2025年4月25日
本文主要闡述用兩種方法判斷給定兩個(gè)二元二次型是否相似，相似情況下的具體變換。
相似變換如果確定了，也利于判斷正定性，因?yàn)橄嗨贫涡偷恼ㄐ韵嗤?br />
基本定義
下述定義來自文獻(xiàn)[1] 12.1節(jié)，有所擴(kuò)展
變換求解 先來看運(yùn)用解方程的方法
再來看用矩陣的觀點(diǎn)方法，求解變換。這種方法更適合求解到對角型的變換
參考文獻(xiàn)
[1] 華羅庚文集數(shù)論卷2
[2] 高等代數(shù) 丘維聲
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2025-04-25 19:05 春秋十二月 閱讀(72) |
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2025年4月22日
【命題1】 所有群同態(tài)的原像個(gè)數(shù)相同，即為核的大小
下面看下這個(gè)結(jié)論在文獻(xiàn)[1]中3.2節(jié)的應(yīng)用
【命題2】所有元素階小于等于2 的群為交換群，且其階為2的整數(shù)冪
該結(jié)論在
https://zhuanlan.zhihu.com/p/644888274中的推論2.2證明中用到
【命題3】群中任一元的相對于正規(guī)子群的指數(shù)次冪屬于正規(guī)子群，2階正規(guī)子群必
屬于群的中心
【定理】模奇合數(shù)的既約乘法群，其中雅可比符號(hào)為1的元素構(gòu)成它的子群，其階為
既約乘法群群階的一半
參考文獻(xiàn)
[1] 橢圓曲線及其在密碼學(xué)中的應(yīng)用—導(dǎo)引 Andreas Enge
[2] 抽象代數(shù)I 趙春來 徐明曜
[3] 華羅庚文集數(shù)論卷2
[4] 組合數(shù)學(xué) 馮榮權(quán) 宋春偉
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2025-04-22 21:18 春秋十二月 閱讀(112) |
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2024年11月10日
符號(hào)含義
E 表示滿足橢圓曲線Weierstrass方程上的點(diǎn)群
K 代數(shù)閉域，用來限制Weierstrass方程的系數(shù)與E中的點(diǎn)
E(K) 定義在K上的點(diǎn)群E
E/K 定義在K上的橢圓曲線E
End(E) E上的自同態(tài)環(huán)
域擴(kuò)張分析
End(E)模與Z代數(shù)
極點(diǎn)首項(xiàng)系數(shù)
除子映射及同構(gòu)
同種映射同態(tài)性的解釋
Hasse定理之引理證明的補(bǔ)充
撓曲線及其個(gè)數(shù)
有限域上的橢圓曲線
一種確定型群階計(jì)算法
奇素域上的算法應(yīng)用
GF域上的群階計(jì)算
Schoof算法正確性根本
一種計(jì)算橢圓曲線群的階的確定型多項(xiàng)式時(shí)間算法，確定型是因?yàn)樗惴▋?nèi)部沒有隨機(jī)選擇/概率拋幣操作，多項(xiàng)式時(shí)間是因?yàn)橛?em>k的乘法與求逆總次數(shù)是O((logq)^6)
（
q為
k的大小，乘法與求逆相對加減運(yùn)算顯著耗時(shí)）。具體原理及流程詳見參考文獻(xiàn)[1]中5.2節(jié)。這里給出筆者的一些思考
1. Hasse定理（Frobenius自同態(tài)方程式）在扭點(diǎn)群上的限制亦成立，這決定了t模l的一個(gè)同余方程成立，且在模l的最小非負(fù)剩余系下解是唯一的
2. 孫子定理保證了某取值范圍內(nèi)的一個(gè)t模L（L為各素因子l的乘積）的唯一解，即由t模L各個(gè)素因子l的同余方程構(gòu)成的同余方程組的解是唯一的
3. L必須大于t取值上限的2倍。這是為了算法求得的解滿足上述2（否則在更小的L內(nèi)得到的解不唯一，因L與t上限或下限間的某數(shù)可以與t模L同余）
4. 素因子l的選擇排除2與橢圓曲線特征p。這是因?yàn)樗惴?gòu)造所依賴的一個(gè)引理之前提條件：為奇素?cái)?shù)保證l次除子多項(xiàng)式屬于k[X]，即引理論斷有意義；
不等于p保證檢測一個(gè)多項(xiàng)式f是否零多項(xiàng)式的充要條件成立，即可以用l次除子多項(xiàng)式去整除f來判斷。另l為素?cái)?shù)保證了與其它除子多項(xiàng)式（及其冪次）互素
