Posted on 2023-12-02 12:21
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2.OpenCASCADE
OpenCASCADE曲線上點的反求
eryar@163.com
1 Introduction
曲線可以用代數方程表示，如圓可以用X^2+Y^2=R^2表示，也可以用參數方程X(u)=RCos(u), Y(u)=RSin(u)表示。要判斷點是不是在線上，用曲線代數方程可以很直接得出結果，但是使用參數方程就沒有那么直接。這也是參數曲線上點的反求問題，參數曲線上點的反求問題應用廣泛，如前面所述判斷點是否在曲線上、點向曲線投影、點與線的求交、點在參數曲線上的參數等，都與點的反求問題相關。本文主要結合代碼介紹OpenCASCADE曲線上點的反求實現原理及使用過程中的一些注意事項。
2 實現原理
在《The NURBS Book》書中將點的反求問題歸結為點向曲線投影距離最短的問題，如下圖所示：
建立函數f(u)=C’(u).(C(u) - P)表示點到曲線距離，當f(u)=0時為點到曲線的最短距離，不管點P是否在曲線上。幾何意義是點到曲線任意點的向量與任意點處的切向量點積為零，表示在兩個向量垂直的時候求得極值點。注意數學方程中垂直這個幾何意義。
OpenCASCADE中實現曲線上點的反求原理與《The NURBS Book》書中一致。點的反求使用類GeomLib_Tool::Parameter()函數：
輸入曲線、點和最大距離，計算點是否在曲線上及若在曲線上，點對應參數曲線的參數U。
類Extrema_ExtPC計算點P到線C的極值Extrema。根據代碼注釋可以看出點的反求數學方程與《The NURBS Book》書中一致：
數學方程對應的類的變量為myF，類名為Extrema_FuncExtPC，從類math_FunctionWithDerivative派生，所以必須實現兩個關鍵虛函數Value()和Derivative()。其代碼注釋說明了這兩個函數的實現細節：
其中F(u)對應函數Value():
DF(u)對應函數Derivative()，最后使用Newton法math_FunctionRoots對方程進行求根。
3 注意事項
OpenCASCADE中點的反求GeomLib_Tool::Parameter()、點向曲線投影GeomAPI_ProjectPointOnCurve、點與曲線的交點IntTools_Context::ComputeVE等算法都是使用了Extrema_ExtPC類。
當使用GeomLib_Tool::Parameter()函數來判斷點是否在曲線上時，注意端點處點的反求要滿足垂直的條件，即使點與曲線某個端點距離小于MaxDist時，也是返回false。即對于曲線端點處的情況需要自己預先處理，直接算點P與曲線端點距離與MaxDist比較，先處理端點。
可以看到這里也處理的端點處的情況，但是最后沒有與MaxDist有關系，最后容差是Precision::SquareConfusion()。
