相交性測(cè)試的目的是檢測(cè)兩個(gè)幾何圖元是否相交，在某些情況下還要求出相交部分，這些基本測(cè)試構(gòu)成了碰撞檢測(cè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。碰撞檢測(cè)用來(lái)防止物體互相穿越，或者使物體看起來(lái)好像互相被彈開。
我們將討論兩種不同類型的相交性測(cè)試：
（1）靜態(tài)測(cè)試檢測(cè)兩個(gè)靜止圖元是否相交。它是一種布爾型測(cè)試----也就是說(shuō)，測(cè)試結(jié)果只有真（相交時(shí)）或假（不相交時(shí)）。如果兩個(gè)圖元相交，則可以獲取更多的信息。但一般來(lái)說(shuō)，這種測(cè)試的目的只是返回一個(gè)布爾值。
（2）動(dòng)態(tài)測(cè)試針對(duì)的是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)圖元，檢測(cè)它們是否相交，及相交的時(shí)間點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)值通常以參數(shù)形式來(lái)表達(dá)。因此，這種測(cè)試返回的結(jié)果不僅僅是一個(gè)布爾型的真/假值，還會(huì)返回一個(gè)指明相交時(shí)間點(diǎn)的值（參數(shù)t的值）。對(duì)于這里我們要討論的測(cè)試，運(yùn)動(dòng)值是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性位移---當(dāng)t從0變化到1時(shí)原向量的偏移值。每個(gè)圖元都可以有自己的運(yùn)動(dòng)值，然而，從單個(gè)圖元的角度來(lái)考慮問(wèn)題會(huì)比較簡(jiǎn)單。也就是說(shuō)，一個(gè)圖元被認(rèn)為是靜止的，同時(shí)另一個(gè)圖元做了所有的運(yùn)動(dòng)。很容易做到這一點(diǎn)，只要將兩個(gè)位移向量組合成一個(gè)相對(duì)位移向量，它描述了兩個(gè)圖元間的相對(duì)移動(dòng)關(guān)系。因此，所有動(dòng)態(tài)測(cè)試總是涉及一個(gè)靜態(tài)圖元和一個(gè)動(dòng)態(tài)圖元。
注意，包含射線在內(nèi)的許多重要的測(cè)試實(shí)際上都是動(dòng)態(tài)測(cè)試，因?yàn)樯渚€能被看作一個(gè)運(yùn)動(dòng)的圖元。
在2D中兩條隱式直線的相交性檢測(cè)
在2D中，要檢測(cè)用隱式定義的兩條直線是否相交是非常簡(jiǎn)單的，通過(guò)解線性方程組就能解決問(wèn)題。
我們有兩個(gè)方程（兩條直線的隱式方程）和兩個(gè)未知數(shù)（交點(diǎn)的x、y坐標(biāo)）。兩個(gè)方程分別為：
a1x + b1y = d1
a2x + b2y = d2
解此方程組得公式13.5：
x = (b2d1 - b1d2) / (a1b2
- a2b1)
y = (a1d2 - a2d1) / (a1b2
- a2b1)
公式13.5 計(jì)算2D中兩直線的交點(diǎn)
和其他方程組一樣，存在3中可能性（如圖13.4所示）：
（1）只有一個(gè)解，這種情況下，公式13.5中的分母為非0值。
（2）無(wú)解，意味著直線是平行的，永遠(yuǎn)不會(huì)相交，分母為0。
（3）無(wú)窮多解，意味著兩條直線重合，分母為0。
在3D中兩條射線的相交性檢測(cè)
考慮3D中兩條以參數(shù)形式定義的射線:
r1(t1) = p1 + t1d1
r2(t2) = p2 + t2d2
我們能夠解得它們的交點(diǎn)。暫時(shí)先不考慮t1、t2的取值范圍。因此我們考慮的是無(wú)限長(zhǎng)的射線，同樣向量d1、d2也不必是單位向量。如果這兩條射線在一個(gè)平面中，那么也存在三種可能性：
（1）兩條射線交于一點(diǎn)。
（2）兩條射線平行，沒有交點(diǎn)。
（3）兩條射線重合，有無(wú)限多交點(diǎn)。
在3D中，還有第四種可能性，兩條射線不在一個(gè)平面中，如圖13.5所示：
下面演示如何解得交點(diǎn)處的t1、t2：
如果兩條射線平行或重合，d1、d2的叉乘為0，所以上面兩個(gè)等式的分母為0。如果兩條射線不在一個(gè)平面內(nèi)，那么p1(t1)和p2(t2)是相距最近的點(diǎn)。通過(guò)檢查p1(t1)和p2(t2)間的距離即可確定兩條射線相交的情況。當(dāng)然在實(shí)踐中因?yàn)楦↑c(diǎn)數(shù)的精度問(wèn)題，精確的相交很少出現(xiàn)，這時(shí)就需要用到一個(gè)偏差值。
上面的討論假設(shè)沒有限定t1、t2的取值范圍，如果射線的長(zhǎng)度有限（或只沿一個(gè)方向延伸），在計(jì)算出t1、t2后還應(yīng)做適當(dāng)?shù)倪吔鐧z測(cè)。
射線和平面的相交性檢測(cè)
在3D中射線與平面相交于一點(diǎn)，射線的參數(shù)定義為：
p(t) = p0 + td
平面以標(biāo)準(zhǔn)方式來(lái)定義，即對(duì)于平面上的所有點(diǎn)p，都滿足：
p . n = d
盡管n和d都被限制為單位向量，但這里是沒有必要加上這些限制條件的（如圖13.6）：
解得相交點(diǎn)的t值，暫時(shí)假設(shè)射線的長(zhǎng)度是無(wú)限的（公式13.6）：
如果射線和平面互相平行，分母d . n
為0，則它們之間沒有交點(diǎn)。（我們僅討論與平面的正面相交的情況，在這種情況下，僅當(dāng)射線的方向和平面的法向量相反時(shí)才有交點(diǎn)，此時(shí)d .
n < 0）。如果t超出了取值范圍，說(shuō)明射線和平面不相交。