OpenCASCADE PCurve of Topological Face

eryar@163.com

Abstract. OpenCASCADE provides a class BRepBuilderAPI_MakeFace to build topological faces. A face maybe built from a surface, elementary surface from gp package, surface from Geom, from a wire and find the surface automatically if possible, etc. If a face is built, how to check it for visualization? What does PCurve means? The paper will answer those question.

Key Words. OpenCASCADE, Topological Face, PCurve, Holes

1. Introduction

OpenCASCADE中邊界表示法BRep的拓樸面Topological Face包含了完整的幾何信息，即給定一個(gè)TopoDS_Face，其中包含了邊和頂點(diǎn)，而邊和頂點(diǎn)包含了幾何曲線及三維點(diǎn)。對(duì)邊和頂點(diǎn)的可視化很好理解：顯示頂點(diǎn)就是在場(chǎng)景中繪制一個(gè)三維點(diǎn)；顯示邊最簡(jiǎn)單的算法可以將邊中的曲線在參數(shù)空間中等分采樣，再將參數(shù)對(duì)應(yīng)到曲線上的點(diǎn)連接起來(lái)就可以簡(jiǎn)單顯示邊了；而面的可視化如何實(shí)現(xiàn)呢？

幾何造型內(nèi)核中都有個(gè)參數(shù)曲線的概念，即PCurve(Parametric Curve)，它是實(shí)現(xiàn)面可視化的一個(gè)很關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。PCurve的定義是參數(shù)表示的曲面上的曲線在二維(u, v)參數(shù)空間中的二維樣條曲線，也就是曲面上的曲線（Curve on Surface）。

在理解PCurve定義的基礎(chǔ)上才好對(duì)其做進(jìn)一步的研究，好回答“從哪兒來(lái)到哪兒去的問(wèn)題”，即如何產(chǎn)生PCurve，如何使用生成的PCurve數(shù)據(jù)。本文主要介紹如何將OpenCASCADE拓樸面中的PCurve可視化，從而方便對(duì)拓樸面的檢查，也可以看出PCurve在曲可視化方面的應(yīng)用。PCurve的產(chǎn)生及其他應(yīng)用有待進(jìn)一步挖掘。若您對(duì)PCurve有何看法，歡迎不吝賜教。

2.PCurve of a Face

由OpenCASCADE中對(duì)拓樸形狀可視化的算法[2]可知，對(duì)面的網(wǎng)格化需要先對(duì)面中環(huán)，環(huán)中的邊進(jìn)行離散化，最后都統(tǒng)一到參數(shù)空間，即只需要一個(gè)二維網(wǎng)格化算法來(lái)對(duì)二維的參數(shù)空間進(jìn)行網(wǎng)格化，最后將參數(shù)空間網(wǎng)格化的點(diǎn)映射回面中的幾何曲面上，即得到曲面的空間網(wǎng)格剖分。

Figure 2.1 Mesh UV domain of a Surface

如上圖2.1所示，UV參數(shù)空間中的邊界線就是拓樸面的環(huán)中的邊的PCurve，即拓樸面中的環(huán)對(duì)應(yīng)了參數(shù)空間中的邊界，而這些邊界的表示就是使用了PCurve。對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行網(wǎng)格化最常見(jiàn)的算法就是Delaunay三角剖分算法[3]，早期OpenCASCADE的版本中使用了一個(gè)開源Delaunay庫(kù)Triangle[4]。通過(guò)將曲面在參數(shù)空間的結(jié)果映射回曲面的三維空間即可將曲面可視化了。如何控制曲面離散精度還有待進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

Figure 2.2 A Smiley Face Meshed by Triangle

上圖2.2所示為二維三角剖分庫(kù)Triangle對(duì)一個(gè)笑臉進(jìn)行剖分的結(jié)果。

在Draw Test Harness中，OpenCASCADE提供了對(duì)面的PCurve可視化的命令pcurve。使用pcurve命令可以將一個(gè)面中所有的pcurve根據(jù)朝向orientation以不同的顏色進(jìn)行顯示。這個(gè)命令對(duì)檢查面中邊的朝向的正確性非常有用。下面使用Tcl命令在Draw Test Harness中對(duì)基本曲面的PCurve進(jìn)行顯示。

2.1 Plane PCurve

OpenCASCADE中的平面的參數(shù)方程為：

由上述參數(shù)表示的平面方程可知，平面的定義域是無(wú)窮的，所以為了生成一個(gè)有環(huán)的拓樸面，需要對(duì)平面設(shè)置邊界來(lái)對(duì)無(wú)限的平面進(jìn)行裁剪。相應(yīng)的Tcl腳本如下所示：