另外發(fā)現(xiàn)了算法的一處瑕疵，即第4步預(yù)計(jì)算除子多項(xiàng)式與Frobenius自同態(tài)的復(fù)合少了兩個(gè)值，這導(dǎo)致第5步可能崩潰，當(dāng)依賴的后續(xù)兩個(gè)復(fù)合多項(xiàng)式?jīng)]被計(jì)算時(shí)。
這個(gè)糾正可通過修改第4步擴(kuò)大2個(gè)值，或第5步通過除子多項(xiàng)式的遞推公式按需計(jì)算
扭點(diǎn)的階計(jì)算正確性根本
在密碼學(xué)中的應(yīng)用
選取原則
1. 排除超奇異橢圓曲線。這是為避免MOV等約化攻擊，約化攻擊時(shí)間復(fù)雜度是亞指數(shù)
2. 有限域的選擇要使E(Fq)的群階足夠大。這是為了緩解Shanks及Pollard ρ攻擊
3. E(Fq)存在階為大素?cái)?shù)的子群。這是為了抵抗Pohlig-Hellman攻擊
對于第1點(diǎn)，就排除了char(K)=2或3且j(E)=0對應(yīng)的如下標(biāo)準(zhǔn)形式曲線
Y2+α3Y=X3+α4X+α6（α3≠0） 與 Y2=X3+α4X+α6
一種典型方案
橢圓曲線及有限域的選擇使得|E(Fq)|=cm，且char(Fq) ∤ q+1-cm。其中m是一個(gè)大素?cái)?shù)（通常不低于256位二進(jìn)制長度，提供中長期安全性），c小于m。
m階子群的生成元可通過以下方法確定：隨機(jī)選擇E上的一個(gè)有理點(diǎn)P，如果Q=cP為零元（即無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），則重復(fù)選擇，直到其不等于零元。
一旦找到了生成元，那么子群就可以構(gòu)造出來了。下面分析正確性
參考文獻(xiàn)
[1] 橢圓曲線及其在密碼學(xué)中的應(yīng)用—導(dǎo)引 Andreas Enge
[2] 算法數(shù)論 裴定一、祝躍飛
[3] The Arithmetic of Elliptic Curves Joseph H. Silverman
[4] 標(biāo)識(shí)密碼學(xué) 程朝輝
[5] 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域 林東岱
[6] 抽象代數(shù)I 趙春來 徐明曜
[7] 代數(shù)與數(shù)論 李超 周悅
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2024-11-10 21:45 春秋十二月 閱讀(286) |
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2024年9月7日
原本算法
摘抄參考文獻(xiàn)1中附錄的算法流程如下
例子測驗(yàn)
改正后的算法
改正之前，先理清原本算法判別不可約多項(xiàng)式所用的原理。其原理是若f(x)可約，當(dāng)且僅當(dāng)存在次數(shù)i<=d=[deg(f(x))/2]的不可約因子g(x)，而此時(shí)gcd(x
q^i-x, f(x))≠1。
根據(jù)
參考文獻(xiàn)2（詳見如下定理），x
q^i-x是所有i次不可約多項(xiàng)式的乘積，因此它必定包含g(x)而與f(x)存在公因子。不可約判別算法的思想應(yīng)該是遍歷次數(shù)1到d的所有不可約多項(xiàng)式
（沒必要檢測大于d的不可約多項(xiàng)式，因?yàn)槿鬴(x)可約則其分解因子中必定存在不大于d的不可約多項(xiàng)式），檢測輸入多項(xiàng)式與它們是否存在公因子。所以這個(gè)原理是正確的，只是實(shí)現(xiàn)不對，
略作改正如下（類c語言描述）
重新測驗(yàn)
參考文獻(xiàn)
[1] 算法數(shù)論 裴定一、祝躍飛
[2] 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域 林東岱
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2024-09-07 23:07 春秋十二月 閱讀(309) |
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2024年8月30日
通用算法
先摘抄參考文獻(xiàn)[1]中的算法流程如下
正確性分析
