eryar

OpenCASCADE Conic to BSpline Curves-Circle

eryar@163.com

Abstract. The conic sections and circles play a fundamental role in CAD/CAM applications. Undoubtedly one of the greatest advantages of NURBS is their capability of precisely representing conic sections and circles, as well as free-form curves and surfaces. We assume a knowledge of conics and circles, the purpose of this paper is to study them in the framework of their representation as NURBS curves.

Key Words. OpenCASCADE, Conic Curves, Circle, Convert, BSpline Curve

1. Introduction

B樣條技術(shù)在自由曲線(xiàn)曲面的設(shè)計(jì)和表示方面顯示出了其卓越的優(yōu)點(diǎn)，但在表示初等曲線(xiàn)曲面時(shí)卻遇到了麻煩。在很多應(yīng)用領(lǐng)域，例如飛機(jī)、造船、汽車(chē)等工業(yè)中，圓弧、橢圓弧、拋物線(xiàn)、圓柱面、球面、圓錐面、圓環(huán)面等經(jīng)常出現(xiàn)，這些形狀都表示精確且往往要求較高的加工精度。傳統(tǒng)的B樣條技術(shù)只能精確地表示拋物線(xiàn)、拋物面，對(duì)其他的二次曲線(xiàn)曲面只能近似表示。因此，在一個(gè)造型系統(tǒng)內(nèi)無(wú)法用一種統(tǒng)一的形式表示曲線(xiàn)曲面，因而使得系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)復(fù)雜化。非均勻有理B樣條（NURBS）技術(shù)正是在這樣的需求背景下逐步發(fā)展成熟起來(lái)的。

NURBS曲線(xiàn)曲面能夠迅速接受的主要原因在于：

v NURBS技術(shù)可以精確表示規(guī)則曲線(xiàn)與曲面（如圓錐曲線(xiàn)、二次曲面、旋轉(zhuǎn)曲面等）。

v 可以把規(guī)則曲線(xiàn)曲面和自由曲線(xiàn)曲面統(tǒng)一起來(lái)表示。因而便于用統(tǒng)一的算法進(jìn)行處理和使用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行存儲(chǔ)，程序量可明顯減少；

v 由于增加了額外的自由度（權(quán)因子），若應(yīng)用得當(dāng)，有利于曲線(xiàn)曲面形狀的控制和修改。

v NURBS技術(shù)是非有理Bezier曲線(xiàn)的和B樣條形式的真正推廣；

本文主要介紹圓的NURBS表示方法，即如何將圓轉(zhuǎn)換為NURBS曲線(xiàn)。

2.The Effect of Multiple Knots (Multiplicity)

重節(jié)點(diǎn)的定義為在節(jié)點(diǎn)序列中順序r個(gè)節(jié)點(diǎn)相同或xi重復(fù)出現(xiàn)r次，稱(chēng)為該節(jié)點(diǎn)xi具有重復(fù)度r（Multiplicity）。在OpenCASCADE中B樣條曲線(xiàn)類(lèi)的構(gòu)造就是用的節(jié)點(diǎn)Knots及其對(duì)應(yīng)的重復(fù)度Multiplicities來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如下所示：

重節(jié)點(diǎn)有如下重要性質(zhì)：

v 重節(jié)點(diǎn)連續(xù)階性質(zhì)。在每個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間(uj, uj+1)內(nèi)部，Bi,p(u)為多項(xiàng)式函數(shù)，因此，所有導(dǎo)數(shù)存在。在一個(gè)節(jié)點(diǎn)uj處Bi,p(u)是p-mj次連續(xù)可微的，此處mj是該點(diǎn)的重?cái)?shù)。所以增加次數(shù)，則增加連續(xù)性，而增加節(jié)點(diǎn)的重?cái)?shù)，則降低連續(xù)性。通常為保證連續(xù)性，節(jié)點(diǎn)的最高重?cái)?shù)為p；

v 重節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)性質(zhì)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)向量中的內(nèi)節(jié)點(diǎn)uj的重?cái)?shù)為p，則只有定義在上的基函數(shù)在uj上取值為1，其余基函數(shù)在uj取值為0。當(dāng)節(jié)點(diǎn)向是中的端節(jié)點(diǎn)uj的重?cái)?shù)為p+1，則只有定義在上的基函數(shù)在uj取值為1，其余基函數(shù)在uj取值為0。

如下圖所示為具有重節(jié)點(diǎn)的B樣條基函數(shù)：

Figure 2.1 U={0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5} p = 2 B-spline Basis Function

Figure 2.2 U={0, 0, 0, 0,1, 2, 3, 4, 4,4, 5, 5, 5,5} p = 3 B-spline Basis Function

由上圖可知，重節(jié)點(diǎn)的出現(xiàn)對(duì)B樣條曲線(xiàn)有影響，如下所述：

當(dāng)節(jié)點(diǎn)向量?jī)?nèi)部某節(jié)點(diǎn)的重?cái)?shù)與次數(shù)相同時(shí)，則B樣條基數(shù)在此節(jié)點(diǎn)處的值為1，即由此得到的B樣條曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)將與B樣條曲線(xiàn)上的點(diǎn)重合。所以利用重節(jié)點(diǎn)的插值性質(zhì)可以在B樣條曲線(xiàn)內(nèi)部構(gòu)造尖點(diǎn)與尖角。

當(dāng)端節(jié)點(diǎn)重?cái)?shù)為p時(shí)，p次的B樣條曲線(xiàn)的端點(diǎn)將與相應(yīng)的控制多邊形的端點(diǎn)相重，曲線(xiàn)在端節(jié)點(diǎn)處與控制多邊形相切。

