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            隨筆-157  評論-223  文章-30  trackbacks-0
            符號含義 
                E            表示滿足橢圓曲線Weierstrass方程上的點(diǎn)群
                K            代數(shù)閉域,用來限制Weierstrass方程的系數(shù)與E中的點(diǎn)
                E(K)        定義在K上的點(diǎn)群E
                E/K         定義在K上的橢圓曲線E
                End(E)    E上的自同態(tài)環(huán)


            域擴(kuò)張分析 
              

            End(E)模與Z代數(shù) 
              

            極點(diǎn)首項(xiàng)系數(shù) 
              
              

            除子映射及同構(gòu)
              
              

            同種映射同態(tài)性的解釋 
              
              
              

            Hasse定理之引理證明的補(bǔ)充  
              

            撓曲線及其個數(shù)   
              

            有限域上的橢圓曲線  
              一種確定型群階計(jì)算法 
                
             
              奇素域上的算法應(yīng)用 
                
               

             GF域上的群階計(jì)算  
               
               

            Schoof算法正確性根本   
                一種計(jì)算橢圓曲線群的階的確定型多項(xiàng)式時間算法,確定型是因?yàn)樗惴▋?nèi)部沒有隨機(jī)選擇/概率拋幣操作,多項(xiàng)式時間是因?yàn)橛?em>k的乘法與求逆總次數(shù)是O((logq)^6)
            qk的大小,乘法與求逆相對加減運(yùn)算顯著耗時)。具體原理及流程詳見參考文獻(xiàn)[1]中5.2節(jié)。這里給出筆者的一些思考
            ​     1. Hasse定理(Frobenius自同態(tài)方程式)在扭點(diǎn)群上的限制亦成立,這決定了tl的一個同余方程成立,且在模l的最小非負(fù)剩余系下解是唯一的
            ​     2. 孫子定理保證了某取值范圍內(nèi)的一個tLL為各素因子l的乘積)的唯一解,即由tL各個素因子l的同余方程構(gòu)成的同余方程組的解是唯一的
            ​     3. L必須大于t取值上限的2倍。這是為了算法求得的解滿足上述2(否則在更小的L內(nèi)得到的解不唯一,因Lt上限或下限間的某數(shù)可以與tL同余)
            ​     4. 素因子l的選擇排除2與橢圓曲線特征p。這是因?yàn)樗惴?gòu)造所依賴的一個引理之前提條件:為奇素?cái)?shù)保證l次除子多項(xiàng)式屬于k[X],即引理論斷有意義;
                   不等于p保證檢測一個多項(xiàng)式f是否零多項(xiàng)式的充要條件成立,即可以用l次除子多項(xiàng)式去整除f來判斷。另l為素?cái)?shù)保證了與其它除子多項(xiàng)式(及其冪次)互素
                 另外發(fā)現(xiàn)了算法的一處瑕疵,即第4步預(yù)計(jì)算除子多項(xiàng)式與Frobenius自同態(tài)的復(fù)合少了兩個值,這導(dǎo)致第5步可能崩潰,當(dāng)依賴的后續(xù)兩個復(fù)合多項(xiàng)式?jīng)]被計(jì)算時。
              這個糾正可通過修改第4步擴(kuò)大2個值,或第5步通過除子多項(xiàng)式的遞推公式按需計(jì)算

            扭點(diǎn)的階計(jì)算正確性根本  
                

            在密碼學(xué)中的應(yīng)用  
                選取原則  
                    1. 排除超奇異橢圓曲線。這是為避免MOV等約化攻擊,約化攻擊時間復(fù)雜度是亞指數(shù)
                    2. 有限域的選擇要使E(Fq)的群階足夠大。這是為了緩解ShanksPollard ρ攻擊
                    3. E(Fq)存在階為大素?cái)?shù)的子群。這是為了抵抗Pohlig-Hellman攻擊
                  對于第1點(diǎn),就排除了char(K)=2或3且j(E)=0對應(yīng)的如下標(biāo)準(zhǔn)形式曲線
                       Y23Y=X34X+α6(α3≠0) 與  Y2=X34X+α6 
                 
                 一種典型方案 
                       橢圓曲線及有限域的選擇使得|E(Fq)|=cm,且char(Fq) ∤ q+1-cm。其中m是一個大素?cái)?shù)(通常不低于256位二進(jìn)制長度,提供中長期安全性),c小于m
                     m階子群的生成元可通過以下方法確定:隨機(jī)選擇E上的一個有理點(diǎn)P,如果Q=cP為零元(即無窮遠(yuǎn)點(diǎn)),則重復(fù)選擇,直到其不等于零元。
                     一旦找到了生成元,那么子群就可以構(gòu)造出來了。下面分析正確性  
                      


            參考文獻(xiàn)
              [1] 橢圓曲線及其在密碼學(xué)中的應(yīng)用—導(dǎo)引      Andreas Enge
              [2] 算法數(shù)論                                           裴定一、祝躍飛 
              [3] The Arithmetic of Elliptic Curves        Joseph H. Silverman
              [4] 標(biāo)識密碼學(xué)                                        程朝輝
              [5] 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域                             林東岱
              [6] 抽象代數(shù)I                                          趙春來 徐明曜
              [7] 代數(shù)與數(shù)論                                        李超   周悅
            posted on 2024-11-10 21:45 春秋十二月 閱讀(282) 評論(0)  編輯 收藏 引用 所屬分類: Algorithm
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