在這個(gè)教程里我們將模擬一段繩索，我們是在39課的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。

在物理模擬中，我們必須設(shè)置各個(gè)物理量，就像它們?cè)谧匀唤缰械男袨橐粯印ＤM中的運(yùn)動(dòng)并不一定和自然界相同，我們使用的運(yùn)動(dòng)模型，必須和我們需要模擬的目的有關(guān)，目的決定了它的精確度。要知道我們的目標(biāo)不是模擬原子和分子，也不是模擬成千上萬(wàn)的粒子系。首先我們需要確定我們模擬的目標(biāo)，才能創(chuàng)建我們的物理模型。它和下面內(nèi)容相關(guān)：

1. 運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表示
2. 執(zhí)行模擬的計(jì)算機(jī)的速度

1. 運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表示:

這個(gè)問(wèn)題決定了我們使用何種數(shù)學(xué)方程來(lái)模擬運(yùn)動(dòng)，使用經(jīng)典力學(xué)還是量子力學(xué)。

2. 執(zhí)行模擬的計(jì)算機(jī)的速度:

計(jì)算機(jī)的速度決定了我們可以模擬的精度。

設(shè)計(jì)繩索的物理模型:

我們?cè)诮?jīng)典力學(xué)和高于500Mhz的計(jì)算機(jī)上模擬這個(gè)問(wèn)題。首先我們需要設(shè)定需要的精度，我們使用一系列互相用彈簧連接的質(zhì)點(diǎn)來(lái)模擬繩索，精度決定了我們用多少個(gè)點(diǎn)來(lái)模擬，當(dāng)然越多越精確。在下面我決定用50或100個(gè)點(diǎn)來(lái)模擬繩子一段3或4m長(zhǎng)的繩子，換句話說(shuō)，我們的模擬精度就是3到8厘米。

設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)模型:

在繩子中，施加給各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力來(lái)自于自身的質(zhì)量和相連的內(nèi)力（參見(jiàn)大學(xué)里的普通力學(xué)）。如下我們用"O"表示質(zhì)點(diǎn)，“—”表示連接質(zhì)點(diǎn)的彈簧。
O----O----O----O
1 2 3 4

彈簧的力學(xué)公式如下:

力 = -k * x
k: 彈性系數(shù)
x: 相距平衡位置的位移

上面的公式說(shuō)明，如果相鄰點(diǎn)的距離為平衡距離，那么它們不受到任何力的作用。如果我們?cè)O(shè)置平衡位置為5cm，那么100個(gè)點(diǎn)的繩子長(zhǎng)5m。如果相連質(zhì)點(diǎn)之間的位置小于5cm，它們受到排斥力。

上面的公式只是一個(gè)基礎(chǔ)，現(xiàn)在我們可以加上摩擦力，如果沒(méi)有這項(xiàng)，那么繩子將永遠(yuǎn)動(dòng)下去。

彈簧類:

這個(gè)類包含相連接的兩個(gè)物體，它們之間具有作用力。



class Spring
{
public:
Mass* mass1; // 質(zhì)點(diǎn)1
Mass* mass2; // 質(zhì)點(diǎn)2

float springConstant; // 彈性系數(shù)
float springLength; //彈簧長(zhǎng)度
float frictionConstant; //摩擦系數(shù)

Spring(Mass* mass1, Mass* mass2,
// 構(gòu)造函數(shù)
float springConstant, float springLength, float frictionConstant)
{
this->springConstant = springConstant;
this->springLength = springLength;
this->frictionConstant = frictionConstant;

this->mass1 = mass1;
this->mass2 = mass2;
}

void solve() // 計(jì)算各個(gè)物體的受力
{
Vector3D springVector = mass1->pos - mass2->pos;

float r = springVector.length(); // 計(jì)算兩個(gè)物體之間的距離

Vector3D force;

if (r != 0) // 計(jì)算力
force += -(springVector / r) * (r - springLength) * springConstant;
...

