數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用 Greg Turk, August 1997 “學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)需要多少的數(shù)學(xué)？”這 是初學(xué)者最經(jīng)常問的問題。
答案取決于你想在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域鉆研多深。如果僅僅使用周圍唾手可得的圖形軟件，你不需要知道多少數(shù)學(xué)知識(shí)。
如果想學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī) 圖形學(xué)的入門知識(shí)，我建議你讀一讀下面所寫的前兩章（代數(shù)，三角學(xué)和線性代數(shù)）。
如果想成為一名圖形學(xué)的研究者，那么對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將是活到老，學(xué)到老。
如果你并不特別喜歡數(shù)學(xué)，是否仍有在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域工作的機(jī)會(huì)？
是的，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的確有一些方面不需要考慮太多的數(shù)學(xué)問題。你不應(yīng)該因?yàn)閿?shù)學(xué)成績不好而 放棄它。不過，如果學(xué)習(xí)了更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，似乎你將在研究課題上有更多的選擇余地。
對(duì)于在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中哪些數(shù)學(xué)才是重要的還沒有明確的答案。這領(lǐng)域里不 同的方面要求掌握不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，也許興趣將會(huì)決定了你的方向。
以下介紹我認(rèn)為對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)有用的數(shù)學(xué)。
別以為想成為一名圖形學(xué)的研究者就必須精通各 門數(shù)學(xué)！為了對(duì)用于圖形學(xué)的數(shù)學(xué)有一個(gè)全面的看法，我特地列出了很多方面。但是許多研究者從不需要考慮下面提到的數(shù)學(xué)。最后，雖然讀了這篇文章后，你應(yīng)該會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用有所了解，不過這些觀點(diǎn)完全是我自己的。也許你應(yīng)該閱讀更多的此類文章，或者至少從其他從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)工作的人那里了解 不同的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。
現(xiàn)在開始切入正題。代數(shù)和三角學(xué)對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的初學(xué)者來說，高中的代數(shù)和三角學(xué)可能是最重要的數(shù)學(xué)。日復(fù)一日，我從簡(jiǎn)單的方程解出一 個(gè)或更多的根。我時(shí)常還要解決類似求一些幾何圖形邊長的簡(jiǎn)單三角學(xué)問題。代數(shù)和三角學(xué)是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的最基礎(chǔ)的知識(shí)。那么高中的幾何學(xué)怎么樣呢？可能讓人 驚訝，不過在多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，高中的幾何學(xué)并不經(jīng)常被用到。原因是許多學(xué)校教的幾何學(xué)實(shí)際上是如何建立數(shù)學(xué)證明的課程。雖然證明題對(duì)提高智力顯然是有 效的，但對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)來說，那些與幾何課有關(guān)的定理和證明并不常被用到。如果你畢業(yè)于數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域（包括計(jì)算機(jī)圖形學(xué)），就會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然你在證明定理， 不過這對(duì)開始學(xué)習(xí)圖形學(xué)不是必要的。如果精通代數(shù)和三角學(xué)，就可以開始讀一本計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的入門書了。
