OpenCASCADE Coordinate Transforms
eryar@163.com
Abstract. The purpose of the OpenGL graphics processing pipeline is to convert 3D descriptions of objects into a 2D image that can be displayed. In many ways, this process is similar to using a camera to convert a real-world scene into a 2D print. To accomplish the transformation from 3D to 2D, OpenGL defines several coordinate spaces and transformations between those spaces. Each coordinate space has some properties that make it useful for some part of the rendering process. The transformations defined by OpenGL afford applications a great deal of flexiblity in defining 3D-to-2D mapping. So understanding the various transformations and coordinate spaces used by OpenGL is essential. The blog use GLUT to demenstrate the conversion between 3D and 2D point.
Key Words. OpenCASCADE, OpenGL, Coordinate Transform,
1. Introduction
交互式計算機圖形學的迅速發展令人興奮，其廣泛的應用使科學、藝術、工程、商務、工業、醫藥、政府、娛樂、廣告、教學、培訓和家庭等各方面均獲得巨大收益。與圖形交互的方式目前主要還是鍵盤和鼠標或pad上的觸摸方式。交互的方式主要分為兩種，一是在二維的屏幕或窗口上對三維的模型進行控制；一是對三維視圖進行控制（在OpenSceneGraph中對應拖拽器和漫游器）。這就需要對計算機圖形學中的坐標變換的原理有所理解。
三維場景視圖的計算機生成步驟有點類似拍一張照片的過程，但與使用照相機相比，利用圖形軟件生成的場景視圖有更大靈活性和更多的選擇。我們可以選擇平行投影或透視投影，還可以有選擇地沿視線消除一些場景等。
通過從三維模型到二維屏幕窗口的實現過程理解，方便理解計算機中對場景觀察的實現。場景的觀察即注重一個從三維世界轉換到二維屏幕的過程。假設場景的觀察者使用一臺相機來全程記錄世界的變化，那么相機位置的移動、角度偏轉、焦距變化及鏡頭類型的選用都會改變底片上呈現的內容，也就是觀察這個世界的方式。
通過從二維屏幕到三維場景中實現的理解，方便用戶通過二維的屏幕窗口的程序界面來操縱三維世界中的模型，如三維中模型的選擇及對選擇中的模型進行相關的變換，如移動、旋轉等。
本文結合OpenCASCADE中的類Graphic3d_Camera及GLUT來說明這兩個過程，進而對OpenCASCADE中可視化模塊的理解。通過對OpenGL中坐標變換原理的理解，為OpenCASCADE中對視圖的操作及拓樸模型（點、線、面和體）選擇的實現的理解打下基礎，良好的交互可以讓場景中的模型充滿生機。
2.From 3D to 2D
從三維的模型到二維屏幕，OpenGL的渲染管線分為以下幾個部分：
v 模型視點變換MODELVIEW TRANSFORMATION；
v 投影變換PROJECTION TRANSFORMATION；
v 視口變換VIEWPORT TRANSFORMATION；
Figure 2.1 OpenGL Vertex Transformation Pipeline
如上圖所示為從模型坐標系到設備坐標系變換的管線，即模型經過這些變換后，最終才能顯示在設備屏幕上。
Figure 2.2 Stages of Vertex Transformation(OpenGL Programming Guide)
在OpenGL中每個變換都對應了一個矩陣運算，如對模型視點的變換對應了模型視點矩陣，可以通過glMatrixMode(GL_MODELVIEW)來指定義當前的矩陣模式，再通過glLoadMatrix來指定這個變換矩陣。同理，對應投影變換的相關函數為glMatrixMode(GL_PROJECTION)。
Figure 2.3 The vertex transformation pipeline(OpenGL SuperBible)
2.1 模型視點變換Model-View Transformation
模型視點變換相當于調整要拍攝的物體的位置、姿態及調整相機使其對準景物的過程，前者稱為模型變換，后者稱為視點變換。在OpenGL中，模型變換和視點變換的結果被合并為模型視點變換矩陣（Model-View Matrix）。在繪制物體前可以使用glTranslate, glRotate等來實現模型的位置、姿態變換。與模型變換對應，我們還可以采用視點變換改變觀察點的位置和方向，即改變相機的位置和拍攝角度，從而改變最終拍攝的結果。可以將視點變換的行為視作模型變換的逆操作，如將相機在X方向移動N米，就相當于將整個場景在-X方向移動了N米。
經過模型視點變換后，即可認為場景從世界坐標系（World Coordinate System, WCS）轉換到了相機坐標系（Viewing Coordinate System, VCS）。對于世界坐標系中任意向量Vwcs將其變換到相機坐標系的公式為：
在VCS坐標系中，習慣用n,u,v三個分量來表示坐標基向量，如下圖所示為從世界坐標系變換到視點坐標系的變換：
Figure 2.4 From World Cooridante System to Viewing Coordinate System
其中模型視點變換矩陣內容如下所示：
2.2 投影變換Projection Transformation
投影變換相當于拍照時通過選擇鏡頭和調整焦距，將景物投射到二維底片的過程。主要操作對象是一個立方體或棱臺形狀的視景體。在視景體之外的對象將被裁剪，因而不會投影到二維面上。
立方體的視景體稱為平行投影視景體，通過使用glOrtho()函數創建，其結果是生成一個正射投影矩陣，如下圖所示：
Figure 2.5 Orthographic Viewing Volume(OpenGL Programming Guide)
Figure 2.6 Orthogonal Projection View Volume to Normalized View Volume
由于屏幕坐標系經常指定為左手系，因此規范化觀察體也常指定為左手系統。正投影觀察體的規范化變換矩陣是：詳細推導請參考《Computer Graphics with OpenGL》。