生成結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.3 Color for PCurves

由圖2.3可知，pcurve有四種顏色：

v rouge: FORWARD 胭脂紅表示正向；

v bleu: REVERSED 藍(lán)色表示反向；（不知道是法語(yǔ)寫法還是個(gè)錯(cuò)別字，藍(lán)色英語(yǔ)應(yīng)該為blue）

v rose: EXTERNAL 玫瑰紅表示向外；

v orange: INTERNAL 橙黃色表示向內(nèi)；

根據(jù)上述的顏色規(guī)則來(lái)看圖2.4，可以看出平面邊界的pcurves是逆時(shí)針閉合的。

Figure 2.4 Plane PCurves

Figure 2.5 Plane Face in 3D Viewer

2.2 Cylinder PCurve

OpenCASCADE中圓柱面的參數(shù)方程為：

由上述參數(shù)方程可知，u的取值范圍是有界的[2, 2pi)，v的取值是無(wú)限的。所以為了得到有界的拓樸面，至少需要對(duì)其v方向進(jìn)行裁剪。相應(yīng)的Tcl腳本如下所示：

生成結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.6 Cylinder PCurves

由上圖根據(jù)pcurve的著色規(guī)則可知，圓柱面的pcurves也是按逆時(shí)針順序閉合的。其在三維中的顯示結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.7 Cylinder Face in 3d Viewer

3.3 Cone PCurve

OpenCASCADE中圓錐面的參數(shù)方程為：

可知圓錐曲面與圓柱曲面一樣，都是在u方向有界，在v方向無(wú)界。對(duì)其進(jìn)行裁剪生成拓樸面并顯示pcurve的Tcl腳本如下所示：

生成結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.8 Cone PCurves

由上圖根據(jù)pcurve的著色規(guī)則可知，圓錐面的pcurves也是按逆時(shí)針順序閉合的。其在三維中的顯示結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.9 Cone Face in 3D viewer

3.4 Sphere PCurve

OpenCASCADE中球面的參數(shù)方程為：

由上述參數(shù)方程可知，球面在u和v方向均為有界的，所以可不用對(duì)其進(jìn)行裁剪就可生成拓樸面，當(dāng)然也可對(duì)其裁剪得到球面的部分。顯示球面pcurves的Tcl腳本如下所示：

生成結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.10 Sphere PCurves

由上圖根據(jù)pcurve的著色規(guī)則可知，球面的pcurves也是按逆時(shí)針順序閉合的。其在三維中的顯示結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.11 Sphere in 3d viewer

3.5 Torus PCurve

OpenCASCADE中圓環(huán)面的參數(shù)方程為：

由圓環(huán)面的參數(shù)方程可知，在參數(shù)區(qū)間上u和v都是有界的，所以可不用對(duì)其進(jìn)行裁剪就可生成拓樸面，當(dāng)然也可對(duì)其裁剪得到圓環(huán)面的部分。顯示圓環(huán)面pcurves的Tcl腳本如下所示：

生成結(jié)果如下圖所示：

Figuer 2.12 Torus PCurves

由上圖根據(jù)pcurve的著色規(guī)則可知，圓環(huán)面的pcurves也是按逆時(shí)針順序閉合的。其在三維中的顯示結(jié)果如下圖所示：

Figure 2.13 Torus in 3d viewer

3.PCurve of a Face With Holes

由OpenGL編程指南[10]可知，要對(duì)一個(gè)NURBS曲面進(jìn)行裁剪，可以創(chuàng)建gluPwlCurve和gluNurbsCurve來(lái)在參數(shù)空間形成閉合區(qū)域。其中g(shù)luPwlCurve創(chuàng)建是多段直線，而gluNurbsCurve生成的是在單位參數(shù)空間的NURBS曲線。創(chuàng)建裁剪曲線時(shí)需要考慮曲線的朝向（orientation），即曲線是順時(shí)針的還是逆時(shí)針的。曲線裁剪曲面的方式很簡(jiǎn)單，想像你沿著曲線走，左手邊的將會(huì)被保留，右手邊的將會(huì)被去除。

Figure 3.1 Parametric Trimming Curves

裁剪曲線還必須閉合且不能自交（Trimming curves must be closed and nonintersecting）。這里的裁剪曲線與OpenCASCADE中的參數(shù)曲線pcurve的概念相同。OpenCASCADE中的面也是采用的相同的規(guī)則。下面通過(guò)Tcl腳本來(lái)測(cè)試OpenCASCADE中帶有開孔的面的pcuve是否滿足OpenGL中裁剪曲面的規(guī)則。