下面證明以上算法用到的事實(shí)結(jié)論，提煉為如下幾個(gè)引理
算法構(gòu)造思想
用到二次剩余知識(shí)，即一個(gè)待求平方元ɑ可以且只能表示為兩個(gè)平方因子的乘積，其中一因子為任意隨機(jī)選取的非平方因子β的偶數(shù)冪，
另一因子為葉子群H的一元素r，H作為陪集劃分根群（有限域乘法群）得到β生成的集合即商群G/H的一個(gè)代表元系。這樣一來，將開方轉(zhuǎn)化為β與r的乘方運(yùn)算，
迭代的過程就是為求那個(gè)具體的代表元β
e中的指數(shù)e（注意e必為偶數(shù)），從G
s-2到G
0=H，迭代結(jié)束后r被唯一確定，r的開方等于r的(t+1)/2次方（因?yàn)閠是H的階且為奇數(shù)，r
t+1=r）。
觀察算法流程，可以發(fā)現(xiàn)如果分解q-1后得到s=1，那么就沒必要選取非平方元β了（這時(shí)令β=1），直接跳到第6步得到結(jié)果。僅當(dāng)s≠1才隨機(jī)選取β。這樣改進(jìn)后可加快算法運(yùn)行
例子測驗(yàn)
特殊算法
當(dāng)q是素?cái)?shù)且q≡3(mod 4)時(shí)，存在更快的算法及測驗(yàn)如下
參考文獻(xiàn)
[1] 算法數(shù)論 裴定一、祝躍飛
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2024-08-30 22:22 春秋十二月 閱讀(431) |
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2024年8月15日
基本原理
再來看Terr算法用到的如下定理
定理 （基于
參考文獻(xiàn)1改正后的描述）
對每一正整數(shù)t，存在唯一確定的一組整數(shù)k和j，0<=k<j，使得t=Tj+1-k，其中T0=0，Tn=Tn-1+n-1，n>=1
如果t=0，那么j在區(qū)間[0,1)，故只能取0，此時(shí)k=0與條件k<j矛盾，若允許k=j，則不保證唯一，比如t=1 => j=1, k=0 或 j=2, k=2。
所以參考文獻(xiàn)1中原來定理的描述“對每一非負(fù)整數(shù)t”是錯(cuò)誤的。下面列舉一些實(shí)例驗(yàn)證j與k的唯一解
t=1 => j=1, k=0
t=2 => j=2, k=1
t=3 => j=2, k=0
t=4 => j=3, k=2
t=5 => j=3, k=1
t=6 => j=3, k=0
算法偽代碼
例子測驗(yàn)
參考文獻(xiàn)
[1] 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域 林東岱
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2024-08-15 22:35 春秋十二月 閱讀(703) |
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2024年6月29日
私鑰分組加密
上圖的證明中，r
(j)兩兩不同的概率計(jì)算是關(guān)鍵，下面給出詳細(xì)過程
另外兩個(gè)分布統(tǒng)計(jì)的不同意味著計(jì)算可分辨（反之則計(jì)算不可分辨），亦即r(j)至少兩個(gè)相同的概率。
Construction 5.3.9一次只能加密與密鑰等長的明文，如果要加密更長的明文，怎么辦？一個(gè)簡單直接
的方法是將明文分成多個(gè)大小為n的塊，對每個(gè)塊調(diào)用上述加密步驟，那么就得到形如下的密文塊序列
密文塊序列從
Proposition 5.3.10的證明中可知是計(jì)算不可分辨的，滿足
「多組消息安全性
」。但對于解密
需要存儲(chǔ)每一塊的隨機(jī)數(shù)，因此比較占空間，所以衍生出下面更高效的方案
Construction 5.3.12
私密通用加密
語義安全性分析
抗主動(dòng)攻擊安全性
以上兩種構(gòu)造因滿足
「多組消息安全性
」，故滿足
CPA與
CCA1，具體的證明可參考Oded Goldreich《密碼學(xué)基礎(chǔ)》的
Proposition 5.4.12、
Proposition 5.4.18。
但不滿足
CCA2，因?yàn)楣粽吣玫教魬?zhàn)密文后，可以修改它再發(fā)出解密質(zhì)疑，得到回答的明文從而異或求解
fk(
ri)，最后與挑戰(zhàn)密文異或求解挑戰(zhàn)明文
對于通用加密構(gòu)造的CCA2攻擊細(xì)節(jié)如下
