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模板
    1. 空基類優(yōu)化
    2. 元編程技術
        2.1. 選擇API
        2.2. 計算最值
        2.3. 類型選擇
    3. 封裝GCC原子操作
    4. 定制類對象的內(nèi)存管理

算法
    1. 排序
        1.1. 改進的快速排序
        1.2. 原位統(tǒng)計排序
    2. 多叉樹
        2.1. 深度優(yōu)先存儲
        2.2. 迭代器的設計
        2.3. 前序遍歷
        2.4. 后序遍歷
        2.5. 兄弟遍歷
        2.6. 葉子遍歷
        2.7. 深度遍歷
    3. 優(yōu)先級隊列
        3.1. 原理
        3.2. 內(nèi)幕
        3.3. 外觀
    4. RSA加解密的證明
    5. DSA數(shù)字簽名的推導
    6. 基于中國剩余定理優(yōu)化RSA解密推論的證明
    7. 總結AES加密涉及的數(shù)學定理
    8. 為什么素檢測存在概率多項式時間算法
    9. Blum數(shù)的基本定理及應用
    10. 論證有限域上平方根的求解

GUI
    1. MFC中的WM_COMMAND傳遞
    2. ATL和WTL中的消息反射
    3. 工作線程與消息循環(huán)
    4. 多窗口的組合與分離
        4.1. 接口
        4.2. 實現(xiàn)

跨平臺
    1. 用戶態(tài)自旋鎖
    2. 互斥鎖
    3. 信號量
    4. socket管道
    5. 鎖框架的設計與實現(xiàn)

網(wǎng)絡
    1. 運用狀態(tài)機異步接收變長包
    2. 基于OpenSSL實現(xiàn)的安全連接
    3. TCP/IP FAQ
        3.1. 鏈路層、網(wǎng)絡層和傳輸層
        3.2. 插口層和應用層
    4. Linux套接字與虛擬文件系統(tǒng)
        4.1. 初始化和創(chuàng)建
        4.2. 操作和銷毀
    5. Linux ICMP消息的產(chǎn)生與轉換
    6. nginx iocp
        6.1. tcp異步連接
        6.2. udp異步接收
        6.3. scm服務控制
    7. TCP分組丟失時的狀態(tài)變遷
    8. 基于ENet實現(xiàn)可靠UDP通信的同步模型

Shell應用
    1. 自動生成并安裝服務腳本
    2. nginx升級與恢復
    3. 使用awk定位反匯編輸出
    4. 自動化批量編譯

posted @ 2014-04-10 16:04 春秋十二月閱讀(1861) | 評論 (0) | 編輯收藏

2025年6月20日

一個歐拉數(shù)整除問題的兩種證法

參考文獻

[1] 代數(shù)學基礎與有限域林東岱

[2] 抽象代數(shù) 趙春來徐明曜

posted @ 2025-06-20 18:41 春秋十二月閱讀(79) | 評論 (0) | 編輯收藏

2025年6月5日

有限域上的特征與指數(shù)和之擴展

符號含義

關于特征的結論

關于指數(shù)和的結論

參考文獻

[1] 代數(shù)學基礎與有限域林東岱

[2] 代數(shù)與數(shù)論李超周悅

[3] 關于群的一些結論及應用本人

posted @ 2025-06-05 09:30 春秋十二月閱讀(121) | 評論 (0) | 編輯收藏

2025年4月25日

二元二次型的相似變換、正定性與正交分解

本文主要闡述用兩種方法判斷給定兩個二元二次型是否相似，相似情況下的具體變換。
相似變換如果確定了，也利于判斷正定性，因為相似二次型的正定性相同。最后講到了正交分解，
給出怎么求相似的整數(shù)對角矩陣

