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http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6735293(該博客值得深入翻閱)

 

 從B樹談到R樹之B樹的c實現(xiàn)

作者：weedge，July。編程藝術(shù)室出品。

前言

    代碼大全的作者Steve McConnell曾稱，他所見識的任何一本書都不是某一個人能完全獨立即能完成的。吾深以為然。

    本blog內(nèi)的文章十有八九系我個人參考資料原創(chuàng)所作，同時十有二三系本人與吾的朋友共同創(chuàng)作完成。所以，諸君在瀏覽本博客內(nèi)任何一篇文章時，務(wù)必尊重他人勞動成果。當然，有任何問題，歡迎隨時不吝指正。

    ok，在本blog之前的一篇文章中：從B樹、B+樹、B*樹談到R 樹，各位讀者反應(yīng)熱烈。這次，咱們來編碼實現(xiàn)B樹的查找，插入，刪除等操作。同時此文也算作是上一篇文章從B樹談到R樹的續(xù)。望諸君不吝賜教。謝謝。

第一部分、B樹的查找，插入，刪除等具體操作

    編碼實現(xiàn)B樹之前，咱們先來回顧一下上文中所給出的B樹的查找，插入，刪除等具體的操作都是怎么一回事兒。明白了原理之后，再來編程實現(xiàn)，就相對來說有方向感了。ok，請看下文（援引自從B樹、B+樹、B*樹談到R 樹第3小節(jié)）：

B樹的插入、刪除操作

    上文第3小節(jié)簡單介紹了利用B樹這種結(jié)構(gòu)如何訪問外存磁盤中的數(shù)據(jù)的情況，下面咱們通過另外一個實例來對這棵B樹的插入（insert）,刪除（delete）基本操作進行詳細的介紹。

    但在此之前，咱們還得簡單回顧下一棵m階的B 樹 (m叉樹)的特性，如下：

1. 樹中每個結(jié)點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。
2. 除根結(jié)點和葉子結(jié)點外，其它每個結(jié)點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數(shù)）；
3. 若根結(jié)點不是葉子結(jié)點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結(jié)點，即根結(jié)點為葉子結(jié)點，整棵樹只有一個根節(jié)點）；
4. 所有葉子結(jié)點都出現(xiàn)在同一層，葉子結(jié)點不包含任何關(guān)鍵字信息(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結(jié)點不存在，指向這些結(jié)點的指針都為null)；
5. 每個非終端結(jié)點中包含有n個關(guān)鍵字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
          a)   Ki (i=1...n)為關(guān)鍵字，且關(guān)鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。
          b)   Pi為指向子樹根的接點，且指針P(i-1)指向子樹種所有結(jié)點的關(guān)鍵字均小于Ki，但都大于K(i-1)。 
          c)   除根結(jié)點之外的結(jié)點的關(guān)鍵字的個數(shù)n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（葉子結(jié)點也必須滿足此條關(guān)于關(guān)鍵字數(shù)的性質(zhì)，根結(jié)點除外）。

    ok，下面咱們以一棵5階（m=5，即除根結(jié)點和葉子結(jié)點之外的內(nèi)結(jié)點最多5個孩子，最少3個孩子）B樹實例進行講。

備注：

• 關(guān)鍵字數(shù)（2-4個）針對--非根結(jié)點（包括葉子結(jié)點在內(nèi)），孩子數(shù)（3-5個）--針對根結(jié)點和葉子結(jié)點之外的內(nèi)結(jié)點。當然，根結(jié)點是必須至少有2個孩子的，不然就成直線型搜索樹了。
• 我說的再明白點就是，一棵5階的B樹中任何一個結(jié)點的關(guān)鍵字數(shù)是1-4，孩子樹是2-5。同時，一棵5階的B樹的最大高度應(yīng)為log_ceil(m/2)N（下劃線表示以ceil(m/2)為底）。

下圖中關(guān)鍵字為大寫字母，順序為字母升序。

結(jié)點定義如下：

typedef struct{
   int Count;         // 當前節(jié)點中關(guān)鍵元素數(shù)目
   ItemType Key[4];   // 存儲關(guān)鍵字元素的數(shù)組
   long Branch[5];    // 偽指針數(shù)組，(記錄數(shù)目)方便判斷合并和分裂的情況
} NodeType;

 

1.1、插入（insert）操作

    插入一個元素時，首先在B樹中是否存在，如果不存在，即在葉子結(jié)點處結(jié)束，然后在葉子結(jié)點中插入該新的元素，注意：

• 如果葉子結(jié)點空間足夠，這里需要向右移動該葉子結(jié)點中大于新插入關(guān)鍵字的元素，
• 如果空間滿了以致沒有足夠的空間去添加新的元素，則將該結(jié)點進行“分裂”，將一半數(shù)量的關(guān)鍵字元素分裂到新的其相鄰右結(jié)點中，中間關(guān)鍵字元素上移到父結(jié)點中（當然，如果父結(jié)點空間滿了，也同樣需要“分裂”操作），而且當結(jié)點中關(guān)鍵元素向右移動了，相關(guān)的指針也需要向右移。
• 如果在根結(jié)點插入新元素，空間滿了，則進行分裂操作，這樣原來的根結(jié)點中的中間關(guān)鍵字元素向上移動到新的根結(jié)點中，因此導致樹的高度增加一層。

