線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用于抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用于自然科學和社會科學中。

[編輯]歷史

現代線性代數的歷史可以上溯到1843年和1844年。1843年，哈密頓發現了四元數。1844年，格拉斯曼發表了他的著作《Die lineare Ausdehnungslehre》。1857年，阿瑟·凱萊介入了矩陣，這是最基礎的線性代數思想之一。這些早期的文獻掩飾了線性代數主要在二十世紀發展的事實: 在抽象代數的環論開發之前叫做矩陣的類似數的對象是難于名次列前的。隨著狹義相對論的到來，很多開拓者增值了線性代數的微妙。進一步的，解偏微分方程的克萊姆法則的例行應用導致了大學的標準教育中包括了線性代數。例如，E.T. Copson 寫到:

“	當我在 1922 年到愛丁堡做年輕的講師的時候，我驚奇的發現了不同于牛津的課程。這里包括了我根本就不知道的主題如勒貝格積分、矩陣論、數值分析、黎曼幾何...	”
──E.T. Copson，Preface to Partial Differential Equations, 1973

1888 年，弗蘭西斯·高爾頓發起了相關系數的應用。經常有多于一個隨機變量出現并且它們可以互相關。在多變元隨機變量的統計分析中，相關矩陣是自然的工具。所以這種隨機向量的統計研究幫助了矩陣用途的開發。

[編輯]基本介紹

線性代數起源于對二維和三維直角坐標系的研究。 在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。

現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為 n 的向量空間叫做 n 維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來表示數據非常有效。由于作為 n 元組，向量是 n 個元素的“有序”列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產總值（GNP）。當所有國家的順序排定之后，比如 (中國, 美國, 英國, 法國, 德國, 西班牙, 印度, 澳大利亞)，可以使用向量 (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈) 顯示這些國家某一年各自的 GNP。這里，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。一些顯著的例子有： 不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。 線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。

向量空間是在域上定義的，比如實數域或復數域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認為是線性代數的一部分。

我們可以簡單地說數學中的線性問題——-那些表現出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學研究很多函數線性近似的問題。 在實踐中與非線性問題的差異是很重要的。

線性代數方法是指使用線性觀點看待問題，并用線性代數的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數學與工程學中最主要的應用之一。

[編輯]一些有用的定理

• 每一個線性空間都有一個基。^[1]
• 對一個 n 行 n 列的非零矩陣A，如果存在一個矩陣 B 使 AB = BA = I（I 是單位矩陣），則 A 為非奇異矩陣。
• 一個矩陣非奇異當且僅當它的行列式不為零。
• 一個矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。
• 一個矩陣半正定當且僅當它的每個特征值大于或等于零。
• 一個矩陣正定當且僅當它的每個特征值都大于零。

[編輯]一般化和相關主題

線性代數是一個成功的理論，其方法已經被應用于數學的其他分支。

• 模論就是將線性代數中的標量的域用環替代進行研究。
• 多線性代數將映射的“多變量”問題線性化為每個不同變量的問題，從而產生了張量的概念。
• 在算子的光譜理論中，通過使用數學分析，可以控制無限維矩陣。

所有這些領域都有非常大的技術難點。

[編輯]注解

1. ↑ 對于有限生成的向量空間存在一個基是直接了當的，但是在完全一般性的情況下，它邏輯上等價于選擇公理。

[編輯]參見

• 線性代數相關條目
• 重要線性代數著作
• 數值線性代數

[編輯]引用

[編輯]外部鏈接

• MIT Linear Algebra Lectures: free videos from MIT OpenCourseWare
• Streaming MIT Linear Algebra Lectures at Google Video
• Linear Algebra Toolkit.
• Linear Algebra Workbench: multiply and invert matrices, solve systems, eigenvalues etc.
• Linear Algebra on MathWorld.
• Linear Algebra overview and notation summary on PlanetMath.
• Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Linear Algebra by Elmer G. Wiens. Interactive web pages for vectors, matrices, linear equations, etc.
• Linear Algebra Solved Problems: Interactive forums for discussion of linear algebra problems, from the lowest up to the hardest level (Putnam).
• Linear Algebra for Informatics. José Figueroa-O'Farrill, University of Edinburgh
• Linear Algebra by Jim Hefferon: A free textbook with exercises and a solutions guide written by a professor at Saint Michael\'s College.
• Online Notes / Linear Algebra Paul Dawkins, Lamar University
• Elementary Linear Algebra textbook with solutions