下一個(gè)重要的用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的數(shù)學(xué)——線性代數(shù)，多數(shù)此類書籍至少包含了一個(gè)對(duì)線性代數(shù)的簡(jiǎn)要介紹。推薦的參考書: Computer Graphics: Principles and Practice James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes Addison-Wesley [雖然厚重，可是我很喜歡] 線性代數(shù)線性代數(shù)的思想貫穿于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。事實(shí)上，只要牽涉到幾何數(shù)值表示法,就常常抽象出例如x,y,z坐 標(biāo)之類的數(shù)值，我們稱之為矢量。圖形學(xué)自始至終離不開矢量和矩陣。用矢量和矩陣來描述旋轉(zhuǎn)，平移，或者縮放是再好不過了。高中和大學(xué)都有線性代數(shù)的課程。 只要想在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域工作，就應(yīng)該打下堅(jiān)實(shí)的線性代數(shù)基礎(chǔ)。我剛才提到，許多圖形學(xué)的書都有關(guān)于線性代數(shù)的簡(jiǎn)要介紹——足夠教給你圖形學(xué)的第一門課。推薦的參考書: Linear Algebra and Its Applications Gilbert Strang Academic Press
微積分學(xué) 微 積分學(xué)是高級(jí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要成分。如果打算研究圖形學(xué)，我強(qiáng)烈建議你應(yīng)該對(duì)微積分學(xué)有初步認(rèn)識(shí)。理由不僅僅是微積分學(xué)是一種很有用的工具，還有許多研 究者用微積分學(xué)的術(shù)語來描述他們的問題和解決辦法。另外，在許多重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，微積分學(xué)被作為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的前提。學(xué)習(xí)了基本代數(shù)之后，微積分學(xué)又是一種 能為你打開多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門的課程。微積分學(xué)是我介紹的最后一個(gè)中學(xué)課程，以下提及的科目幾乎全部是大學(xué)的課程。
微分幾何學(xué)微分幾何學(xué)研究支配光滑曲線，曲面的方程組。如果你要計(jì)算出經(jīng)過某個(gè)遠(yuǎn)離曲面的點(diǎn)并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就會(huì)用到微分幾何學(xué)。讓一輛汽車以特定速度在曲線上行駛也牽涉到微分幾何學(xué)。有一種通用的繪制光滑曲面的圖形學(xué)技術(shù)，叫做“凹凸帖圖”，這個(gè)技術(shù)用到了微分幾何學(xué)。如果要著手于用曲線和曲面來創(chuàng)造形體（在圖形學(xué)里稱之為建模）你至少應(yīng)該學(xué)習(xí)微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)。推薦的參考書: Elementary Differential Geometry Barrett O'Neill Academic Press
數(shù)值方法幾乎任何時(shí)候，我們?cè)谟?jì)算機(jī)里用近似值代替精確值來表示和操作數(shù)值，所以計(jì)算過程總是會(huì)有誤差。而且對(duì)于給定的數(shù)值問題，常常有多種解決的方法，一些方法會(huì)更塊，更精確或者對(duì)內(nèi)存的需求更少。數(shù)值方法研究的對(duì)象包括“計(jì)算方法”和“科學(xué)計(jì)算”等等。這是一個(gè)很廣闊的領(lǐng)域，而且我將提及的其他幾門數(shù)學(xué)其實(shí)是數(shù)值方法的一些分支。這些分支包括抽樣法理論，矩陣方程組，數(shù)值微分方程組和最優(yōu)化。推薦的參考書: Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery Cambridge University Press [這本參考書很有價(jià)值可是很少作為教材使用]
抽樣法理論和信號(hào)處理在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里我們反復(fù)使用儲(chǔ)存在正規(guī)二維數(shù)組里的數(shù)字集合來表示一些對(duì)象，例如圖片和曲面。這時(shí)，我們就要用抽樣法來表示這些對(duì) 象。如果要控制這些對(duì)象的品質(zhì)，抽樣法理論就變得尤為重要。抽樣法應(yīng)用于圖形學(xué)的常見例子是當(dāng)物體被繪制在屏幕上時(shí)，它的輪廓呈現(xiàn)鋸齒狀的邊緣。這鋸齒狀 的邊緣（被認(rèn)為是“混淆”現(xiàn)象）是非常讓人分散注意力的，用抽樣法中著名的技術(shù)例如回旋，傅立葉變換，空間和頻率的函數(shù)表示就能把這個(gè)現(xiàn)象減少到最小。這些思想在圖像和音頻處理領(lǐng)域是同樣重要的。推薦的參考書: The Fourier Transform and Its Applications Ronald N. Bracewell McGraw Hill