1、咱們通過一個實例來逐步講解下。插入以下字符字母到一棵空的B 樹中（非根結(jié)點關(guān)鍵字數(shù)小了（小于2個）就合并，大了（超過4個）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，結(jié)點空間足夠，4個字母插入相同的結(jié)點中，如下圖：

 

2、當咱們試著插入H時，結(jié)點發(fā)現(xiàn)空間不夠，以致將其分裂成2個結(jié)點，移動中間元素G上移到新的根結(jié)點中，在實現(xiàn)過程中，咱們把A和C留在當前結(jié)點中，而H和N放置新的其右鄰居結(jié)點中。如下圖：

 

3、當咱們插入E,K,Q時，不需要任何分裂操作

4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中間關(guān)鍵字元素，以致向上移到父節(jié)點中

 

5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作

 

6、插入Z時，最右的葉子結(jié)點空間滿了，需要進行分裂操作，中間元素T上移到父節(jié)點中，注意通過上移中間元素，樹最終還是保持平衡，分裂結(jié)果的結(jié)點存在2個關(guān)鍵字元素。

 

7、插入D時，導致最左邊的葉子結(jié)點被分裂，D恰好也是中間元素，上移到父節(jié)點中，然后字母P,R,X,Y陸續(xù)插入不需要任何分裂操作（別忘了，樹中至多5個孩子）。

 

8、最后，當插入S時，含有N,P,Q,R的結(jié)點需要分裂，把中間元素Q上移到父節(jié)點中，但是情況來了，父節(jié)點中空間已經(jīng)滿了，所以也要進行分裂，將父節(jié)點中的中間元素M上移到新形成的根結(jié)點中，注意以前在父節(jié)點中的第三個指針在修改后包括D和G節(jié)點中。這樣具體插入操作的完成，下面介紹刪除操作，刪除操作相對于插入操作要考慮的情況多點。

 

1.2、刪除(delete)操作

    首先查找B樹中需刪除的元素,如果該元素在B樹中存在，則將該元素在其結(jié)點中進行刪除，如果刪除該元素后，首先判斷該元素是否有左右孩子結(jié)點，如果有，則上移孩子結(jié)點中的某相近元素到父節(jié)點中，然后是移動之后的情況；如果沒有，直接刪除后，移動之后的情況。

    刪除元素，移動相應(yīng)元素之后，

• 如果某結(jié)點中元素數(shù)目（即關(guān)鍵字數(shù)）小于ceil(m/2)-1，則需要看其某相鄰兄弟結(jié)點是否豐滿（結(jié)點中元素個數(shù)大于ceil(m/2)-1）（還記得第一節(jié)中關(guān)于B樹的第5個特性中的c點么?： c)除根結(jié)點之外的結(jié)點（包括葉子結(jié)點）的關(guān)鍵字的個數(shù)n必須滿足： （ceil(m / 2)-1）<= n <= m-1。m表示最多含有m個孩子，n表示關(guān)鍵字數(shù)。在本小節(jié)中舉的一顆B樹的示例中，關(guān)鍵字數(shù)n滿足：2<=n<=4），
• 如果豐滿，則向父節(jié)點借一個元素來滿足條件；
• 如果其相鄰兄弟都剛脫貧，即借了之后其結(jié)點數(shù)目小于ceil(m/2)-1，則該結(jié)點與其相鄰的某一兄弟結(jié)點進行“合并”成一個結(jié)點，以此來滿足條件。

    那咱們通過下面實例來詳細了解吧。

    以上述插入操作構(gòu)造的一棵5階B樹（樹中最多含有m（m=5）個孩子，因此關(guān)鍵字數(shù)最小為ceil(m / 2)-1=2。還是這句話，關(guān)鍵字數(shù)小了（小于2個）就合并，大了（超過4個）就分裂）為例，依次刪除H,T,R,E。

1、首先刪除元素H，當然首先查找H，H在一個葉子結(jié)點中，且該葉子結(jié)點元素數(shù)目3大于最小元素數(shù)目ceil(m/2)-1=2，則操作很簡單，咱們只需要移動K至原來H的位置，移動L至K的位置（也就是結(jié)點中刪除元素后面的元素向前移動）

 

2、下一步，刪除T,因為T沒有在葉子結(jié)點中，而是在中間結(jié)點中找到，咱們發(fā)現(xiàn)他的繼承者W(字母升序的下個元素)，將W上移到T的位置，然后將原包含W的孩子結(jié)點中的W進行刪除，這里恰好刪除W后，該孩子結(jié)點中元素個數(shù)大于2，無需進行合并操作。

 

