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一.
如果a1^a2^a3^...^an=0 ( 即 : nim-sum=0 ) , 說(shuō)明先手沒(méi)有必贏策略, 方法數(shù)肯定為 0;
二.
假設(shè)先手的人有必贏策略。
問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為=>在任意一堆拿任意K張牌，并且剩下所有堆的nim-sum=0(P-position)的方案總數(shù)。
1. 現(xiàn)在我們先看一個(gè)例子(5,7,9)，并假設(shè)從第一堆取任意K張牌。
排除第一堆牌的nim-sum為 7^9=14
0111
^1001
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1110
如果要使所有堆的nim-sum=0成立，則第一堆取掉K張以后必定為1110，因?yàn)閄^X=0。
所以要觀察 5-k=14 k>0 成立,此例子(在第一堆取任意K張牌)明顯的不成立。但并不代表在第二或第三堆取任意K張牌的解不成立。
2. 現(xiàn)在看第二個(gè)例子(15,7,9)，并假設(shè)從第一堆取任意K張牌。
排隊(duì)第一堆牌的nim-sum為7^9=14，和第一個(gè)例子相同，所以問(wèn)題變?yōu)橛^察 15-k=14 k>0 是否成立。
當(dāng)然這個(gè)例子是成立的。
三.
總結(jié)得出：
在任意一堆拿任意K張牌，并且所有堆的nim-sum=0 成立的條件為：排除取掉K張牌的那一堆的nim-sum必須少于該堆牌上的數(shù)量(例子二)，否則不能在此堆上取任意K張牌使所有堆的nim-sum=0成立(例子一)。
故總方案數(shù)為 ( 在任意一堆拿任意K張牌，并且所有堆的nim-sum=0 成立 ) 的總數(shù)。