-潘宏
-2009.12.31

-本人水平有限，疏忽錯(cuò)誤在所難免，還請(qǐng)各位數(shù)學(xué)高手、編程高手不吝賜教

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原文地址：http://blog.csdn.net/popy007/article/details/5120158

一些網(wǎng)友寫信給我希望能夠了解固定流水線中世界空間到相機(jī)空間變換矩陣的具體推導(dǎo)過程。其實(shí)之前我在《向量幾何在游戲編程中的使用6》中已經(jīng)簡單的把相機(jī)變換作為一個(gè)使用基理論的例子進(jìn)行了說明，但可能仍然不夠具體。這篇文章中，我會(huì)盡力闡述相機(jī)變換的整個(gè)來龍去脈。希望能夠?qū)φ趯W(xué)習(xí)固定流水線的朋友們有所幫助。這里我們?nèi)匀粫?huì)在推導(dǎo)相機(jī)變換之前介紹幾個(gè)理論知識(shí)，目的是為了更好的理解推導(dǎo)過程。我們馬上開始！

什么是相機(jī)變換？

在流水線中，當(dāng)物體從模型坐標(biāo)通過世界矩陣變換到世界空間之后，它將通過相機(jī)變換從世界空間變換到相機(jī)空間。下圖的固定流水線中，藍(lán)色框中的部分就是這個(gè)過程。

其實(shí)，所謂的相機(jī)空間，就是以相機(jī)作為坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)參考系，所以，從世界空間變換到相機(jī)空間，就是把物體從世界坐標(biāo)系，變換到相機(jī)為原點(diǎn)的相機(jī)坐標(biāo)系，如下圖所示。

左半部分是小人在世界空間中的位置，右半部分是小人變換到相機(jī)空間后的位置。這樣的一個(gè)變換可以有很多種方式來實(shí)現(xiàn)：歐拉相機(jī)系統(tǒng)、UVN系統(tǒng)、Two Points & A Twist等等。這里我們討論最為廣泛的UVN系統(tǒng)構(gòu)建相機(jī)矩陣，如果讀者對(duì)其他方法感興趣，可以查找相關(guān)的資料。我們?nèi)匀挥懻?/span>OpenGL的相機(jī)矩陣的推導(dǎo)，其他API可以類似的推導(dǎo)。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式

我們?cè)凇断蛄繋缀卧谟螒蚓幊讨械氖褂?/span>6》中提到了正交矩陣，這是在基理論基礎(chǔ)上的一個(gè)概念（如果對(duì)基理論不是很熟悉，請(qǐng)參考《向量幾何在游戲編程中的使用6》）。正交矩陣所有列（行）向量構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基（它的列向量都是互相正交，并且長度為1），因此，可以把正交矩陣看成是對(duì)一個(gè)坐標(biāo)系的描述。同時(shí)，我們知道：同一個(gè)向量，在不同的基下面的坐標(biāo)是不同的。因此，可以用正交矩陣來代表坐標(biāo)系（也可以看作基）從而寫出在統(tǒng)一的參考系（全局坐標(biāo)系）下同一個(gè)向量在不同基中的坐標(biāo)。

上面的式子表示，參考系中向量v在基Q中的坐標(biāo)是v’，在基R中的坐標(biāo)是v’’（注意這里的環(huán)境下基矩陣是用列向量表示的，這樣相乘之后的結(jié)果表示的是基向量的線性組合）。如下圖，黑色基表示的是參考系，紅色是基Q，藍(lán)色是基R，v是參考系中的一個(gè)向量。

為了讓大家更清楚，我舉一個(gè)例子：

上式的意思是：參考系中的向量v，在基Q( 1 0 0 ), ( 0 1 0 ), ( 0 0 1)下的坐標(biāo)是( 1 2 6 )，在基R( 0 1 0 ), ( 0 0 1 ), ( 1 0 0 )下的坐標(biāo)是( 2 6 1 )。注意，我們所討論的所有基和向量的關(guān)系都只是線性表示的關(guān)系，沒有位移關(guān)系，因此我們用3D向量表示，而不是4D的齊次表示（如果對(duì)齊次坐標(biāo)不是很熟悉，請(qǐng)參考《深入探索透視投影變換》中的齊次坐標(biāo)部分）。

這樣，已知一個(gè)基Q和向量v在它之中的坐標(biāo)v’，以及另外一個(gè)基R，我們可以通過v=Qv’=Rv’’公式來計(jì)算v’’。

上面就是求v’’的公式，注意到右邊需要計(jì)算基R的逆矩陣R^-1，因?yàn)榛?/span>R是正交矩陣，而正交矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)就是逆等于轉(zhuǎn)置。因此，我們可以把它寫成