3、下一步刪除R，R在葉子結(jié)點中,但是該結(jié)點中元素數(shù)目為2，刪除導致只有1個元素，已經(jīng)小于最小元素數(shù)目ceil(5/2)-1=2,而由前面我們已經(jīng)知道：如果其某個相鄰兄弟結(jié)點中比較豐滿（元素個數(shù)大于ceil(5/2)-1=2），則可以向父結(jié)點借一個元素，然后將最豐滿的相鄰兄弟結(jié)點中上移最后或最前一個元素到父節(jié)點中（有沒有看到紅黑樹中左旋操作的影子?），在這個實例中，右相鄰兄弟結(jié)點中比較豐滿（3個元素大于2），所以先向父節(jié)點借一個元素W下移到該葉子結(jié)點中，代替原來S的位置，S前移；然后X在相鄰右兄弟結(jié)點中上移到父結(jié)點中，最后在相鄰右兄弟結(jié)點中刪除X，后面元素前移。

 

4、最后一步刪除E， 刪除后會導致很多問題，因為E所在的結(jié)點數(shù)目剛好達標，剛好滿足最小元素個數(shù)（ceil(5/2)-1=2）,而相鄰的兄弟結(jié)點也是同樣的情況，刪除一個元素都不能滿足條件，所以需要該節(jié)點與某相鄰兄弟結(jié)點進行合并操作；首先移動父結(jié)點中的元素（該元素在兩個需要合并的兩個結(jié)點元素之間）下移到其子結(jié)點中，然后將這兩個結(jié)點進行合并成一個結(jié)點。所以在該實例中，咱們首先將父節(jié)點中的元素D下移到已經(jīng)刪除E而只有F的結(jié)點中，然后將含有D和F的結(jié)點和含有A,C的相鄰兄弟結(jié)點進行合并成一個結(jié)點。

 

5、也許你認為這樣刪除操作已經(jīng)結(jié)束了，其實不然，在看看上圖，對于這種特殊情況，你立即會發(fā)現(xiàn)父節(jié)點只包含一個元素G，沒達標（因為非根節(jié)點包括葉子結(jié)點的關(guān)鍵字數(shù)n必須滿足于2=<n<=4，而此處的n=1），這是不能夠接受的。如果這個問題結(jié)點的相鄰兄弟比較豐滿，則可以向父結(jié)點借一個元素。假設(shè)這時右兄弟結(jié)點（含有Q,X）有一個以上的元素（Q右邊還有元素），然后咱們將M下移到元素很少的子結(jié)點中，將Q上移到M的位置，這時，Q的左子樹將變成M的右子樹，也就是含有N，P結(jié)點被依附在M的右指針上。所以在這個實例中，咱們沒有辦法去借一個元素，只能與兄弟結(jié)點進行合并成一個結(jié)點，而根結(jié)點中的唯一元素M下移到子結(jié)點，這樣，樹的高度減少一層。

 

為了進一步詳細討論刪除的情況，再舉另外一個實例：

這里是一棵不同的5序B樹，那咱們試著刪除C

 

于是將刪除元素C的右子結(jié)點中的D元素上移到C的位置，但是出現(xiàn)上移元素后，只有一個元素的結(jié)點的情況。

又因為含有E的結(jié)點，其相鄰兄弟結(jié)點才剛脫貧（最少元素個數(shù)為2），不可能向父節(jié)點借元素，所以只能進行合并操作，于是這里將含有A,B的左兄弟結(jié)點和含有E的結(jié)點進行合并成一個結(jié)點。

 

這樣又出現(xiàn)只含有一個元素F結(jié)點的情況，這時，其相鄰的兄弟結(jié)點是豐滿的（元素個數(shù)為3>最小元素個數(shù)2），這樣就可以想父結(jié)點借元素了，把父結(jié)點中的J下移到該結(jié)點中，相應(yīng)的如果結(jié)點中J后有元素則前移，然后相鄰兄弟結(jié)點中的第一個元素（或者最后一個元素）上移到父節(jié)點中，后面的元素（或者前面的元素）前移（或者后移）；注意含有K，L的結(jié)點以前依附在M的左邊，現(xiàn)在變?yōu)橐栏皆?/span>J的右邊。這樣每個結(jié)點都滿足B樹結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

 

從以上操作可看出：除根結(jié)點之外的結(jié)點（包括葉子結(jié)點）的關(guān)鍵字的個數(shù)n滿足：（ceil(m / 2)-1）<= n <= m-1，即2<=n<=4。這也佐證了咱們之前的觀點。刪除操作完。

第二部分、B樹的編碼實現(xiàn)

    既然明白了B樹的插入，和刪除操作的原理，接下來，咱們來一步一步實現(xiàn)它。不過，有一點必須說明的是：這個實現(xiàn)只是實現(xiàn)了偶數(shù)序order（階)的情況；還有奇數(shù)序order（階)的情況沒有考慮。待日后改進。