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2024-06-29 17:00 春秋十二月 閱讀(633) |
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2024年5月16日
定義
Berlekamp分解算法
AES有限域
不可約性證明
非本原性驗(yàn)證
找出本原元
不可約多項(xiàng)式個(gè)數(shù)
線性移位寄存器m序列
根據(jù)參考文獻(xiàn)1知線生移位寄存器產(chǎn)生m序列的充要條件是特征多項(xiàng)式f(x)為本原多項(xiàng)式。而確立有限域上的本原多項(xiàng)式，主要有兩種方法：
一種方法是根據(jù)
Fq上所有次數(shù)為n的本原多項(xiàng)式的乘積正好等于割圓多項(xiàng)式Q
e，其中e=q
n-1，從而所有次數(shù)為n的本原多項(xiàng)式可以通過分解Q
e得到。
另一種方法是通過構(gòu)造本原元再求本原元的極小多項(xiàng)式，先素因子分解q
n-1=p
1p
2...p
k，如果對每一p
i都有ord(
αi)=p
i，那么
α=
α1α2...
αk的階就是q
n-1，
因此是
Fq上的本原元，則f(x)=(x-
α)(x-
α2)...(x-
αr)，r=q
n-1（因?yàn)?span style="color: #4b4b4b; font-family: Verdana, Geneva, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; background-color: #ffffff;">α是本原元，所以n是使
αq^n=
α成立的最小正整數(shù)）。
求解本原多項(xiàng)式
假設(shè)線性移位寄存器的級(jí)數(shù)為4，這里使用上述二種方法求
F16上的本原多項(xiàng)式，過程如下
分解割圓多項(xiàng)式法 
構(gòu)造極小多項(xiàng)式法 
本原多項(xiàng)式個(gè)數(shù)
m序列示例
參考文獻(xiàn)
[1] 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域 林東岱
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2024-05-16 13:41 春秋十二月 閱讀(907) |
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2024年4月4日
【適用前提】大整數(shù)N=pq的素因子p<q<2p，解密指數(shù)d<(1/3)N
1/4
【攻擊方法】 1）用歐幾里得算法計(jì)算e/N的各個(gè)漸近分?jǐn)?shù)k
i/d
i，i>=1，直至d
i>=(1/3)N
1/4，記錄此時(shí)的i為m。令i=1
2）計(jì)算T=(e*d
i-1)/k
i，若T不為整數(shù)則轉(zhuǎn)到4），否則轉(zhuǎn)到3）
3）解方程f(x)=x
2-(N-T+1)x+N=0的根，如果有正整數(shù)根且兩個(gè)根皆小于N，則輸出p、q，并返回成功。否則轉(zhuǎn)到4）
4）遞增i，若i<m則轉(zhuǎn)回2），否則返回失敗
該方法即
Wiener算法用到了關(guān)于連分?jǐn)?shù)的一個(gè)
定理：若α為任一實(shí)數(shù)，有理數(shù)p/q適合|α-(p/q)|<1/(2q2)，則p/q必為α的某一漸近分?jǐn)?shù)。證明詳見參考文獻(xiàn)[2]。
由定理可知攻擊方法是可行的，必能找到使f(x)=0有合理解的某漸近分?jǐn)?shù)。下面證明：攻擊迭代次數(shù)的上界為
【證明】
【例子】N = 9449868410449，e = 6792605526025，d<(1/3)N
1/4≈584，試分解N
參考文獻(xiàn)
[1] 公鑰密碼學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 王小云、王明強(qiáng)、孟憲萌
[2] 算法數(shù)論 裴定一、祝躍飛
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2024-04-04 18:19 春秋十二月 閱讀(635) |
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