這個(gè)公式就是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式。特別地，如果Q是和參考系相同的坐標(biāo)系（3D編程中大多數(shù)情況下如此），比如世界坐標(biāo)系，則Q是一個(gè)單位矩陣I，則我們可以把它寫成

這個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可以解釋為：對(duì)于世界坐標(biāo)系中的向量v’，它在坐標(biāo)系R中的坐標(biāo)是v’’。我們?cè)诤竺鏁?huì)用到這個(gè)公式。

    除了用正交矩陣來闡述坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，我們還可以使用點(diǎn)積所代表的共線程度（colinear amount）來描述坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（AndréLaMothe的《Tricks Of The 3D Game Programming Gurus》）。這個(gè)理論基于點(diǎn)積的幾何意義：一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的共線程度。比如兩個(gè)向量v和s點(diǎn)積

幾何意義就是v在s方向上的投影長和s的長的乘積，或者是s在v方向上的投影長和v的長的乘積（積的符號(hào)為：若v和s的角度小于90度，積為正，如果是直角，積為零，否則為負(fù)）。

進(jìn)一步地，如果v是一個(gè)單位向量，則這個(gè)點(diǎn)積可以解釋為s在v方向上的投影長；如果s是一個(gè)單位向量，則可以解釋為v在s方向上的投影長?，F(xiàn)在，我們把點(diǎn)積推廣到基的層次上，把一個(gè)向量v’和一個(gè)基R的三個(gè)單位軸向量進(jìn)行點(diǎn)積，點(diǎn)積得到的三個(gè)值則表示這個(gè)向量在這個(gè)基下的坐標(biāo)v’’

數(shù)學(xué)表達(dá)為

請(qǐng)注意，為了讓v’能夠和基的每一個(gè)軸向量進(jìn)行點(diǎn)積，我們必須把基寫成轉(zhuǎn)置形式，即行向量乘法，否則就變成了線性組合的形式。這個(gè)公式的意義就是世界空間中的向量v’和基R的軸向量進(jìn)行點(diǎn)積從而得到v’在R下的共線程度——坐標(biāo)v’’。這個(gè)公式和上面我們得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式一模一樣。實(shí)際上我們是從兩個(gè)不同的方向解釋同一個(gè)公式，希望你能夠把兩個(gè)方向都理解。

UVN系統(tǒng)

UVN系統(tǒng)本身是一個(gè)基。如下圖所示，三個(gè)基向量U，V，N分別指向相機(jī)的右方、上方和后方從而構(gòu)成右手坐標(biāo)系，相機(jī)則處于坐標(biāo)原點(diǎn)。

使用UVN系統(tǒng)可以非常方便的設(shè)置相機(jī)朝向。它的構(gòu)建過程如下如所示

在參考系下（這里是世界坐標(biāo)系），我們給定相機(jī)的位置——eye，被觀察的小人的位置——lookat，以及一個(gè)輔助向量——參考系中表示“上方”的向量up，這個(gè)向量會(huì)影響U和V的生成，因?yàn)橐院笄蟪龅?/span>V向量會(huì)在up和N向量所決定的平面上（有興趣可以自己證明一下），所以可以通過這個(gè)向量讓相機(jī)產(chǎn)生不同的偏轉(zhuǎn)。

首先我們求出向量N

很簡單，用目標(biāo)位置減去相機(jī)的位置，就是圖中的步驟2。第3步，我們求出向量U。這一步需要使用輔助向量up，如果不希望相機(jī)產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，一般取(0, 1, 0)

U使用向量的叉乘實(shí)現(xiàn)，就是圖中的步驟3。最后，使用N和U計(jì)算出向量V

最后將計(jì)算出的U，V和N進(jìn)行單位化，就得到了相機(jī)的UVN系統(tǒng)。結(jié)合上面我們談到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論，我們可以把UVN系統(tǒng)看作是相機(jī)的基，從而可以方便的把一個(gè)向量在世界坐標(biāo)和相機(jī)坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

OpenGL的gluLookAt(eyex, eyey, eyez, lookatx, lookaty, lookatz, upx, upy, upz)方法就是使用的上面的步驟進(jìn)行相機(jī)矩陣的設(shè)置。它的前三個(gè)參數(shù)就是相機(jī)的位置向量，中間三個(gè)參數(shù)是所觀察的目標(biāo)位置向量，最后三個(gè)參數(shù)就是輔助向量up。