基本定義

下述定義來自文獻[1] 12.1節(jié)，有所擴展

變換求解

先來看運用解方程的方法

再來看用矩陣的觀點方法，求解變換。這種方法更適合求解到對角型的變換

正交分解

參考文獻

[1] 華羅庚文集數(shù)論卷2

[2] 高等代數(shù) 丘維聲

posted @ 2025-04-25 19:05 春秋十二月閱讀(271) | 評論 (0) | 編輯收藏

2025年4月22日

關于群的一些結論及應用

【命題1】所有群同態(tài)的原像個數(shù)相同，即為核的大小

下面看下這個結論在文獻[1]中3.2節(jié)的應用

【命題2】所有元素階小于等于2 的群為交換群，且其階為2的整數(shù)冪

該結論在https://zhuanlan.zhihu.com/p/644888274中的推論2.2證明中用到

【命題3】群中任一元的相對于正規(guī)子群的指數(shù)次冪屬于正規(guī)子群，2階正規(guī)子群必

屬于群的中心

【定理1】模奇合數(shù)的既約乘法群，其中雅可比符號為1的元素構成它的子群，其階為

既約乘法群群階的一半

【定理2】設G是群，H、K是有限子群，則HK的大小等于H的階與K的階乘積除以H與K交群的階

參考文獻

[1] 橢圓曲線及其在密碼學中的應用—導引 Andreas Enge

[2] 抽象代數(shù)I 趙春來徐明曜
[3] 華羅庚文集數(shù)論卷2

[4] 組合數(shù)學馮榮權宋春偉

posted @ 2025-04-22 21:18 春秋十二月閱讀(267) | 評論 (0) | 編輯收藏

2024年12月23日

不定方程的代數(shù)數(shù)論解法

符號含義與適用前提

二次域的基本結論

x²-dy²=±1

x² + d = y³

x² + y² = n

參考文獻
[1] 代數(shù)與數(shù)論李超周悅

posted @ 2024-12-23 11:33 春秋十二月閱讀(344) | 評論 (0) | 編輯收藏

2024年11月10日

關于橢圓曲線的驗證計算

符號含義

E 表示滿足橢圓曲線Weierstrass方程上的點群

K 代數(shù)閉域，用來限制Weierstrass方程的系數(shù)與E中的點

E(K) 定義在K上的點群E

E/K 定義在K上的橢圓曲線E

End(E) E上的自同態(tài)環(huán)

域擴張分析

End(E)模與Z代數(shù)

極點首項系數(shù)

除子映射及同構

同種映射同態(tài)性的解釋

Hasse定理之引理證明的補充

撓曲線及其個數(shù)

有限域上的橢圓曲線

一種確定型群階計算法

奇素域上的算法應用

GF域上的群階計算

Schoof算法正確性根本

一種計算橢圓曲線群的階的確定型多項式時間算法，確定型是因為算法內(nèi)部沒有隨機選擇/概率拋幣操作，多項式時間是因為域k的乘法與求逆總次數(shù)是O((logq)^6)
（q為k的大小，乘法與求逆相對加減運算顯著耗時）。具體原理及流程詳見參考文獻[1]中5.2節(jié)。這里給出筆者的一些思考

1. Hasse定理（Frobenius自同態(tài)方程式）在扭點群上的限制亦成立，這決定了t模l的一個同余方程成立，且在模l的最小非負剩余系下解是唯一的

2. 孫子定理保證了某取值范圍內(nèi)的一個t模L（L為各素因子l的乘積）的唯一解，即由t模L各個素因子l的同余方程構成的同余方程組的解是唯一的

3. L必須大于t取值上限的2倍。這是為了算法求得的解滿足上述2（否則在更小的L內(nèi)得到的解不唯一，因L與t上限或下限間的某數(shù)可以與t模L同余）

4. 素因子l的選擇排除2與橢圓曲線特征p。這是因為算法構造所依賴的一個引理之前提條件：為奇素數(shù)保證l次除子多項式屬于k[X]，即引理論斷有意義；
不等于p保證檢測一個多項式f是否零多項式的充要條件成立，即可以用l次除子多項式去整除f來判斷。另l為素數(shù)保證了與其它除子多項式（及其冪次）互素
另外發(fā)現(xiàn)了算法的一處瑕疵，即第4步預計算除子多項式與Frobenius自同態(tài)的復合少了兩個值，這導致第5步可能崩潰，當依賴的后續(xù)兩個復合多項式?jīng)]被計算時。
這個糾正可通過修改第4步擴大2個值，或第5步通過除子多項式的遞推公式按需計算