矩陣方程組計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多問題要用到矩陣方程組的數(shù)值解法。一些涉及矩陣的問題包括：找出最好的位置與方向以使對(duì)象們互相匹配（最小二乘法），創(chuàng)建一個(gè) 覆蓋所給點(diǎn)集的曲面，并使皺折程度最小（薄板樣條算法），還有材質(zhì)模擬，例如水和衣服等。在圖形學(xué)里矩陣表述相當(dāng)流行，因此在用于圖形學(xué)的數(shù)學(xué)中我對(duì)矩陣 方程組的評(píng)價(jià)是很高的。推薦的參考書: Matrix Computations Gene Golub and Charles Van Loan Johns Hopkins University Press
物理學(xué)物理學(xué)顯然不是數(shù)學(xué)的分支，它是自成一家的學(xué)科。但是在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的某些領(lǐng)域，物理學(xué)和數(shù)學(xué)是緊密聯(lián)系的。在圖形學(xué)里，牽涉物理學(xué)的問題包括光與物 體的表面是怎樣互相影響的，人與動(dòng)物的移動(dòng)方式，水與空氣的流動(dòng)。為了模擬這些自然現(xiàn)象，物理學(xué)的知識(shí)是必不可少的。
這和解微分方程緊密聯(lián)系，我將會(huì)在下 一節(jié)提到微分方程。
微分方程的數(shù)值解法我相信對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)來說，解微分方程的技巧是非常重要的。像我們剛才討論的，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)致力于模擬源于真實(shí)世界的物理系統(tǒng)。波浪是 怎樣在水里形成的，動(dòng)物是怎樣在地面上行走的，這就是兩個(gè)模擬物理系統(tǒng)的例子。模擬物理系統(tǒng)的問題經(jīng)常就是怎樣解微分方程的數(shù)值解。請(qǐng)注意，微分方程的數(shù) 值解法與微分方程的符號(hào)解法是有很大差異的。符號(hào)解法求出沒有誤差的解，而且時(shí)常只用于一些非常簡(jiǎn)單的方程。有時(shí)大學(xué)課程里的“微分方程”只 教符號(hào)解法，不過這并不會(huì)對(duì)多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的問題有幫助。在對(duì)物理系統(tǒng)的模擬中，我們把世界細(xì)分為許多表示成矢量的小元素。然后這些元素之間的關(guān)系就可 以用矩陣來描述。雖然要處理的矩陣方程組往往沒有很精確的解，但是取而代之的是執(zhí)行了一系列的計(jì)算，這些計(jì)算產(chǎn)生一個(gè)表示成數(shù)列的近似解。這就是微分方程 的數(shù)值解法。請(qǐng)注意，矩陣方程的解法與微分方程數(shù)值解法的關(guān)系是很密切的。
最優(yōu)化在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，我們常常為了期望的目標(biāo)尋求一種合適的描述對(duì)象或者對(duì)象集的方法。例如安排燈的位置使得房間的照明看起來有種特殊的“感覺”，動(dòng)畫里的人物要怎樣活動(dòng)四肢才能實(shí)現(xiàn)一個(gè)特殊的動(dòng)作，怎樣排版才不會(huì)使頁面混亂。以上這些例子可以歸結(jié)為最優(yōu)化問題。十年前的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)幾乎沒有最優(yōu)化技術(shù)的文獻(xiàn)，不過最近這個(gè)領(lǐng)域越來越重視最優(yōu)化理論。我認(rèn)為在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，最優(yōu)化的重要性將會(huì)日益增加。