• ok，以下是頭文件：

//實現(xiàn)對order序(階)的B-TREE結(jié)構(gòu)基本操作的封裝。 //查找：search，插入：insert，刪除：remove。 //創(chuàng)建：create，銷毀：destory，打印：print。 #ifndef BTREE_H #define BTREE_H #ifdef __cplusplus extern "C" { #endif ////* 定義m序(階)B 樹的最小度數(shù)BTree_D=ceil(m)*/ /// 在這里定義每個節(jié)點中關(guān)鍵字的最大數(shù)目為:2 * BTree_D - 1，即序(階)：2 * BTree_D. #define BTree_D 2 #define ORDER (BTree_D * 2) //定義為4階B-tree,2-3-4樹。最簡單為3階B-tree,2-3樹。 //#define ORDER (BTree_T * 2-1) //最簡單為3階B-tree,2-3樹。 typedef int KeyType; typedef struct BTNode{ int keynum; /// 結(jié)點中關(guān)鍵字的個數(shù)，keynum <= BTree_N KeyType key[ORDER-1]; /// 關(guān)鍵字向量為key[0..keynum - 1] struct BTNode* child[ORDER]; /// 孩子指針向量為child[0..keynum] bool isLeaf; /// 是否是葉子節(jié)點的標志 }BTNode; typedef BTNode* BTree; ///定義BTree ///給定數(shù)據(jù)集data,創(chuàng)建BTree。 void BTree_create(BTree* tree, const KeyType* data, int length); ///銷毀BTree，釋放內(nèi)存空間。 void BTree_destroy(BTree* tree); ///在BTree中插入關(guān)鍵字key。 void BTree_insert(BTree* tree, KeyType key); ///在BTree中移除關(guān)鍵字key。 void BTree_remove(BTree* tree, KeyType key); ///深度遍歷BTree打印各層結(jié)點信息。 void BTree_print(const BTree tree, int layer=1); /// 在BTree中查找關(guān)鍵字 key， /// 成功時返回找到的節(jié)點的地址及 key 在其中的位置 *pos /// 失敗時返回 NULL 及查找失敗時掃描到的節(jié)點位置 *pos BTNode* BTree_search(const BTree tree, int key, int* pos); #ifdef __cplusplus } #endif #endif

