排序算法之選擇排序
羅朝輝（http://www.shnenglu.com/kesalin）
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排序是數據處理中經常使用的一種重要運算，在計算機及其應用系統中，花費在排序上的時間在系統運行時間中占有很大比重，其重要性無需多言。下文將介紹常用的如下排序方法，對它們進行簡單的分析和比較，并提供 C 語言實現。
所謂排序，就是要將一堆記錄，使之按關鍵字遞增(或遞減)次序排列起來。根據排序所采用的策略，可以分為如下五種：
1、插入排序（直接插入排序、希爾排序）
2、交換排序（冒泡排序、快速排序）
3、選擇排序（直接選擇排序、堆排序）
4、歸并排序；
5、桶排序（桶排序，基數排序）；
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前面講了插入，交換排序，下面接著來講選擇排序。
選擇排序(Selection Sort)的基本思想是：每一趟從待排序的記錄中選出關鍵字最小的記錄，順序放在已排好序的子文件的最后，直到全部記錄排序完畢。
常用的選擇排序方法有直接選擇排序和堆排序。
直接選擇排序
基本思想：將待排序記錄分成有序區和無序區，初始狀態下有序區位空，無序區為整個待排序記錄。每一趟選擇排序就是在無序區中選擇最小（或最大）的記錄，插入到有序區的最后。如此循環直到無序區為空，完成排序。
代碼實現
// 直接選擇排序
//
void select_sort(int* array, int length)
{
assert(array && length >= 0);
int i, j, k, temp;
for (i = 1; i < length; ++i) {
k = i;
for (j = i + 1; j < length; ++j) {
if (array[j] < array[k]) {
k = j;
}
}
if (k != i) {
temp = array[i];
array[i] = array[k];
array[k] = temp;
}
}
}
|
時間復雜度分析：
無論待排序記錄的初始狀態如何，在第 i 趟排序中選出最小關鍵字的記錄，需做 n - i 次比較，因此，總的比較次數為： n * (n - 1) / 2 = 0(n ^ 2)，當待排序記錄的初始狀態為正序時，移動次數為 0；當初始狀態為反序時，每趟排序均要執行交換操作，總的移動次數取最大值 3 * (n-1)。所以，直接選擇排序的平均時間復雜度為 0(n ^ 2)。
空間復雜度：
很明顯，0(1)。
補充：
直接選擇排序是一個就地排序，且是非穩定排序。
堆排序
堆的定義：滿足如下約束的 n 個關鍵字序列 Kl，K2，…，Kn 稱為堆，1 ≤ i ≤ n/2，
(1) ki ≤ K2i 且 ki ≤ K2i+1 （小根堆） 或
(2) Ki ≥ K2i 且 ki ≥ K2i+1 （大根堆）
從定義來看，堆實質上是滿足如下性質的完全二叉樹：樹中任一非葉結點的關鍵字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在的話)結點的關鍵字。堆排序就是充分利用堆這種堆頂記錄要么是最大的要么是最小的有序性質，每次在堆中選擇最大或最小關鍵字完成排序。堆排序也是選擇排序的一種，它比直接選擇排序平均效率要高，因為直接選擇排序，每次比較之后并沒有對比較結果進行保存，導致可能存在重復的比較，而堆則利用其堆性質將比較結果保存在堆中了（非葉子節點的左邊孩子一定不大于或不小于比右邊的孩子）。
堆排序的關鍵就在于將待排序記錄的建立成堆，建好堆之后，將無序區的堆頂記錄（總是無序區的最大或最小）和無序區最后一個記錄交換，交換之后，無序區的最后一個記錄變成有序區的第一個記錄，而無序區新的的堆頂記錄不一定滿足堆性質了，因而需要將無序區調整而堆。如此循環，直到無序區為空，結束排序。
所以堆排序的主要步驟就分三步：
1，建立初始堆；
2，將無序的堆頂記錄與最后一個記錄交換，縮小無序區；
3，將交換之后的無序區調整為堆，重復步驟 2。
代碼實現：
// 篩選法調整堆，除 [low] 之外，[low] 的兩個孩子均已是大根堆
void adjust_heap(int* heap, int low, int high)
{
assert(heap);
#if 1 // 循環實現
int i = low;
int j = 2 * i;
int temp = heap[i];
while (j <= high) {
// 若有兩個孩子，j 為孩子中大的那個的下標
if (j < high && heap[j] < heap[j + 1]) {
j = j + 1;
}
// 已是堆
if (temp >= heap[j]) {
break;
}
// 繼續篩選
else {
heap[i] = heap[j];
i = j;
j = 2 * i;
}
}
heap[i] = temp;
#else // 遞歸實現
int i = low;
int j = 2 * i;
int temp = heap[i];
if (j >= high) {
return;
}
// 若有兩個孩子，j 為孩子中大的那個的下標
if (j < high && heap[j + 1] > heap[j]) {
j = j + 1;
}
// 已經為堆，無需調整
if (heap[low] >= heap[j]) {
return;
}
heap[i] = heap[j];
heap[j] = temp;
// 調整之后，[j, high] 可能不滿足堆了，需繼續調整
adjust_heap(heap, j, high);
#endif
}
// 只有一個結點的樹是堆，而在完全二叉樹中，所有序號 i > n/2 的結點都是葉子，
// 因此以這些結點為根的子樹均已是堆。這樣，我們只需依次將以序號為
// n/2, n/2 - 1, …, 0 的結點作為根的子樹都調整為堆即可。
void build_heap(int* heap, int length)
{
assert(heap && length >= 0);
int i;
for(i = length / 2; i >= 0; --i) {
adjust_heap(heap, i, length - 1);
}
}
// 堆排序
//
void heap_sort(int* array, int length)
{
assert(array && length >= 0);
if (length <= 1) {
return;
}
int i, temp;
// 將 [0, length - 1] 建成初始堆
build_heap(array, length);
// 對當前無序區 [0, i - 1] 進行堆排序，共做 length - 1 趟。
for(i = length - 1; i > 0; --i) {
// 將堆頂和堆中最后一個記錄交換
temp = array[0];
array[0] = array[i];
array[i]= temp;
// 將 [0, i - 1] 重新調整為堆，僅有 [0] 可能違反堆性質
adjust_heap(array, 0, i - 1);
}
}
|
時間復雜度分析：
堆排序的時間開銷主要由建立初始堆和反復調整堆這兩部分的時間開銷構成，你可以想象成二叉樹的情形。堆排序的平均時間復雜度為O(nlgn)。
空間復雜度分析：
很明顯，為 0(1)。
補充：
堆排序是不穩定的就地排序。
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測試：
在前文《排序算法之插入排序》測試代碼的基礎上添加兩行代碼即可：
SortFucntionInfo sort_function_list[] = {
{"直接選擇排序", select_sort},
{"堆排序", heap_sort},
{"", NULL}
};
運行結果：
=== 直接選擇排序 ===
original: 65 32 49 10 8 72 27 42 18 58 91
sorted: 65 8 10 18 27 32 42 49 58 72 91
original: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
sorted: 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
=== 堆排序 ===
original: 65 32 49 10 8 72 27 42 18 58 91
sorted: 8 10 18 27 32 42 49 58 65 72 91
original: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
sorted: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10