force += -(mass1->vel - mass2->vel) * frictionConstant; // 加上摩擦力
mass1->applyForce(force); // 給物體1施加力
mass2->applyForce(-force); // 給物體2施加力
}

下面我們把繩子釘在墻上，所以我們的模擬就多了一個(gè)萬(wàn)有引力，空氣摩擦力。萬(wàn)有引力的公式如下：

力 = (重力加速度) * 質(zhì)量

萬(wàn)有引力會(huì)作用在每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，地面也會(huì)給每個(gè)物體一個(gè)作用力。在我們的模型中將考慮繩子和地面之間的接觸，地面給繩子向上的力，并提供摩擦力。

設(shè)置模擬的初始值

現(xiàn)在我們已經(jīng)設(shè)置好模擬環(huán)境了，長(zhǎng)度單位是m，時(shí)間單位是秒，質(zhì)量單位是kg。

為了設(shè)置初始值，我們必須提供供模擬開(kāi)始的參數(shù)。我們定義一下參數(shù)：

1. 重力加速度: 9.81 m/s/s 垂直向下
2. 質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù): 80
3. 相連質(zhì)點(diǎn)的距離: 5 cm (0.05 meters)
4. 質(zhì)量: 50 克(0.05 kg)
5. 繩子開(kāi)始處于垂直狀態(tài)

下面計(jì)算繩子受到的力

f = (繩子質(zhì)量) * (重力加速度) = (4 kg) * (9.81) ~= 40 N

彈簧必須平衡這個(gè)力 40 N，它伸長(zhǎng)1cm，計(jì)算彈性系數(shù):

合力= -k * x = -k * 0.01 m

合力應(yīng)該為0 :

40 N + (-k * 0.01 meters) = 0

彈性系數(shù) k 為:

k = 4000 N / m

設(shè)置彈簧的摩擦系數(shù):

springFrictionConstant = 0.2 N/(m/s)

下面我們看看這個(gè)繩索類：

1. virtual void init() ---> 重置力

2. virtual void solve() ---> 計(jì)算各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力

3. virtual void simulate(float dt) ---> 模擬一次

4. virtual void operate(float dt) ---> 執(zhí)行一次操作

繩索類如下所示 :


class RopeSimulation : public Simulation //繩索類
{
public:
Spring** springs; // 彈簧類結(jié)構(gòu)的數(shù)組的指針

Vector3D gravitation; // 萬(wàn)有引力

Vector3D ropeConnectionPos; // 繩索的連接點(diǎn)

Vector3D ropeConnectionVel; //連接點(diǎn)的速度，我們使用這個(gè)移動(dòng)繩子

float groundRepulsionConstant; //地面的反作用力

float groundFrictionConstant; //地面的摩擦系數(shù)

float groundAbsorptionConstant; //地面的緩沖力

float groundHeight; //地面高度

float airFrictionConstant; //空氣的摩擦系數(shù)

下面是它的構(gòu)造函數(shù)


RopeSimulation(
int numOfMasses,
float m,
float springConstant,
float springLength,
float springFrictionConstant,
Vector3D gravitation,
float airFrictionConstant,
float groundRepulsionConstant,
float groundFrictionConstant,
float groundAbsorptionConstant,
float groundHeight
) : Simulation(numOfMasses, m)
{
this->gravitation = gravitation;

this->airFrictionConstant = airFrictionConstant;

this->groundFrictionConstant = groundFrictionConstant;
this->groundRepulsionConstant = groundRepulsionConstant;
this->groundAbsorptionConstant = groundAbsorptionConstant;
this->groundHeight = groundHeight;

for (int a = 0; a < numOfMasses; ++a) // 設(shè)置質(zhì)點(diǎn)位置
{
masses[a]->pos.x = a * springLength;
masses[a]->pos.y = 0;
masses[a]->pos.z = 0;
}

springs = new Spring*[numOfMasses - 1];

for (a = 0; a < numOfMasses - 1; ++a) //創(chuàng)建各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的模擬彈簧
{
springs[a] = new Spring(masses[a], masses[a + 1],
springConstant, springLength, springFrictionConstant);
}
}