• 下面是B樹的實現(xiàn)文件：

//實現(xiàn)對order序(階)的B-TREE結(jié)構(gòu)基本操作的封裝。 //查找：search，插入：insert，刪除：remove。 //創(chuàng)建：create，銷毀：destory，打印：print。 #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <assert.h> #include "btree.h" //#define max(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b)) #define cmp(a, b) ( ( ((a)-(b)) >= (0) ) ? (1) : (0) ) //比較a，b大小 #define DEBUG_BTREE // 模擬向磁盤寫入節(jié)點 void disk_write(BTNode* node) { //打印出結(jié)點中的全部元素，方便調(diào)試查看keynum之后的元素是否為0(即是否存在垃圾數(shù)據(jù))；而不是keynum個元素。 printf("向磁盤寫入節(jié)點"); for(int i=0;i<ORDER-1;i++){ printf("%c",node->key[i]); } printf("\n"); } // 模擬從磁盤讀取節(jié)點 void disk_read(BTNode** node) { //打印出結(jié)點中的全部元素，方便調(diào)試查看keynum之后的元素是否為0(即是否存在垃圾數(shù)據(jù))；而不是keynum個元素。 printf("向磁盤讀取節(jié)點"); for(int i=0;i<ORDER-1;i++){ printf("%c",(*node)->key[i]); } printf("\n"); } // 按層次打印 B 樹 void BTree_print(const BTree tree, int layer) { int i; BTNode* node = tree; if (node) { printf("第 %d 層， %d node : ", layer, node->keynum); //打印出結(jié)點中的全部元素，方便調(diào)試查看keynum之后的元素是否為0(即是否存在垃圾數(shù)據(jù))；而不是keynum個元素。 for (i = 0; i < ORDER-1; ++i) { //for (i = 0; i < node->keynum; ++i) { printf("%c ", node->key[i]); } printf("\n"); ++layer; for (i = 0 ; i <= node->keynum; i++) { if (node->child[i]) { BTree_print(node->child[i], layer); } } } else { printf("樹為空。\n"); } } // 結(jié)點node內(nèi)對關(guān)鍵字進行二分查找。 int binarySearch(BTNode* node, int low, int high, KeyType Fkey) { int mid; while (low<=high) { mid = low + (high-low)/2; if (Fkey<node->key[mid]) { high = mid-1; } if (Fkey>node->key[mid]) { low = mid+1; } if (Fkey==node->key[mid]) { return mid;//返回下標。 } } return 0;//未找到返回0. } <span style="color:#660000;"></span>//insert /*************************************************************************************** 將分裂的結(jié)點中的一半元素給新建的結(jié)點，并且將分裂結(jié)點中的中間關(guān)鍵字元素上移至父節(jié)點中。 parent 是一個非滿的父節(jié)點 node 是 tree 孩子表中下標為 index 的孩子節(jié)點，且是滿的，需分裂。 *******************************************************************/ void BTree_split_child(BTNode* parent, int index, BTNode* node) { #ifdef DEBUG_BTREE printf("BTree_split_child!\n"); #endif assert(parent && node); int i; // 創(chuàng)建新節(jié)點，存儲 node 中后半部分的數(shù)據(jù) BTNode* newNode = (BTNode*)calloc(sizeof(BTNode), 1); if (!newNode) { printf("Error! out of memory!\n"); return; } newNode->isLeaf = node->isLeaf; newNode->keynum = BTree_D - 1; // 拷貝 node 后半部分關(guān)鍵字,然后將node后半部分置為0。 for (i = 0; i < newNode->keynum; ++i){ newNode->key[i] = node->key[BTree_D + i]; node->key[BTree_D + i] = 0; } // 如果 node 不是葉子節(jié)點，拷貝 node 后半部分的指向孩子節(jié)點的指針，然后將node后半部分指向孩子節(jié)點的指針置為NULL。 if (!node->isLeaf) { for (i = 0; i < BTree_D; i++) { newNode->child[i] = node->child[BTree_D + i]; node->child[BTree_D + i] = NULL; } } // 將 node 分裂出 newNode 之后，里面的數(shù)據(jù)減半 node->keynum = BTree_D - 1; // 調(diào)整父節(jié)點中的指向孩子的指針和關(guān)鍵字元素。分裂時父節(jié)點增加指向孩子的指針和關(guān)鍵元素。 for (i = parent->keynum; i > index; --i) { parent->child[i + 1] = parent->child[i]; } parent->child[index + 1] = newNode; for (i = parent->keynum - 1; i >= index; --i) { parent->key[i + 1] = parent->key[i]; } parent->key[index] = node->key[BTree_D - 1]; ++parent->keynum; node->key[BTree_D - 1] = 0; // 寫入磁盤 disk_write(parent); disk_write(newNode); disk_write(node); } void BTree_insert_nonfull(BTNode* node, KeyType key) { assert(node); int i; // 節(jié)點是葉子節(jié)點，直接插入 if (node->isLeaf) { i = node->keynum - 1; while (i >= 0 && key < node->key[i]) { node->key[i + 1] = node->key[i]; --i; } node->key[i + 1] = key; ++node->keynum; // 寫入磁盤 disk_write(node); } // 節(jié)點是內(nèi)部節(jié)點 else { /* 查找插入的位置*/ i = node->keynum - 1; while (i >= 0 && key < node->key[i]) { --i; } ++i; // 從磁盤讀取孩子節(jié)點 disk_read(&node->child[i]); // 如果該孩子節(jié)點已滿，分裂調(diào)整值 if (node->child[i]->keynum == (ORDER-1)) { BTree_split_child(node, i, node->child[i]); // 如果待插入的關(guān)鍵字大于該分裂結(jié)點中上移到父節(jié)點的關(guān)鍵字，在該關(guān)鍵字的右孩子結(jié)點中進行插入操作。 if (key > node->key[i]) { ++i; } } BTree_insert_nonfull(node->child[i], key); } } void BTree_insert(BTree* tree, KeyType key) { #ifdef DEBUG_BTREE printf("BTree_insert:\n"); #endif BTNode* node; BTNode* root = *tree; // 樹為空 if (NULL == root) { root = (BTNode*)calloc(sizeof(BTNode), 1); if (!root) { printf("Error! out of memory!\n"); return; } root->isLeaf = true; root->keynum = 1; root->key[0] = key; *tree = root; // 寫入磁盤 disk_write(root); return; } // 根節(jié)點已滿，插入前需要進行分裂調(diào)整 if (root->keynum == (ORDER-1)) { // 產(chǎn)生新節(jié)點當作根 node = (BTNode*)calloc(sizeof(BTNode), 1); if (!node) { printf("Error! out of memory!