OpenCascade Primitives BRep-Torus
eryar@163.com
Abstract. BRep is short for Boundary Representation. Boundary Representation gives a complete description of an object by associating topological and geometric information for solid modeling. In this case, objects are described by their boundaries. There are two types of information in BRep: Topological information and Geometric information. This paper is concerned with the Torus BRep in OpenCascade, and also show how to use Tcl script to dump torus BRep info.
Key words. OpenCascade, BRep, Boundary Representation, Torus
1. Introduction
本文通過在Draw Test Harness中的Tcl腳本來生成圓環體Torus的邊界表示（BRep）數據，通過對生成的數據進行分析，來理解OpenCascade中的Torus的邊界表示方式。
如下圖所示為使用Tcl命令在Draw Test Harness中生成的圓環體：
Figure 1.1 Torus Generated by Tcl in Draw Test Harness
2. Dump Torus BRep Info by Tcl
使用Tcl腳本在Draw Test Harness中輸出圓環體（Torus）的邊界表示（BRep）數據的命令如下圖所示：
Figure 2.1 Dump Torus BRep Info by Tcl in Draw Test Harness
以上命令會生成一個圓心位于坐標原點（0,0,0），半徑R1為6，半徑R2為2的圓環體，圓環體的尺寸如下圖所示：
Figure 2.2 Torus Generated by Tcl Script
3. Torus BRep in OpenCascade
還是先從頂點（Vertex）開始編號，來對圓環體（Torus）的邊界表示（BRep）進行理解。從導出的BRep信息可以看出，圓環體只有一個頂點（Vertex），對其編號，如下圖所示：
Figure 3.1 Vertex of the Torus
圓環體共有兩條邊Edge，分別為Edge #5和Edge#6。兩條邊中的幾何數據有些類似，都是由一條三維曲線和一個閉合曲面上的曲線組成。先來看看邊Edge#5的幾何信息：
Figure 3.2 Edge #5 of the Torus
三維空間曲線2是一個圓（Circle），取值范圍是[0，2PI]。由其參數可知此圓圓心位于（6,0,0），半徑為2，位于XOZ平面上。
閉合曲面1上的參數曲線3，4是兩條直線，取值范圍也是[0，2PI]。曲面1的參數方程如下所示：
將參數曲線3和4計算得到的u（取0或2PI），v代入上述Torus的參數方程中可得曲面上的兩條曲線的參數方程如下所示：
表示的曲線和三維空間曲線2一樣，是一個圓形。
Figure 3.3 PCurve 3 and 4 on Surface 1 of the Torus
同理對Edge#6中的幾何信息進行分析可知，Edge#6是位于XOY面上半徑為8的圓。將圓環體所有的邊編號繪出如下圖所示：
Figure 3.4 Edges of the Torus
圓環體Torus只有一個環Wire#4，結合上述邊，繪出環如下圖所示：
Figure 3.5 Wire of the Torus
由上圖可知，組成環Wire的兩條銜接邊Seam Edge匯合成一個頂點Vertex。最后環Wire#4組成面Face#3，面Face#3組成了殼Shell#2，殼Shell#2組成了體Solid#1。
4. Conclusion
通過Tcl生成的圓環體Torus的邊界表示BRep信息，分析了OpenCascade中的圓環舉體的邊界表示方式。可以看出Torus主要是由兩條銜接邊Seam Edge組成，兩條銜接邊匯合處是一個頂點（Vertex）。
5. References
1. OpenCascade, Test Harness User’s Guide 2013
2. OpenCascade, BRep Format Description White Paper, 2013
3. John K. Ousterhout, Tcl and Tk Toolkit, 1993