數(shù)學(xué)在計算機圖形學(xué)中的應(yīng)用 Greg Turk, August 1997 “學(xué)習計算機圖形學(xué)需要多少的數(shù)學(xué)？”這 是初學(xué)者最經(jīng)常問的問題。
答案取決于你想在計算機圖形學(xué)領(lǐng)域鉆研多深。如果僅僅使用周圍唾手可得的圖形軟件，你不需要知道多少數(shù)學(xué)知識。
如果想學(xué)習計算機 圖形學(xué)的入門知識，我建議你讀一讀下面所寫的前兩章（代數(shù)，三角學(xué)和線性代數(shù)）。
如果想成為一名圖形學(xué)的研究者，那么對數(shù)學(xué)的學(xué)習將是活到老，學(xué)到老。
如果你并不特別喜歡數(shù)學(xué)，是否仍有在計算機圖形學(xué)領(lǐng)域工作的機會？
是的，計算機圖形學(xué)的確有一些方面不需要考慮太多的數(shù)學(xué)問題。你不應(yīng)該因為數(shù)學(xué)成績不好而 放棄它。不過，如果學(xué)習了更多的數(shù)學(xué)知識，似乎你將在研究課題上有更多的選擇余地。
對于在計算機圖形學(xué)中哪些數(shù)學(xué)才是重要的還沒有明確的答案。這領(lǐng)域里不 同的方面要求掌握不同的數(shù)學(xué)知識，也許興趣將會決定了你的方向。
以下介紹我認為對于計算機圖形學(xué)有用的數(shù)學(xué)。
別以為想成為一名圖形學(xué)的研究者就必須精通各 門數(shù)學(xué)！為了對用于圖形學(xué)的數(shù)學(xué)有一個全面的看法，我特地列出了很多方面。但是許多研究者從不需要考慮下面提到的數(shù)學(xué)。最后，雖然讀了這篇文章后，你應(yīng)該會對數(shù)學(xué)在計算機圖形學(xué)中的應(yīng)用有所了解，不過這些觀點完全是我自己的。也許你應(yīng)該閱讀更多的此類文章，或者至少從其他從事計算機圖形學(xué)工作的人那里了解 不同的學(xué)習重點。
現(xiàn)在開始切入正題。代數(shù)和三角學(xué)對于計算機圖形學(xué)的初學(xué)者來說，高中的代數(shù)和三角學(xué)可能是最重要的數(shù)學(xué)。日復(fù)一日，我從簡單的方程解出一 個或更多的根。我時常還要解決類似求一些幾何圖形邊長的簡單三角學(xué)問題。代數(shù)和三角學(xué)是計算機圖形學(xué)的最基礎(chǔ)的知識。那么高中的幾何學(xué)怎么樣呢？可能讓人 驚訝，不過在多數(shù)計算機圖形學(xué)里，高中的幾何學(xué)并不經(jīng)常被用到。原因是許多學(xué)校教的幾何學(xué)實際上是如何建立數(shù)學(xué)證明的課程。雖然證明題對提高智力顯然是有 效的，但對于計算機圖形學(xué)來說，那些與幾何課有關(guān)的定理和證明并不常被用到。如果你畢業(yè)于數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域（包括計算機圖形學(xué)），就會發(fā)現(xiàn)雖然你在證明定理， 不過這對開始學(xué)習圖形學(xué)不是必要的。如果精通代數(shù)和三角學(xué)，就可以開始讀一本計算機圖形學(xué)的入門書了。
下一個重要的用于計算機圖形學(xué)的數(shù)學(xué)——線性代數(shù)，多數(shù)此類書籍至少包含了一個對線性代數(shù)的簡要介紹。推薦的參考書: Computer Graphics: Principles and Practice James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes Addison-Wesley [雖然厚重，可是我很喜歡] 線性代數(shù)線性代數(shù)的思想貫穿于計算機圖形學(xué)。事實上，只要牽涉到幾何數(shù)值表示法,就常常抽象出例如x,y,z坐 標之類的數(shù)值，我們稱之為矢量。圖形學(xué)自始至終離不開矢量和矩陣。用矢量和矩陣來描述旋轉(zhuǎn)，平移，或者縮放是再好不過了。高中和大學(xué)都有線性代數(shù)的課程。 只要想在計算機圖形學(xué)領(lǐng)域工作，就應(yīng)該打下堅實的線性代數(shù)基礎(chǔ)。我剛才提到，許多圖形學(xué)的書都有關(guān)于線性代數(shù)的簡要介紹——足夠教給你圖形學(xué)的第一門課。推薦的參考書: Linear Algebra and Its Applications Gilbert Strang Academic Press
微積分學(xué) 微 積分學(xué)是高級計算機圖形學(xué)的重要成分。如果打算研究圖形學(xué)，我強烈建議你應(yīng)該對微積分學(xué)有初步認識。理由不僅僅是微積分學(xué)是一種很有用的工具，還有許多研 究者用微積分學(xué)的術(shù)語來描述他們的問題和解決辦法。另外，在許多重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，微積分學(xué)被作為進一步學(xué)習的前提。學(xué)習了基本代數(shù)之后，微積分學(xué)又是一種 能為你打開多數(shù)計算機圖形學(xué)與后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習之門的課程。微積分學(xué)是我介紹的最后一個中學(xué)課程，以下提及的科目幾乎全部是大學(xué)的課程。