\n"); return; } *tree = node; node->isLeaf = false; node->keynum = 0; node->child[0] = root; BTree_split_child(node, 0, root); BTree_insert_nonfull(node, key); } // 根節(jié)點未滿，在當前節(jié)點中插入 key else { BTree_insert_nonfull(root, key); } } <p> </p><p>//remove  // 對 tree 中的節(jié)點 node 進行合并孩子節(jié)點處理. // 注意：孩子節(jié)點的 keynum 必須均已達到下限，即均等于 BTree_D - 1 // 將 tree 中索引為 index 的 key 下移至左孩子結(jié)點中， // 將 node 中索引為 index + 1 的孩子節(jié)點合并到索引為 index 的孩子節(jié)點中，右孩子合并到左孩子結(jié)點中。 // 并調(diào)相關(guān)的 key 和指針。</p>void BTree_merge_child(BTree* tree, BTNode* node, int index) { #ifdef DEBUG_BTREE printf("BTree_merge_child!\n"); #endif assert(tree && node && index >= 0 && index < node->keynum); int i; KeyType key = node->key[index]; BTNode* leftChild = node->child[index]; BTNode* rightChild = node->child[index + 1]; assert(leftChild && leftChild->keynum == BTree_D - 1 && rightChild && rightChild->keynum == BTree_D - 1); // 將 node中關(guān)鍵字下標為index 的 key 下移至左孩子結(jié)點中，該key所對應(yīng)的右孩子結(jié)點指向node的右孩子結(jié)點中的第一個孩子。 leftChild->key[leftChild->keynum] = key; leftChild->child[leftChild->keynum + 1] = rightChild->child[0]; ++leftChild->keynum; // 右孩子的元素合并到左孩子結(jié)點中。 for (i = 0; i < rightChild->keynum; ++i) { leftChild->key[leftChild->keynum] = rightChild->key[i]; leftChild->child[leftChild->keynum + 1] = rightChild->child[i + 1]; ++leftChild->keynum; } // 在 node 中下移的 key后面的元素前移 for (i = index; i < node->keynum - 1; ++i) { node->key[i] = node->key[i + 1]; node->child[i + 1] = node->child[i + 2]; } node->key[node->keynum - 1] = 0; node->child[node->keynum] = NULL; --node->keynum; // 如果根節(jié)點沒有 key 了，并將根節(jié)點調(diào)整為合并后的左孩子節(jié)點；然后刪除釋放空間。 if (node->keynum == 0) { if (*tree == node) { *tree = leftChild; } free(node); node = NULL; } free(rightChild); rightChild = NULL; } void BTree_recursive_remove(BTree* tree, KeyType key) { // B-數(shù)的保持條件之一： // 非根節(jié)點的內(nèi)部節(jié)點的關(guān)鍵字數(shù)目不能少于 BTree_D - 1 int i, j, index; BTNode *root = *tree; BTNode *node = root; if (!root) { printf("Failed to remove %c, it is not in the tree!\n", key); return; } // 結(jié)點中找key。 index = 0; while (index < node->keynum && key > node->key[index]) { ++index; } /*======================含有key的當前結(jié)點時的情況==================== node: index of Key: i-1 i i+1 +---+---+---+---+ * key * +---+---+---+---+---+ / \ index of Child: i i+1 / \ +---+---+ +---+---+ * * * * +---+---+---+ +---+---+---+ leftChild rightChild ============================================================*/ /*一、結(jié)點中找到了關(guān)鍵字key的情況.*/ BTNode *leftChild, *rightChild; KeyType leftKey, rightKey; if (index < node->keynum && node->key[index] == key) { /* 1，所在節(jié)點是葉子節(jié)點，直接刪除*/ if (node->isLeaf) { for (i = index; i < node->keynum-1; ++i) { node->key[i] = node->key[i + 1]; //node->child[i + 1] = node->child[i + 2];葉子節(jié)點的孩子結(jié)點為空，無需移動處理。 } node->key[node->keynum-1] = 0; //node->child[node->keynum] = NULL; --node->keynum; if (node->keynum == 0) { assert(node == *tree); free(node); *tree = NULL; } return; } /*2.選擇脫貧致富的孩子結(jié)點。*/ // 2a，選擇相對富有的左孩子結(jié)點。 // 如果位于 key 前的左孩子結(jié)點的 key 數(shù)目 >= BTree_D， // 在其中找 key 的左孩子結(jié)點的最后一個元素上移至父節(jié)點key的位置。 // 然后在左孩子節(jié)點中遞歸刪除元素leftKey。 else if (node->child[index]->keynum >= BTree_D) { leftChild = node->child[index]; leftKey = leftChild->key[leftChild->keynum - 1]; node->key[index] = leftKey; BTree_recursive_remove(&leftChild, leftKey); } // 2b，選擇相對富有的右孩子結(jié)點。 // 如果位于 key 后的右孩子結(jié)點的 key 數(shù)目 >= BTree_D， // 在其中找 key 的右孩子結(jié)點的第一個元素上移至父節(jié)點key的位置 // 然后在右孩子節(jié)點中遞歸刪除元素rightKey。 else if (node->child[index + 1]->keynum >= BTree_D) { rightChild = node->child[index + 1]; rightKey = rightChild->key[0]; node->key[index] = rightKey; BTree_recursive_remove(&rightChild, rightKey); } /*左右孩子結(jié)點都剛脫貧。刪除前需要孩子結(jié)點的合并操作*/ // 2c，左右孩子結(jié)點只包含 BTree_D - 1 個節(jié)點， // 合并是將 key 下移至左孩子節(jié)點，并將右孩子節(jié)點合并到左孩子節(jié)點中， // 刪除右孩子節(jié)點，在父節(jié)點node中移除 key 和指向右孩子節(jié)點的指針， // 然后在合并了的左孩子節(jié)點中遞歸刪除元素key。 else if (node->child[index]->keynum == BTree_D - 1 && node->child[index + 1]->keynum == BTree_D - 1){ leftChild = node->child[index]; BTree_merge_child(tree, node, index); // 在合并了的左孩子節(jié)點中遞歸刪除 key BTree_recursive_remove(&leftChild, key); } } /*======================未含有key的當前結(jié)點時的情況==================== node: index of Key: i-1 i i+1 +---+---+---+---+ * keyi * +---+---+---+---+---+ / | \ index of Child: i-1 i i+1 / | \ +---+---+ +---+---+ +---+---+ * * * * * * +---+---+---+ +---+---+---+ +---+---+---+ leftSibling Child rightSibling ============================================================*/ /*二、結(jié)點中未找到了關(guān)鍵字key的情況.*/ else { BTNode *leftSibling, *rightSibling, *child; // 3. key 不在內(nèi)節(jié)點 node 中，則應(yīng)當在某個包含 key 的子節(jié)點中。 // key < node->key[index], 所以 key 應(yīng)當在孩子節(jié)點 node->child[index] 中 child = node->child[index]; if (!child) { printf("Failed to remove %c, it is not in the tree!