相機(jī)矩陣的推導(dǎo)

上面我們已經(jīng)說明了UVN系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)流水線中就是使用了UVN系統(tǒng)來描述相機(jī)。U, V, N分別對(duì)應(yīng)相機(jī)坐標(biāo)系的三個(gè)基向量。

此外，對(duì)于一個(gè)相機(jī)來說，它在開始的時(shí)候和世界坐標(biāo)系是重合的，用戶控制相機(jī)在世界空間中移動(dòng)之后，相機(jī)的狀態(tài)可以用兩個(gè)屬性來描述——朝向和位置。也就是說，有了這兩個(gè)屬性，一個(gè)相機(jī)模型在世界中的狀態(tài)就確定了。而這兩個(gè)屬性，我們用變換的理論來描述，就是旋轉(zhuǎn)和平移?？梢韵胂?，對(duì)于世界中的任何一個(gè)相機(jī)狀態(tài)，我們都可以把它看成是：相機(jī)先圍繞自身基原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，然后平移到世界空間的某個(gè)地方。下圖展示了這個(gè)過程

圖中，紅色是相機(jī)的基，而黑色是世界的基，也就是參考系。小人是世界中的一個(gè)物體。相機(jī)在移動(dòng)之前，兩個(gè)基是重合的。當(dāng)相機(jī)在屏幕中定位時(shí)，它首先會(huì)進(jìn)行朝向的確定——旋轉(zhuǎn)，然后進(jìn)行位置的確定——平移。圖中的Rotation和Translation兩步就是相機(jī)定位時(shí)所發(fā)生的變換?？梢钥吹较鄼C(jī)相對(duì)于小人的運(yùn)動(dòng)。而當(dāng)進(jìn)行相機(jī)變換的時(shí)候，小人應(yīng)該從世界基變換到相機(jī)的基里面。這樣，他應(yīng)該進(jìn)行一個(gè)相機(jī)定位的逆定位，先逆平移小人和相機(jī)，然后再逆旋轉(zhuǎn)小人和相機(jī)，最后相機(jī)歸位，小人隨相機(jī)變到了相機(jī)空間。這是由Inverse Translation和Inverse Rotation兩個(gè)步驟完成的，這兩個(gè)步驟就是相機(jī)變換。現(xiàn)在我們推導(dǎo)這個(gè)變換。我們把關(guān)系寫出來，相機(jī)本身的變換C包括兩個(gè)元素

其中T是平移變換，R是旋轉(zhuǎn)變換。而相機(jī)變換是相機(jī)本身變換的逆變換

這個(gè)C^-1就是我們要求出的相機(jī)變換。其中T^-1很容易求出，即

而R^-1就沒有這么容易求出來了。所以，我們不求它，我們用UVN系統(tǒng)。什么意思？請(qǐng)看上面的那張相機(jī)變換的圖，當(dāng)相機(jī)變換進(jìn)行完Inverse Translation這一步之后，相機(jī)的原點(diǎn)和世界原點(diǎn)就重合了，也就是處理完了關(guān)于平移的變換。接下來我們要做的是逆旋轉(zhuǎn)，而其實(shí)逆旋轉(zhuǎn)的目的，就是要得到目前世界坐標(biāo)中經(jīng)過逆平移的小人在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。是不是似曾相識(shí)？我們的坐標(biāo)變換理論就派上用場了。我們回憶上面坐標(biāo)變換的公式

這個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可以解釋為：對(duì)于世界坐標(biāo)系中的向量v’，它在坐標(biāo)系R中的坐標(biāo)是v’’。那么，我們可以套用在這里：對(duì)于世界坐標(biāo)中的已經(jīng)經(jīng)過逆平移的坐標(biāo)v’，它在相機(jī)坐標(biāo)系R中的坐標(biāo)是v’’。什么是相機(jī)坐標(biāo)系R？就是我們的相機(jī)UVN系統(tǒng)！就是

則相機(jī)變換的完整公式就是

這里，v是小人在世界空間中的坐標(biāo)，v’’是小人在相機(jī)空間中的坐標(biāo)。則相機(jī)變換矩陣就是

至此，我們就完成了相機(jī)矩陣的推導(dǎo)。物體經(jīng)過這個(gè)矩陣就從世界空間變換到了相機(jī)空間，等待流水線對(duì)它進(jìn)行投影變換。OpenGL就使用了上面推導(dǎo)出的最后的那個(gè)矩陣。希望你能夠理解這個(gè)推導(dǎo)過程，如果你有什么問題或者不同的看法，請(qǐng)一定給我發(fā)信J下次見！