》中對曲線的顯示使用了統(tǒng)一細分處理（uniform subdivision），即將曲線在整個參數區(qū)域內均分后得到一些線段來顯示。沒有考慮這樣的問題：在曲線很平的區(qū)域內，就會存在冗余的點；在曲線曲度很大的區(qū)域內，可能點的數量還不足以顯示出光滑的曲線。自適應細分（Adaptive Subdivision）的方法就是將點放在最需要的地方，其主要目的是可視化曲線時更高效的渲染。通常這種方法主要用于游戲，因為其顯示更高效，性能更好。

Figure 2.1 Uniform sampling on a curve

如上圖所示，統(tǒng)一采樣來繪制曲線時，通常會在直線段區(qū)域生成很多多余的點，而在曲線區(qū)域的點太少，不能表示出光滑的曲線。自適應細分曲線有很多種方法，每種方法都會考慮速度、效率和精度，即如何用最少的點精確地表示出曲線。當你理解這個基本概念后，也可以對其他方法進行研究。

在OpenCascade中對曲線的細分使用的類是GCPnts_TangentialDeflection，其算法描述如下，感興趣的讀者可以結合源程序對其算法實現進行研究：

其中各個點的橫坐標對應的參數分別為：

從上述公式結合向量的數量積公式可以看出，約束條件是兩個向量夾角的余弦值分別小于角度偏差和曲率偏差。算法將產生滿足約束條件的曲線上的最少數量的點。

細分曲線后的點保存在類Poly_Polygon3D中。在BRep中也保存有多段線數據，如下所示：

示例：

BNF定義：

詳細說明：

<3D polygon record>定義了空間多段線（3D polyline）L，用來逼近空間參數曲線C。多段線的數據包含節(jié)點數m>=2，參數顯示標志位p，逼近偏差（deflection）d>=0，節(jié)點Ni（1=<i<=m），參數ui（1=<i<=m）。當參數顯示標志位p＝1時，參數u才會顯示。多段線L通過這些節(jié)點，多段線L逼近曲線C的逼近偏差定義如下所示：

參數ui（1=<i<=m）是曲線C上通過節(jié)點Ni的參數值：

示例數據表示的多段線為：m＝2，參數顯示標志位p＝1，逼近偏差d＝0.1，節(jié)點N1＝（1，0，0），N2＝（2，0，0），參數u1＝0，u2＝1。

三、細分曲面 Subdivision of surfaces

我們知道使用參數方程可以精確表示出三維曲線和曲面，但是參數方程表示的曲線曲面并不能直接交給OpenGL直接顯示出來。為此，圖形學中廣泛使用三角網格來表達三維模型，即用三角形組成的面片列表來近似逼近表示三維模型。

Figure 3.1 Triangulation of Chinese Dragon

用三角網格表示的曲面需要解決幾個問題：三角網格的產生、描述、遍歷、簡化和壓縮等。在OpenCascade中三角網格的產生使用算法Delaunay三角剖分算法生成網格數據，網格的描述使用類Poly_Triangulation。BRep文件中也保存三角網格的數據，如下所示：

示例：

BNF定義：

詳細說明：

<triangulation record>定義了逼近曲面S的三角剖分T（triangulation）。三角剖分的數據包含節(jié)點數m>=3，三角形數k>=1，參數顯示標志位p，逼近偏差d>=0，節(jié)點Ni（1<=i<=m），參數對ui,vi（1<=i<=m），三角形nj,1，nj,2，nj,3。參數只有當參數顯示標志位p＝1時才顯示。三角剖分逼近曲面的偏差d定義如下所示：

參數對ui，vi描述了曲面S上過節(jié)點Ni的參數：

三角形nj,1， nj,2， nj,3用來取得三角形的三個頂點值Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3，節(jié)點遍歷的順序就是Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3。從三角剖分T的任意一側遍歷，所有三角形都有相同的方向：順時針或逆時針。

三角剖分中的三角形數據：

表示的三角剖分為：m＝4個節(jié)點，k＝2個三角形，參數顯示標志位p＝1，逼近偏差d＝0，節(jié)點N1（0，0，0），N2（0，0，3），N3（0，2，3），N4（0，2，0），參數值（u1,v1）＝（0，0），（u2,v2）＝（3，0），（u3,v3）＝（3，－2），（u4,v4）＝（0，－2）。從點（1，0，0）（（－1，0，0）），三角形是順時針（逆時針）的。

四、程序示例 Code Example

通過創(chuàng)建多段線和三角網格數據并將其輸出，可以理解BRep文件中用來顯示的離散的數據結構。程序示例如下所示：

輸出結果如下所示：

五、結論

通過對OpenCascade中BRep文件中的離散數據的學習，理解顯示用數據結構及其實現。另外發(fā)現在類Poly和類BRepTools_ShapeSet中都有對多段線和三角網格進行讀寫的函數，有重復代碼，可以合并簡化。