扭點的階計算正確性根本

在密碼學中的應用

選取原則

1. 排除超奇異橢圓曲線。這是為避免MOV等約化攻擊，約化攻擊時間復雜度是亞指數(shù)

2. 有限域的選擇要使E(F_q)的群階足夠大。這是為了緩解Shanks及Pollard ρ攻擊

3. E(F_q)存在階為大素數(shù)的子群。這是為了抵抗Pohlig-Hellman攻擊

對于第1點，就排除了char(K)=2或3且j(E)=0對應的如下標準形式曲線

Y²+α₃Y=X³+α₄X+α₆（α₃≠0）與 Y²=X³+α₄X+α₆

一種典型方案
橢圓曲線及有限域的選擇使得|E(F_q)|=cm，且char(F_q) ∤ q+1-cm。其中m是一個大素數(shù)（通常不低于256位二進制長度，提供中長期安全性），c小于m。
m階子群的生成元可通過以下方法確定：隨機選擇E上的一個有理點P，如果Q=cP為零元（即無窮遠點），則重復選擇，直到其不等于零元。
一旦找到了生成元，那么子群就可以構造出來了。下面分析正確性

參考文獻

[1] 橢圓曲線及其在密碼學中的應用—導引 Andreas Enge

[2] 算法數(shù)論裴定一、祝躍飛

[3] The Arithmetic of Elliptic Curves Joseph H. Silverman

[4] 標識密碼學程朝輝

[5] 代數(shù)學基礎與有限域林東岱

[6] 抽象代數(shù)I 趙春來徐明曜

[7] 代數(shù)與數(shù)論李超周悅

posted @ 2024-11-10 21:45 春秋十二月閱讀(318) | 評論 (0) | 編輯收藏

2024年9月7日

不可約多項式判別算法的改正

原本算法

摘抄參考文獻1中附錄的算法流程如下

例子測驗

改正后的算法

改正之前，先理清原本算法判別不可約多項式所用的原理。其原理是若f(x)可約，當且僅當存在次數(shù)i<=d=[deg(f(x))/2]的不可約因子g(x)，而此時gcd(x^{q^i}-x, f(x))≠1。
根據(jù)參考文獻2（詳見如下定理），x^{q^i}-x是所有i次不可約多項式的乘積，因此它必定包含g(x)而與f(x)存在公因子。不可約判別算法的思想應該是遍歷次數(shù)1到d的所有不可約多項式
（沒必要檢測大于d的不可約多項式，因為若f(x)可約則其分解因子中必定存在不大于d的不可約多項式），檢測輸入多項式與它們是否存在公因子。所以這個原理是正確的，只是實現(xiàn)不對，
略作改正如下（類c語言描述）