微分幾何學(xué)微分幾何學(xué)研究支配光滑曲線，曲面的方程組。如果你要計算出經(jīng)過某個遠離曲面的點并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就會用到微分幾何學(xué)。讓一輛汽車以特定速度在曲線上行駛也牽涉到微分幾何學(xué)。有一種通用的繪制光滑曲面的圖形學(xué)技術(shù)，叫做“凹凸帖圖”，這個技術(shù)用到了微分幾何學(xué)。如果要著手于用曲線和曲面來創(chuàng)造形體（在圖形學(xué)里稱之為建模）你至少應(yīng)該學(xué)習微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)。推薦的參考書: Elementary Differential Geometry Barrett O'Neill Academic Press
數(shù)值方法幾乎任何時候，我們在計算機里用近似值代替精確值來表示和操作數(shù)值，所以計算過程總是會有誤差。而且對于給定的數(shù)值問題，常常有多種解決的方法，一些方法會更塊，更精確或者對內(nèi)存的需求更少。數(shù)值方法研究的對象包括“計算方法”和“科學(xué)計算”等等。這是一個很廣闊的領(lǐng)域，而且我將提及的其他幾門數(shù)學(xué)其實是數(shù)值方法的一些分支。這些分支包括抽樣法理論，矩陣方程組，數(shù)值微分方程組和最優(yōu)化。推薦的參考書: Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery Cambridge University Press [這本參考書很有價值可是很少作為教材使用]
抽樣法理論和信號處理在計算機圖形學(xué)里我們反復(fù)使用儲存在正規(guī)二維數(shù)組里的數(shù)字集合來表示一些對象，例如圖片和曲面。這時，我們就要用抽樣法來表示這些對 象。如果要控制這些對象的品質(zhì)，抽樣法理論就變得尤為重要。抽樣法應(yīng)用于圖形學(xué)的常見例子是當物體被繪制在屏幕上時，它的輪廓呈現(xiàn)鋸齒狀的邊緣。這鋸齒狀 的邊緣（被認為是“混淆”現(xiàn)象）是非常讓人分散注意力的，用抽樣法中著名的技術(shù)例如回旋，傅立葉變換，空間和頻率的函數(shù)表示就能把這個現(xiàn)象減少到最小。這些思想在圖像和音頻處理領(lǐng)域是同樣重要的。推薦的參考書: The Fourier Transform and Its Applications Ronald N. Bracewell McGraw Hill
矩陣方程組計算機圖形學(xué)的許多問題要用到矩陣方程組的數(shù)值解法。一些涉及矩陣的問題包括：找出最好的位置與方向以使對象們互相匹配（最小二乘法），創(chuàng)建一個 覆蓋所給點集的曲面，并使皺折程度最小（薄板樣條算法），還有材質(zhì)模擬，例如水和衣服等。在圖形學(xué)里矩陣表述相當流行，因此在用于圖形學(xué)的數(shù)學(xué)中我對矩陣 方程組的評價是很高的。推薦的參考書: Matrix Computations Gene Golub and Charles Van Loan Johns Hopkins University Press
物理學(xué)物理學(xué)顯然不是數(shù)學(xué)的分支，它是自成一家的學(xué)科。但是在計算機圖形學(xué)的某些領(lǐng)域，物理學(xué)和數(shù)學(xué)是緊密聯(lián)系的。在圖形學(xué)里，牽涉物理學(xué)的問題包括光與物 體的表面是怎樣互相影響的，人與動物的移動方式，水與空氣的流動。為了模擬這些自然現(xiàn)象，物理學(xué)的知識是必不可少的。
這和解微分方程緊密聯(lián)系，我將會在下 一節(jié)提到微分方程。
微分方程的數(shù)值解法我相信對于計算機圖形學(xué)來說，解微分方程的技巧是非常重要的。像我們剛才討論的，計算機圖形學(xué)致力于模擬源于真實世界的物理系統(tǒng)。波浪是 怎樣在水里形成的，動物是怎樣在地面上行走的，這就是兩個模擬物理系統(tǒng)的例子。模擬物理系統(tǒng)的問題經(jīng)常就是怎樣解微分方程的數(shù)值解。請注意，微分方程的數(shù) 值解法與微分方程的符號解法是有很大差異的。符號解法求出沒有誤差的解，而且時常只用于一些非常簡單的方程。有時大學(xué)課程里的“微分方程”只 教符號解法，不過這并不會對多數(shù)計算機圖形學(xué)的問題有幫助。在對物理系統(tǒng)的模擬中，我們把世界細分為許多表示成矢量的小元素。然后這些元素之間的關(guān)系就可 以用矩陣來描述。雖然要處理的矩陣方程組往往沒有很精確的解，但是取而代之的是執(zhí)行了一系列的計算，這些計算產(chǎn)生一個表示成數(shù)列的近似解。這就是微分方程 的數(shù)值解法。請注意，矩陣方程的解法與微分方程數(shù)值解法的關(guān)系是很密切的。