\n", key); return; } /*所需查找的該孩子結(jié)點剛脫貧的情況*/ if (child->keynum == BTree_D - 1) { leftSibling = NULL; rightSibling = NULL; if (index - 1 >= 0) { leftSibling = node->child[index - 1]; } if (index + 1 <= node->keynum) { rightSibling = node->child[index + 1]; } /*選擇致富的相鄰兄弟結(jié)點。*/ // 3a，如果所在孩子節(jié)點相鄰的兄弟節(jié)點中有節(jié)點至少包含 BTree_D 個關(guān)鍵字 // 將 node 的一個關(guān)鍵字key[index]下移到 child 中，將相對富有的相鄰兄弟節(jié)點中一個關(guān)鍵字上移到 // node 中，然后在 child 孩子節(jié)點中遞歸刪除 key。 if ((leftSibling && leftSibling->keynum >= BTree_D) || (rightSibling && rightSibling->keynum >= BTree_D)) { int richR = 0; if(rightSibling) richR = 1; if(leftSibling && rightSibling) { richR = cmp(rightSibling->keynum,leftSibling->keynum); } if (rightSibling && rightSibling->keynum >= BTree_D && richR) { //相鄰右兄弟相對富有，則該孩子先向父節(jié)點借一個元素，右兄弟中的第一個元素上移至父節(jié)點所借位置，并進行相應(yīng)調(diào)整。 child->key[child->keynum] = node->key[index]; child->child[child->keynum + 1] = rightSibling->child[0]; ++child->keynum; node->key[index] = rightSibling->key[0]; for (j = 0; j < rightSibling->keynum - 1; ++j) {//元素前移 rightSibling->key[j] = rightSibling->key[j + 1]; rightSibling->child[j] = rightSibling->child[j + 1]; } rightSibling->key[rightSibling->keynum-1] = 0; rightSibling->child[rightSibling->keynum-1] = rightSibling->child[rightSibling->keynum]; rightSibling->child[rightSibling->keynum] = NULL; --rightSibling->keynum; } else {//相鄰左兄弟相對富有，則該孩子向父節(jié)點借一個元素，左兄弟中的最后元素上移至父節(jié)點所借位置，并進行相應(yīng)調(diào)整。 for (j = child->keynum; j > 0; --j) {//元素后移 child->key[j] = child->key[j - 1]; child->child[j + 1] = child->child[j]; } child->child[1] = child->child[0]; child->child[0] = leftSibling->child[leftSibling->keynum]; child->key[0] = node->key[index - 1]; ++child->keynum; node->key[index - 1] = leftSibling->key[leftSibling->keynum - 1]; leftSibling->key[leftSibling->keynum - 1] = 0; leftSibling->child[leftSibling->keynum] = NULL; --leftSibling->keynum; } } /*相鄰兄弟結(jié)點都剛脫貧。刪除前需要兄弟結(jié)點的合并操作,*/ // 3b, 如果所在孩子節(jié)點相鄰的兄弟節(jié)點都只包含 BTree_D - 1 個關(guān)鍵字， // 將 child 與其一相鄰節(jié)點合并，并將 node 中的一個關(guān)鍵字下降到合并節(jié)點中， // 再在 node 中刪除那個關(guān)鍵字和相關(guān)指針，若 node 的 key 為空，刪之，并調(diào)整根為合并結(jié)點。 // 最后，在相關(guān)孩子節(jié)點child中遞歸刪除 key。 else if ((!leftSibling || (leftSibling && leftSibling->keynum == BTree_D - 1)) && (!rightSibling || (rightSibling && rightSibling->keynum == BTree_D - 1))) { if (leftSibling && leftSibling->keynum == BTree_D - 1) { BTree_merge_child(tree, node, index - 1);//node中的右孩子元素合并到左孩子中。 child = leftSibling; } else if (rightSibling && rightSibling->keynum == BTree_D - 1) { BTree_merge_child(tree, node, index);//node中的右孩子元素合并到左孩子中。 } } } BTree_recursive_remove(&child, key);//調(diào)整后，在key所在孩子結(jié)點中繼續(xù)遞歸刪除key。 } } void BTree_remove(BTree* tree, KeyType key) { #ifdef DEBUG_BTREE printf("BTree_remove:\n"); #endif if (*tree==NULL) { printf("BTree is NULL!\n"); return; } BTree_recursive_remove(tree, key); } //=====================================search==================================== BTNode* BTree_recursive_search(const BTree tree, KeyType key, int* pos) { int i = 0; while (i < tree->keynum && key > tree->key[i]) { ++i; } // Find the key. if (i < tree->keynum && tree->key[i] == key) { *pos = i; return tree; } // tree 為葉子節(jié)點，找不到 key，查找失敗返回 if (tree->isLeaf) { return NULL; } // 節(jié)點內(nèi)查找失敗，但 tree->key[i - 1]< key < tree->key[i]， // 下一個查找的結(jié)點應(yīng)為 child[i] // 從磁盤讀取第 i 個孩子的數(shù)據(jù) disk_read(&tree->child[i]); // 遞歸地繼續(xù)查找于樹 tree->child[i] return BTree_recursive_search(tree->child[i], key, pos); } BTNode* BTree_search(const BTree tree, KeyType key, int* pos) { #ifdef DEBUG_BTREE printf("BTree_search:\n"); #endif if (!tree) { printf("BTree is NULL!\n"); return NULL; } *pos = -1; return BTree_recursive_search(tree,key,pos); } //===============================create=============================== void BTree_create(BTree* tree, const KeyType* data, int length) { assert(tree); int i; #ifdef DEBUG_BTREE printf("\n 開始創(chuàng)建 B-樹，關(guān)鍵字為:\n"); for (i = 0; i < length; i++) { printf(" %c ", data[i]); } printf("\n"); #endif for (i = 0; i < length; i++) { #ifdef DEBUG_BTREE printf("\n插入關(guān)鍵字 %c:\n", data[i]); #endif int pos = -1; BTree_search(*tree,data[i],&pos);//樹的遞歸搜索。 if (pos!=-1) { printf("this key %c is in the B-tree,not to insert.\n",data[i]); }else{ BTree_insert(tree, data[i]);//插入元素到BTree中。 } #ifdef DEBUG_BTREE BTree_print(*tree);//樹的深度遍歷。 #endif } printf("\n"); } //===============================destroy=============================== void BTree_destroy(BTree* tree) { int i; BTNode* node = *tree; if (node) { for (i = 0; i <= node->keynum; i++) { BTree_destroy(&node->child[i]); } free(node); } *tree = NULL; }