概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多領(lǐng)域都要用到概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)。當(dāng)研究者涉足人類學(xué)科時(shí)，他們當(dāng)然需要統(tǒng)計(jì)學(xué)來分析數(shù)據(jù)。圖形學(xué)相關(guān)領(lǐng)域涉及人類學(xué)科，例如虛擬現(xiàn)實(shí)和人機(jī)交互(HCI)。另外，許多用計(jì)算機(jī)描繪真實(shí)世界的問題牽涉到各種未知事件的概率。兩個(gè)例子：一棵成長期的樹,它的樹枝分杈的概率；虛擬的動(dòng)物如何決定它的行走路線。最后，一些解高難度方程組的技巧用了隨機(jī)數(shù)來估計(jì)方程組的解。重要的例子：蒙特卡羅方法經(jīng)常用于光如何傳播的問題。以上僅是一部分在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里使用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。 計(jì)算幾何學(xué)計(jì)算幾何學(xué)研究如何用計(jì)算機(jī)高效地表示與操作幾何體。典型問題如，碰撞檢測(cè)，把多邊形分解為三角形，找出最靠近某個(gè)位置的點(diǎn)，這個(gè)學(xué)科包括了運(yùn)算法則，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)。圖形學(xué)的研究者，只要涉足創(chuàng)建形體（建模），就要大量用到計(jì)算幾何學(xué)。推薦的參考書: Computational Geometry in C Joseph O'Rourke Cambridge University Press [大學(xué)教材] Computational Geometry: An Introduction Franco Preparata and Michael Shamos Springer-Verlag [很經(jīng)典，不過有點(diǎn)舊了]
總 結(jié)：數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)理論對(duì)于圖形學(xué)來說，以上提到的許多數(shù)學(xué)學(xué)科都有個(gè)共同點(diǎn)：比起這些數(shù)學(xué)的理論價(jià)值，我們更傾向于發(fā)掘它們的應(yīng)用價(jià)值。不要驚訝。圖形 學(xué)的許多問題和物理學(xué)者與工程師們研究的問題是緊密聯(lián)系的，并且物理學(xué)者與工程師們使用的數(shù)學(xué)工具正是圖形學(xué)研究者們使用的。多數(shù)研究純數(shù)學(xué)理論的學(xué)科從 不被用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。不過這不是絕對(duì)的。請(qǐng)注意這些特例：分子生物學(xué)正利用節(jié)理論來研究DNA分 子動(dòng)力學(xué)，亞原子物理學(xué)用到了抽象群論。也許有一天，純數(shù)學(xué)理論也能推動(dòng)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展，誰知道呢？有些看來重要的數(shù)學(xué)實(shí)際上在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里不常被 用到。可能拓?fù)鋵W(xué)是此類數(shù)學(xué)中最有意思的。用一句話來形容拓?fù)鋵W(xué)，它研究油炸圈餅與咖啡杯為什么在本質(zhì)上是相同的。答案是他們都是只有一個(gè)洞的曲面。我們 來討論一下拓?fù)鋵W(xué)的思想。雖然曲面是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要成分，不過微分幾何學(xué)的課程已經(jīng)涵蓋了多數(shù)對(duì)圖形學(xué)有用的拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)。微分幾何學(xué)研究曲面的造型， 可是拓?fù)鋵W(xué)研究曲面的相鄰關(guān)系。我覺得拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于圖形學(xué)來說幾乎沒用，這是由于拓?fù)鋵W(xué)關(guān)心抽象的事物，而且拓?fù)鋵W(xué)遠(yuǎn)離了多數(shù)圖形學(xué)的核心——三維歐氏空間的概念。對(duì)于圖形學(xué)來說，拓?fù)鋵W(xué)的形式（符號(hào)表示法）是表達(dá)思想的簡(jiǎn)便方法，不過圖形學(xué)很少用到抽象拓?fù)鋵W(xué)的實(shí)際工具。對(duì)圖形學(xué)來說，拓?fù)鋵W(xué)像一個(gè)好看的花瓶，不過別指望它能立即帶給你回報(bào)。有人曾經(jīng)這么問我，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是否用到了抽象代數(shù)（群論，環(huán)，等等….）或者數(shù)論。我沒怎么遇到過。和拓?fù)鋵W(xué)一樣，這些學(xué)科有很多美好的思想。可是很不幸，這些思想很少用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。
posted on 2007-12-21 17:11
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高等數(shù)學(xué)