最優(yōu)化在計算機圖形學(xué)里，我們常常為了期望的目標尋求一種合適的描述對象或者對象集的方法。例如安排燈的位置使得房間的照明看起來有種特殊的“感覺”，動畫里的人物要怎樣活動四肢才能實現(xiàn)一個特殊的動作，怎樣排版才不會使頁面混亂。以上這些例子可以歸結(jié)為最優(yōu)化問題。十年前的計算機圖形學(xué)幾乎沒有最優(yōu)化技術(shù)的文獻，不過最近這個領(lǐng)域越來越重視最優(yōu)化理論。我認為在計算機圖形學(xué)里，最優(yōu)化的重要性將會日益增加。
概率論與統(tǒng)計學(xué)計算機圖形學(xué)的許多領(lǐng)域都要用到概率論與統(tǒng)計學(xué)。當研究者涉足人類學(xué)科時，他們當然需要統(tǒng)計學(xué)來分析數(shù)據(jù)。圖形學(xué)相關(guān)領(lǐng)域涉及人類學(xué)科，例如虛擬現(xiàn)實和人機交互(HCI)。另外，許多用計算機描繪真實世界的問題牽涉到各種未知事件的概率。兩個例子：一棵成長期的樹,它的樹枝分杈的概率；虛擬的動物如何決定它的行走路線。最后，一些解高難度方程組的技巧用了隨機數(shù)來估計方程組的解。重要的例子：蒙特卡羅方法經(jīng)常用于光如何傳播的問題。以上僅是一部分在計算機圖形學(xué)里使用概率論和統(tǒng)計學(xué)的方法。 計算幾何學(xué)計算幾何學(xué)研究如何用計算機高效地表示與操作幾何體。典型問題如，碰撞檢測，把多邊形分解為三角形，找出最靠近某個位置的點，這個學(xué)科包括了運算法則，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)。圖形學(xué)的研究者，只要涉足創(chuàng)建形體（建模），就要大量用到計算幾何學(xué)。推薦的參考書: Computational Geometry in C Joseph O'Rourke Cambridge University Press [大學(xué)教材] Computational Geometry: An Introduction Franco Preparata and Michael Shamos Springer-Verlag [很經(jīng)典，不過有點舊了]
總 結(jié)：數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)理論對于圖形學(xué)來說，以上提到的許多數(shù)學(xué)學(xué)科都有個共同點：比起這些數(shù)學(xué)的理論價值，我們更傾向于發(fā)掘它們的應(yīng)用價值。不要驚訝。圖形 學(xué)的許多問題和物理學(xué)者與工程師們研究的問題是緊密聯(lián)系的，并且物理學(xué)者與工程師們使用的數(shù)學(xué)工具正是圖形學(xué)研究者們使用的。多數(shù)研究純數(shù)學(xué)理論的學(xué)科從 不被用于計算機圖形學(xué)。不過這不是絕對的。請注意這些特例：分子生物學(xué)正利用節(jié)理論來研究DNA分 子動力學(xué)，亞原子物理學(xué)用到了抽象群論。也許有一天，純數(shù)學(xué)理論也能推動計算機圖形學(xué)的發(fā)展，誰知道呢？有些看來重要的數(shù)學(xué)實際上在計算機圖形學(xué)里不常被 用到。可能拓撲學(xué)是此類數(shù)學(xué)中最有意思的。用一句話來形容拓撲學(xué)，它研究油炸圈餅與咖啡杯為什么在本質(zhì)上是相同的。答案是他們都是只有一個洞的曲面。我們 來討論一下拓撲學(xué)的思想。雖然曲面是計算機圖形學(xué)的重要成分，不過微分幾何學(xué)的課程已經(jīng)涵蓋了多數(shù)對圖形學(xué)有用的拓撲學(xué)知識。微分幾何學(xué)研究曲面的造型， 可是拓撲學(xué)研究曲面的相鄰關(guān)系。我覺得拓撲學(xué)對于圖形學(xué)來說幾乎沒用，這是由于拓撲學(xué)關(guān)心抽象的事物，而且拓撲學(xué)遠離了多數(shù)圖形學(xué)的核心——三維歐氏空間的概念。對于圖形學(xué)來說，拓撲學(xué)的形式（符號表示法）是表達思想的簡便方法，不過圖形學(xué)很少用到抽象拓撲學(xué)的實際工具。對圖形學(xué)來說，拓撲學(xué)像一個好看的花瓶，不過別指望它能立即帶給你回報。有人曾經(jīng)這么問我，計算機圖形學(xué)是否用到了抽象代數(shù)（群論，環(huán)，等等….）或者數(shù)論。我沒怎么遇到過。和拓撲學(xué)一樣，這些學(xué)科有很多美好的思想。可是很不幸，這些思想很少用于計算機圖形學(xué)。
posted on 2007-12-21 17:11
姚明 閱讀(1012)
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高等數(shù)學(xué)