重新測驗

參考文獻

[1] 算法數(shù)論裴定一、祝躍飛

[2] 代數(shù)學基礎與有限域林東岱

posted @ 2024-09-07 23:07 春秋十二月閱讀(350) | 評論 (0) | 編輯收藏

2024年8月30日

論證有限域上平方根的求解

通用算法

先摘抄參考文獻[1]中的算法流程如下

正確性分析
下面證明以上算法用到的事實結論，提煉為如下幾個引理

算法構造思想
用到二次剩余知識，即一個待求平方元ɑ可以且只能表示為兩個平方因子的乘積，其中一因子為任意隨機選取的非平方因子β的偶數(shù)冪，
另一因子為葉子群H的一元素r，H作為陪集劃分根群（有限域乘法群）得到β生成的集合即商群G/H的一個代表元系。這樣一來，將開方轉化為β與r的乘方運算，
迭代的過程就是為求那個具體的代表元β^e中的指數(shù)e（注意e必為偶數(shù)），從G_s-2到G₀=H，迭代結束后r被唯一確定，r的開方等于r的(t+1)/2次方（因為t是H的階且為奇數(shù)，r^t+1=r）。
觀察算法流程，可以發(fā)現(xiàn)如果分解q-1后得到s=1，那么就沒必要選取非平方元β了（這時令β=1），直接跳到第6步得到結果。僅當s≠1才隨機選取β。這樣改進后可加快算法運行

例子測驗

特殊算法
當q是素數(shù)且q≡3(mod 4)時，存在更快的算法及測驗如下

參考文獻

[1] 算法數(shù)論裴定一、祝躍飛

posted @ 2024-08-30 22:22 春秋十二月閱讀(473) | 評論 (0) | 編輯收藏

2024年8月15日

求解離散對數(shù)問題的Terr算法

基本原理

再來看Terr算法用到的如下定理
定理（基于參考文獻1改正后的描述）對每一正整數(shù)t，存在唯一確定的一組整數(shù)k和j，0<=k<j，使得t=T_j+1-k，其中T₀=0，T_n=T_n-1+n-1，n>=1

如果t=0，那么j在區(qū)間[0,1)，故只能取0，此時k=0與條件k<j矛盾，若允許k=j，則不保證唯一，比如t=1 => j=1, k=0 或 j=2, k=2。
所以參考文獻1中原來定理的描述“對每一非負整數(shù)t”是錯誤的。下面列舉一些實例驗證j與k的唯一解

t=1 => j=1, k=0

t=2 => j=2, k=1

t=3 => j=2, k=0

t=4 => j=3, k=2

t=5 => j=3, k=1

t=6 => j=3, k=0

算法偽代碼

例子測驗

參考文獻

[1] 代數(shù)學基礎與有限域林東岱

posted @ 2024-08-15 22:35 春秋十二月閱讀(747) | 評論 (0) | 編輯收藏

2024年6月29日

簡單私鑰加密構造的驗證及安全性分析

私鑰分組加密

上圖的證明中，r^(j)兩兩不同的概率計算是關鍵，下面給出詳細過程

另外兩個分布統(tǒng)計的不同意味著計算可分辨（反之則計算不可分辨），亦即r^(j)至少兩個相同的概率。

Construction 5.3.9一次只能加密與密鑰等長的明文，如果要加密更長的明文，怎么辦？一個簡單直接
的方法是將明文分成多個大小為n的塊，對每個塊調(diào)用上述加密步驟，那么就得到形如下的密文塊序列

密文塊序列從Proposition 5.3.10的證明中可知是計算不可分辨的，滿足「多組消息安全性」。但對于解密
需要存儲每一塊的隨機數(shù)，因此比較占空間，所以衍生出下面更高效的方案Construction 5.3.12

私密通用加密

語義安全性分析

抗主動攻擊安全性

以上兩種構造因滿足「多組消息安全性」，故滿足CPA與CCA1，具體的證明可參考Oded Goldreich《密碼學基礎》的Proposition 5.4.12、Proposition 5.4.18。
但不滿足CCA2，因為攻擊者拿到挑戰(zhàn)密文后，可以修改它再發(fā)出解密質(zhì)疑，得到回答的明文從而異或求解f_k(r_i)，最后與挑戰(zhàn)密文異或求解挑戰(zhàn)明文
對于通用加密構造的CCA2攻擊細節(jié)如下

posted @ 2024-06-29 17:00 春秋十二月閱讀(654) | 評論 (0) | 編輯收藏

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