• 最后，給出測試文件：

//測試order序(階)的B-TREE結(jié)構(gòu)基本操作。 //查找：search，插入：insert，刪除：remove。 //創(chuàng)建：create，銷毀：destory，打印：print。 #include <stdio.h> #include "btree.h" void test_BTree_search(BTree tree, KeyType key) { int pos = -1; BTNode* node = BTree_search(tree, key, &pos); if (node) { printf("在%s節(jié)點（包含 %d 個關(guān)鍵字）中找到關(guān)鍵字 %c，其索引為 %d\n", node->isLeaf ? "葉子" : "非葉子", node->keynum, key, pos); } else { printf("在樹中找不到關(guān)鍵字 %c\n", key); } } void test_BTree_remove(BTree* tree, KeyType key) { printf("\n移除關(guān)鍵字 %c \n", key); BTree_remove(tree, key); BTree_print(*tree); printf("\n"); } void test_btree() { KeyType array[] = { 'G','G', 'M', 'P', 'X', 'A', 'C', 'D', 'E', 'J', 'K', 'N', 'O', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'Y', 'Z', 'F', 'X' }; const int length = sizeof(array)/sizeof(KeyType); BTree tree = NULL; BTNode* node = NULL; int pos = -1; KeyType key1 = 'R'; // in the tree. KeyType key2 = 'B'; // not in the tree. // 創(chuàng)建 BTree_create(&tree, array, length); printf("\n=== 創(chuàng)建 B- 樹 ===\n"); BTree_print(tree); printf("\n"); // 查找 test_BTree_search(tree, key1); printf("\n"); test_BTree_search(tree, key2); // 移除不在B樹中的元素 test_BTree_remove(&tree, key2); printf("\n"); // 插入關(guān)鍵字 printf("\n插入關(guān)鍵字 %c \n", key2); BTree_insert(&tree, key2); BTree_print(tree); printf("\n"); test_BTree_search(tree, key2); // 移除關(guān)鍵字 test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'M'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'E'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'G'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'A'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'D'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'K'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'P'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'J'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'C'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'X'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'O'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'V'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'R'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'U'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'T'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'N'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'S'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'Y'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'F'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); key2 = 'Z'; test_BTree_remove(&tree, key2); test_BTree_search(tree, key2); // 銷毀 BTree_destroy(&tree); } int main() { test_btree(); return 0; }

參考：

• http://www.shnenglu.com/converse/archive/2009/10/13/98521.html

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后記：

    本blog日后會更多的關(guān)注數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法之外的東西，如分布式架構(gòu)，海量數(shù)據(jù)處理，搜索引擎相關(guān)。畢竟，算法之外的東西，如瀚海般無止境，要學的東西，還有很多。

    若轉(zhuǎn)載，請注明出處，謝謝。完。二零一一年八月三十一日。