當(dāng)端節(jié)點(diǎn)重?cái)?shù)為p+1時(shí)，p次B樣條曲線(xiàn)就具有與p次Bezier曲線(xiàn)相同的端點(diǎn)幾何性質(zhì)。這時(shí)如果B樣條曲線(xiàn)的定義域僅有一個(gè)非零節(jié)點(diǎn)區(qū)間，則所定義的B樣條曲線(xiàn)就是Bezier曲線(xiàn)。由此可知，B樣條方法是Bezier方法的強(qiáng)有力的推廣。

理解重節(jié)點(diǎn)的作用非常重要，利用重節(jié)點(diǎn)技術(shù)可用來(lái)控制B樣條基以達(dá)到控制整條曲線(xiàn)在節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)性的目的。

3.Construction of Circles

如前所述，NURBS技術(shù)是Bezier技術(shù)的推廣。實(shí)際上，有理Bezier技術(shù)就可精確地表示圓錐曲線(xiàn)。由有理Bezier曲線(xiàn)的公式得二次有理Bezier曲線(xiàn)弧的表示形式為：

稱(chēng)k為形狀不變因子，公式如下所示：

一段小于180度的圓弧也可以用二次有理Bezier曲線(xiàn)來(lái)表示。由于對(duì)稱(chēng)性，P0P1P2必須是一個(gè)等腰三角形，滿(mǎn)足P0P1=P1P2，計(jì)算得ω1＝cos(θ)。

Figure 3.1 圓心角度小于180度圓弧的二次有理Bezier表示

大于180度的圓弧可以使用多段小圓弧拼接而成。得用重節(jié)點(diǎn)技術(shù)，使多段圓弧拼接起來(lái)。重節(jié)點(diǎn)的一種方法是使用2重節(jié)點(diǎn)，在有i段圓弧時(shí)，其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)值可取為1/i，…，i-1/i，權(quán)因子的取法不變。

以180度的圓弧為例，可以使用兩段90度圓弧拼接而成。節(jié)點(diǎn)矢量可取為U＝{0，0，0，1/2，1/2，1，1，1}。權(quán)因子可以取為ω1＝ω3＝cos45，ω0＝ω2＝ω4＝1。則對(duì)應(yīng)的B樣條基函數(shù)及B樣條曲線(xiàn)如下圖所示：

由圖可知基函數(shù)在1/2處取值為1，則對(duì)應(yīng)的B樣條曲線(xiàn)上的值與控制頂點(diǎn)重合。

Figure 3.2 U＝{0，0，0，1/2，1/2，1，1，1} B Spline Basis

Figure 3.3 Semi-Circle B Spline Curve

用四段圓弧組成一個(gè)整圓，節(jié)點(diǎn)矢量為U＝{0，0，0，1/4，1/4，2/4，2/4，3/4，3/4，1，1，1}，權(quán)因子取{1，sqrt(2)/2，1，1，sqrt(2)/2，1，1，sqrt(2)/2，1}，使用Tcl腳本在Draw Test Harness中顯示如下圖所示：

Figure 3.4 A Circle represented by 4 arcs

Tcl代碼如下所示：

也可用位于三角形上的控制點(diǎn)來(lái)表示圓，如下圖所示：

Figure 3.5 A Circle represented by 3 arcs

相應(yīng)的Tcl代碼如下所示：

4.Code Analysis

OpenCASCADE中提供了將圓轉(zhuǎn)換為NURBS曲線(xiàn)的功能，轉(zhuǎn)換后得到的NURBS曲線(xiàn)的參數(shù)范圍不再是[0，1]。下面給出具體的實(shí)例：

結(jié)果如下圖所示：

由上述結(jié)果可知，在默認(rèn)參數(shù)化的情況下是按三段圓弧來(lái)拼接成一個(gè)整圓的。也可指定不同的參數(shù)化類(lèi)型，將會(huì)得到不同的NURBS曲線(xiàn)。次數(shù)也可能不是2次，會(huì)用高次的NURBS曲線(xiàn)來(lái)表示圓。

5.Conclusion

利用重節(jié)點(diǎn)技術(shù)及二次有理B樣條的性質(zhì)，可以用NURBS來(lái)精確表示圓。選擇不同的控制頂點(diǎn)，得到的圓的參數(shù)化效果也有所不同。

將常用的圓錐曲線(xiàn)用NURBS曲線(xiàn)來(lái)表示，即說(shuō)明可以用NURBS曲線(xiàn)來(lái)統(tǒng)一表示圓錐曲線(xiàn)及自由曲線(xiàn)。這說(shuō)明在理論上，一個(gè)造型內(nèi)核的曲線(xiàn)可以只用一個(gè)類(lèi)來(lái)表示，這個(gè)類(lèi)對(duì)應(yīng)OpenCASCADE中的Geom_BSplineCurve。

使用Tcl可以在Draw Test Harness中方便地產(chǎn)生NURBS曲線(xiàn)，從而可以快速驗(yàn)證一些算法的正確性。

6. References

1． 趙罡，穆國(guó)旺，王拉柱譯Les Piegl，Wayne Tiller The NURBS Book(Second Edition) 2010 清華大學(xué)出版社

2． 莫容，常智勇 計(jì)算機(jī)輔助幾何造型技術(shù) 2009 科學(xué)出版社

3． 朱心雄等，自由曲線(xiàn)曲面造型技術(shù)，2000，科學(xué)出版社

4． Kelly Dempski, Focus on Curves and Surface, 2003, Premier Press

5． 王仁宏，李崇君，朱春鋼 計(jì)算幾何教程 2008 科學(xué)出版社