計(jì)算施加給各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力


void solve() // 計(jì)算施加給各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力
{
for (int a = 0; a < numOfMasses - 1; ++a) // 彈簧施加給各個(gè)物體的力
{
springs[a]->solve();
}

for (a = 0; a < numOfMasses; ++a) // 計(jì)算各個(gè)物體受到的其它的力
{
masses[a]->applyForce(gravitation * masses[a]->m); // 萬(wàn)有引力
// 空氣的摩擦力
masses[a]->applyForce(-masses[a]->vel * airFrictionConstant);

if (masses[a]->pos.y < groundHeight) // 計(jì)算地面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用
{
Vector3D v;

v = masses[a]->vel; // 返回速度
v.y = 0; // y方向的速度為0

// 計(jì)算地面給質(zhì)點(diǎn)的力
masses[a]->applyForce(-v * groundFrictionConstant);

v = masses[a]->vel;
v.x = 0;
v.z = 0;

if (v.y < 0) // 計(jì)算地面的緩沖力

masses[a]->applyForce(-v * groundAbsorptionConstant);

// 計(jì)算地面的反作用力
Vector3D force = Vector3D(0, groundRepulsionConstant, 0) *
(groundHeight - masses[a]->pos.y);

masses[a]->applyForce(force); // 施加地面對(duì)質(zhì)點(diǎn)的力
}
}
}


下面的代碼完成整個(gè)模擬過(guò)程


void simulate(float dt) // 模擬一次
{
Simulation::simulate(dt); // 調(diào)用基類的模擬函數(shù)

ropeConnectionPos += ropeConnectionVel * dt; // 計(jì)算繩子的連接點(diǎn)

if (ropeConnectionPos.y < groundHeight)
{
ropeConnectionPos.y = groundHeight;
ropeConnectionVel.y = 0;
}

masses[0]->pos = ropeConnectionPos; // 更新繩子的連接點(diǎn)和速度
masses[0]->vel = ropeConnectionVel;
}

void setRopeConnectionVel(Vector3D ropeConnectionVel)
{
this->ropeConnectionVel = ropeConnectionVel;
}


有了上面的類，我們可以很方便的模擬繩子，代碼如下：


RopeSimulation* ropeSimulation =
new RopeSimulation(
80, // 80 質(zhì)點(diǎn)
0.05f, // 每個(gè)質(zhì)點(diǎn)50g
10000.0f, // 彈性系數(shù)
0.05f, // 質(zhì)點(diǎn)之間的距離
0.2f, // 彈簧的內(nèi)摩擦力
Vector3D(0, -9.81f, 0), // 萬(wàn)有引力
0.02f, // 空氣摩擦力
100.0f, // 地面反作用系數(shù)
0.2f, // 地面摩擦系數(shù)
2.0f, // 地面緩沖系數(shù)
-1.5f); // 地面高度


下面的代碼在程序中執(zhí)行繩子的模擬


float dt = milliseconds / 1000.0f; // 經(jīng)過(guò)的秒數(shù)

float maxPossible_dt = 0.002f; // 模擬間隔

int numOfIterations = (int)(dt / maxPossible_dt) + 1; // 模擬次數(shù)
if (numOfIterations != 0)
dt = dt / numOfIterations;

for (int a = 0; a < numOfIterations; ++a) // 執(zhí)行模擬
ropeSimulation->operate(dt);


　

我相信這一個(gè)教會(huì)了你很多，從最開(kāi)始的模型的建立，到完成最后的代碼。有了這個(gè)基礎(chǔ)，相信你會(huì)創(chuàng)造出很多更有意思的代碼！