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在前面的章節(jié)中，我提到過節(jié)點矢量有兩種類型：open和periodic。還分為均勻的和非均勻的。我將對此進和詳細講解，并推出它們所表示的基函數(shù)。我只給出k次基函數(shù)，當然你也可以根據(jù)需要推導(dǎo)出低次基函數(shù)。本節(jié)中的每張圖片都是由本章程序所產(chǎn)生的。在本章的結(jié)尾，我將會對顯示任意次數(shù)的基函數(shù)進行解釋。

Open節(jié)點矢量推導(dǎo)出的基函數(shù)跟上節(jié)中的基函數(shù)很像，所以就以此開始吧。

準均勻節(jié)點矢量 Open Knot Vectors

準均勻節(jié)點矢量的節(jié)點序列中兩端節(jié)點具有重復(fù)度k，剩余的其它節(jié)點序列可以是均勻也可以是非均勻的。舉例如下：

k = 3 [X] = [0 0 0 1 2 3 3 3] (uniform)

k = 4 [X] = [0 0 0 0 1 1 1 1] (uniform)

k = 3 [X] = [0 0 0 1 1 2 2 2] (nonuniform)

k = 2 [X] = [0 0 1 2 3 3 3 4 5 6 6] (nonuniform)

節(jié)點矢量端部的重復(fù)值是為確保曲線上的首未兩點與第一個和最后一個控制頂點對應(yīng)。他們的作用就是把曲線的端部拉到控制多邊形的端部。這是由于重復(fù)的節(jié)點矢量值可以把曲線的首未點值限制。也可確保端部的斜率等于控制多邊形首未側(cè)的斜率。這樣以來，端部條件和Bezier曲線一樣，就便于曲線的拼接。

在上一節(jié)點，我說過Bezier曲線就是B樣條曲線的節(jié)點矢量為準均勻時的特例。你若要通過四個控制頂點，并且節(jié)點矢量的端部條件由準均勻節(jié)點矢量確定來定義一個三次B樣條曲線，其實這就是Bezier曲線。B樣條曲線的優(yōu)勢在于你可用多個控制頂點并且保證端部條件，還可以設(shè)置曲線的次數(shù)。如有10個控制頂點的Bezier曲線將會推導(dǎo)出一個9次曲線。相應(yīng)的B樣條曲線的節(jié)點矢量為：[X] = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]。有10個控制頂點和B樣條曲線若用如下的節(jié)點矢量可能會推導(dǎo)出一個三次曲線。[X] = [0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6]

有幾個優(yōu)點：你可以控制曲線的次數(shù)；也有更多的局部修改功能。圖4.8所示為k=10的Bezier曲線和k=4的B樣條曲線。觀察一下局部修改的能力：

選擇使用準均勻節(jié)點矢量的主要原因是可以把曲線的端點限制在控制多邊形的端點上。這在曲線拼接時特別有用，但是這也是把雙刃劍。圖4.9所示為繪制圖4.8的B樣條曲線的基函數(shù)的圖形。如圖所示，每個基函數(shù)有點不同。

周期性節(jié)點矢量 Periodic Knot Vectors

在第二章的“三角函數(shù)”中，我引入了周期函數(shù)，像正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。這些函數(shù)是周期性因為每個周期的波形都可以認為是相同的波形在重復(fù)。若可以由節(jié)點矢量推導(dǎo)出周期性的基函數(shù)，則節(jié)點矢量也是周期性的。如下為均勻周期節(jié)點矢量（k=4, N=10）可推出周期性的基函數(shù)如圖4.10所示。

[X] = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14]

周期性的節(jié)點矢量也不一定是均勻的。如圖4.11所示為由非均勻節(jié)點矢量（k=4, N=10）推導(dǎo)出的周期性基函數(shù)。盡管在圖4.11中可能很難看出，每個基函數(shù)都是一樣的，只是偏移了，只能看到它的部分。