上述Tcl腳本為將一個(gè)平面用圓柱去挖一個(gè)孔，如下圖所示：

Figure 3.2 Face with a Hole

遍歷被挖孔（boolean operation）得到的形狀的面，得到一個(gè)面，顯示這個(gè)面的pcurve如下圖所示：

Figure 3.3 PCurve of a Face with one hole

由上圖3.3可知，pcurve的規(guī)則與OpenGL中的裁剪曲線一致。孔的pcurve為藍(lán)色，即為逆時(shí)針的反向：順時(shí)針。當(dāng)一個(gè)面上生成多個(gè)孔時(shí)，是否仍然滿足上述規(guī)則呢？下面使用Tcl來(lái)對(duì)驗(yàn)證一下：

用腳本在一個(gè)球面上生成四個(gè)孔，如下圖所示：

Figure 3.4 A sphere face with 4 holes

遍歷boolean operation生成孔后的形狀的面，可看到只生成了一個(gè)面。將這個(gè)面的pcurve顯示出來(lái)如下圖所示：

Figure 3.5 PCurves for a sphere with 4 holes

由上圖3.5可知，pcurve的朝向也與OpenGL中裁剪曲線的朝向一致。當(dāng)一個(gè)面生成的開孔如圖3.1中的D和E時(shí)，在OpenCASCADE中是如何表示的呢？下面也有Tcl腳本測(cè)試測(cè)試：

生成結(jié)果如下圖所示：

Figure 3.6 A Plane cut a Torus

Figure 3.7 PCurves for the faces

由上圖可知，當(dāng)一個(gè)平面去掉一個(gè)圓環(huán)面后，生成了兩個(gè)面，與有些幾何內(nèi)核的用鏈表來(lái)將結(jié)果表示成一個(gè)面不同，OpenCASCADE中將結(jié)果生成了兩個(gè)面。其pcurves的朝向也與OpenGL中的裁剪曲線的朝向一致。

4.Conclusion

綜上所述，曲面上的曲線pcurve的概念是一個(gè)非常重要的概念，理解pcurve對(duì)造型及可視化有著重要意義。本文結(jié)合OpenGL中裁剪曲線的規(guī)則及OpenCASCADE的Draw Test Harness中顯示拓樸面pcurve的命令，來(lái)對(duì)基本曲面及裁剪曲面的pcurve的朝向進(jìn)行檢驗(yàn)。掌握了這些規(guī)則，可方便對(duì)自己構(gòu)造拓樸面的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)。

5. Acknowledge

時(shí)光荏苒，從畢業(yè)到現(xiàn)在不經(jīng)意間就到了而立之年。滄海桑田，歲月蹉跎，經(jīng)歷春夏秋冬的四季，品嘗酸甜苦辣的人生。感謝一路走來(lái)，親人、朋友、同事等對(duì)給予我的支持，信任和鼓勵(lì)，讓我可以做自己喜歡的事情，找到人生的方向。

寄蜉蝣與天地，渺滄海之一粟。準(zhǔn)備回到離家近的武漢工作，切換到生活模式，多些時(shí)間陪伴父母親人，以報(bào)養(yǎng)育之恩。

6. References

1. Shing Liu. PCurve - Curve on Surface. 

http://www.cnblogs.com/opencascade/p/3601859.html

2. Shing Liu. Topology and Geometry in OpenCASCADE-Edge.

http://www.cnblogs.com/opencascade/p/3604052.html

3. Topology and Geometry in OpenCASCADE-Face.

http://www.cnblogs.com/opencascade/p/3605729.html

4. Shing Liu. Mesh Algorithm in OpenCASCADE.  http://www.cnblogs.com/opencascade/p/3648532.html

5. Shing Liu. Delaunay Triangulation in OpenCASCADE. 

http://www.shnenglu.com/eryar/archive/2013/05/26/200605.aspx

6. Shing Liu. Triangle-Delaunay Triangulator. 

http://www.cnblogs.com/opencascade/p/3632705.html

7. OpenCASCADE, Draw Test Harness User Guide.

8. OpenCASCADE, BRep Format White Paper.

9. Richard S. Wright Jr., Benjamin Lipchak. OpenGL SuperBible. Sams Publishing. 2004

10. Dave Shreiner. OpenGL Programming Guide. Addison-Wesley. 2009