棱臺形狀的視景體又稱為視錐體，主要用于完成透視投影的工作，這種投影更符合人們的心理習慣，即離視點近的物體較大，離視點遠的物體較小。在OpenGL中由函數glFrustum和gluPerspective來實現。
Figure 2.7 Perspective Viewing Volume Specifiedc by glFrustum
一般的透視投影規范化變換矩陣如下所示：詳細推導請參考《Computer Graphics with OpenGL》。
相機坐標系的向量Vvcs變換到投影坐標系下（Clipping Coordinate System, CCS）的計算公式為：
2.3 視口變換 Viewport Transformation
這一步的意義是將投影變換得到的結果反映到指定的屏幕窗口上去，有點類似將底片沖洗到照片上。如果照片的大小與底片不相符，那么將可能產生成像的放大或縮小。OpenGL中函數glViewport()指定了視口變換的結果區域。這一變換的同時還意味著場景最終變換到窗口坐標系（Device Coordinate System, DCS，又稱為設備坐標系）。
Figure 2.8 Mapping the Viewing Volume to the Viewport
從規范化的視景體到屏幕坐標系的變換矩陣是：
綜上所述，場景從三維世界坐標系變換到屏幕窗口的所有變換過程進行疊加，則得到如下的變換公式：
這三個矩陣可以合并為一個，稱為MVPW矩陣，它決定了任意三維空間中的對象在二維屏幕上表達時的變換過程。
3.From 2D to 3D
在理解OpenGL的整個渲染管線后，再來理解將屏幕上一點轉換為世界坐標就比較容易了。從圖形渲染管線的開始到結束，一個模型坐標系中的坐標被變換到了屏幕坐標，那么現在把整個過程倒過來的話，屏幕上一個二維點坐標也可轉換到世界坐標系中。即將MVPW矩陣求逆即可。如下圖所示為從屏幕坐標到世界坐標的變換過程：
Figure 3.1 Viewport cooridnate to World Coordinate(By Zhangci)
當理解從屏幕坐標變換到世界坐標后，也就可以方便理解Picking技術的實現了。即可以通過在二維的屏幕窗口中來選擇拓樸形狀的點、線和面等模型了。可以通過鼠標直接拾取模型后，就可以方便地對模型的位置角度等進行編輯，如OpenSceneGraph中的Dragger：
Figure 3.2 OpenSceneGraph TranslateAxisDragger
如上圖所示，用鼠標在任意一個軸上進行拖拽即可以對三維模型的位置進行編輯。
4.Code Example
結合OpenCASCADE的類Graphic3d_Camera和GLUT可以方便來驗證OpenGL中的坐標變換過程。其中類Graphic3d_Camera已經實現從世界坐標系到規范坐標系的變換，但還需要從規范坐標系到屏幕窗口變換的矩陣，根據計算公式實現如下代碼所示：
void BuildNorm2ViewportMatrix(GLsizei theWidth, GLsizei theHeight)
{
// row 0
theNorm2Viewport.ChangeValue(0, 0) = (theWidth - 0) / 2.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(0, 1) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(0, 2) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(0, 3) = (0 + theWidth) / 2.0;
// row 1
theNorm2Viewport.ChangeValue(1, 0) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(1, 1) = (0 - theHeight) / 2.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(1, 2) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(1, 3) = (theHeight + 0) / 2.0;
// row 2
theNorm2Viewport.ChangeValue(2, 0) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(2, 1) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(2, 2) = 0.5;
theNorm2Viewport.ChangeValue(2, 3) = 0.5;
// row 3
theNorm2Viewport.ChangeValue(3, 0) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(3, 1) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(3, 2) = 0.0;
theNorm2Viewport.ChangeValue(3, 3) = 1.0;
}
當用鼠標點擊直線的起點時，可以得到相應的屏幕坐標及世界坐標，如下圖所示：
Figure 4.1 Test Coordinate Transformation
其中世界坐標系中的坐標為坐標原點（0，0，0），轉換到屏幕坐標為（150，150），與鼠標拾取的點一致。再將鼠標拾取的點轉換到三維世界坐標也為原點，只是深度值Z不同。
5.Conclusion
綜上所述，在OpenGL中世界坐標系中的模型經過模型視點變換、投影變換和視口變換最終得到了二維窗口中的顯示圖像。而這個逆過程即從屏幕坐標到三維世界坐標系的變換對交互更有意義，即拾取技術的實現。
結合OpenCASCADE中的類Graphic3d_Camera和GLUT來試驗了這些變換過程，為理解拓樸形狀點、線和面等的選擇交互的實現打下基礎，進一步理解Visualization模塊。
6. References
1. Dave Shreiner. OpenGL Programming Guide(7th Edition). Addison-Wesley. 2010
2. Richard S. Wright Jr., Benjamin Lipchak. OpenGL SuperBible. Sams. 2004
3. Randi J. Rost. OpenGL Shading Language(2nd Edition). Addison-Wesley. 2006
4. Donald Hearn, M. Pauline Baker. Computer Graphics with OpenGL. 2004
5. Zhangci. OpenGL Rendering Pipeline&Coordinate Transformation.
http://blog.csdn.net/zhangci226/article/details/5314184
6. 王銳, 錢學雷. OpenSceneGraph三維渲染引擎設計與實踐. 清華大學出版社. 2009