1、 堆排序定義
    　n個(gè)關(guān)鍵字序列Kl，K2，…，Kn稱為堆，當(dāng)且僅當(dāng)該序列滿足如下性質(zhì)(簡(jiǎn)稱為堆性質(zhì))：
    　(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤  )

    　若將此序列所存儲(chǔ)的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，則堆實(shí)質(zhì)上是滿足如下性質(zhì)的完全二叉樹(shù)：樹(shù)中任一非葉結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字。
【例】關(guān)鍵字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分別滿足堆性質(zhì)(1)和(2)

2、大根堆和小根堆
    　根結(jié)點(diǎn)(亦稱為堆頂)的關(guān)鍵字是堆里所有結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字中最小者的堆稱為小根堆。
    　根結(jié)點(diǎn)(亦稱為堆頂)的關(guān)鍵字是堆里所有結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字中最大者，稱為大根堆。
  注意：
    　①堆中任一子樹(shù)亦是堆。
   　 ②以上討論的堆實(shí)際上是二叉堆(Binary Heap)，類似地可定義k叉堆。

3、堆排序特點(diǎn)
    　堆排序(HeapSort)是一樹(shù)形選擇排序。
    　堆排序的特點(diǎn)是：在排序過(guò)程中，將R[l..n]看成是一棵完全二叉樹(shù)的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，利用完全二叉樹(shù)中雙親結(jié)點(diǎn)和孩子結(jié)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系【參見(jiàn)二叉樹(shù)的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)】，在當(dāng)前無(wú)序區(qū)中選擇關(guān)鍵字最大(或最小)的記錄。

4、堆排序與直接插入排序的區(qū)別
    　直接選擇排序中，為了從R[1..n]中選出關(guān)鍵字最小的記錄，必須進(jìn)行n-1次比較，然后在R[2..n]中選出關(guān)鍵字最小的記錄，又需要做n-2次 比較。事實(shí)上，后面的n-2次比較中，有許多比較可能在前面的n-1次比較中已經(jīng)做過(guò)，但由于前一趟排序時(shí)未保留這些比較結(jié)果，所以后一趟排序時(shí)又重復(fù)執(zhí) 行了這些比較操作。
    　堆排序可通過(guò)樹(shù)形結(jié)構(gòu)保存部分比較結(jié)果，可減少比較次數(shù)。

5、堆排序
    堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆頂記錄的關(guān)鍵字最大(或最小)這一特征，使得在當(dāng)前無(wú)序區(qū)中選取最大(或最小)關(guān)鍵字的記錄變得簡(jiǎn)單。

（1）用大根堆排序的基本思想
① 先將初始文件R[1..n]建成一個(gè)大根堆，此堆為初始的無(wú)序區(qū)
② 再將關(guān)鍵字最大的記錄R[1](即堆頂)和無(wú)序區(qū)的最后一個(gè)記錄R[n]交換，由此得到新的無(wú)序區(qū)R[1..n-1]和有序區(qū)R[n]，且滿足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③ 由于交換后新的根R[1]可能違反堆性質(zhì)，故應(yīng)將當(dāng)前無(wú)序區(qū)R[1..n-1]調(diào)整為堆。然后再次將R[1..n-1]中關(guān)鍵字最大的記錄R[1]和該區(qū) 間的最后一個(gè)記錄R[n-1]交換，由此得到新的無(wú)序區(qū)R[1..n-2]和有序區(qū)R[n-1..n]，且仍滿足關(guān)系R[1..n-2].keys≤R [n-1..n].keys，同樣要將R[1..n-2]調(diào)整為堆。
    ……
直到無(wú)序區(qū)只有一個(gè)元素為止。

（2）大根堆排序算法的基本操作：
① 初始化操作：將R[1..n]構(gòu)造為初始堆；
② 每一趟排序的基本操作：將當(dāng)前無(wú)序區(qū)的堆頂記錄R[1]和該區(qū)間的最后一個(gè)記錄交換，然后將新的無(wú)序區(qū)調(diào)整為堆(亦稱重建堆)。
  注意：
①只需做n-1趟排序，選出較大的n-1個(gè)關(guān)鍵字即可以使得文件遞增有序。
②用小根堆排序與利用大根堆類似，只不過(guò)其排序結(jié)果是遞減有序的。堆排序和直接選擇排序相反：在任何時(shí)刻，堆排序中無(wú)序區(qū)總是在有序區(qū)之前，且有序區(qū)是在原向量的尾部由后往前逐步擴(kuò)大至整個(gè)向量為止。

（3）堆排序的算法：
  void HeapSort(SeqIAst R)
   { //對(duì)R[1..n]進(jìn)行堆排序，不妨用R[0]做暫存單元
    int i；
    BuildHeap(R)； //將R[1-n]建成初始堆
    for(i=n;i>1；i--){ //對(duì)當(dāng)前無(wú)序區(qū)R[1..i]進(jìn)行堆排序，共做n-1趟。
      R[0]=R[1]；R[1]=R[i];R[i]=R[0]； //將堆頂和堆中最后一個(gè)記錄交換
　    Heapify(R，1，i-1)； //將R[1..i-1]重新調(diào)整為堆，僅有R[1]可能違反堆性質(zhì)
     } //endfor
   } //HeapSort

（4） BuildHeap和Heapify函數(shù)的實(shí)現(xiàn)
　因?yàn)闃?gòu)造初始堆必須使用到調(diào)整堆的操作，先討論Heapify的實(shí)現(xiàn)。
① Heapify函數(shù)思想方法
　 每趟排序開(kāi)始前R[l..i]是以R[1]為根的堆，在R[1]與R[i]交換后，新的無(wú)序區(qū)R[1..i-1]中只有R[1]的值發(fā)生了變化，故除R [1]可能違反堆性質(zhì)外，其余任何結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)均是堆。因此，當(dāng)被調(diào)整區(qū)間是R[low..high]時(shí)，只須調(diào)整以R[low]為根的樹(shù)即可。
"篩選法"調(diào)整堆
　 R[low]的左、右子樹(shù)(若存在)均已是堆，這兩棵子樹(shù)的根R[2low]和R[2low+1]分別是各自子樹(shù)中關(guān)鍵字最大的結(jié)點(diǎn)。若R[low]. key不小于這兩個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字，則R[low]未違反堆性質(zhì)，以R[low]為根的樹(shù)已是堆，無(wú)須調(diào)整；否則必須將R[low]和它的兩個(gè)孩子結(jié)點(diǎn) 中關(guān)鍵字較大者進(jìn)行交換，即R[low]與R[large](R[large].key=max(R[2low].key，R[2low+1]. key))交換。交換后又可能使結(jié)點(diǎn)R[large]違反堆性質(zhì)，同樣由于該結(jié)點(diǎn)的兩棵子樹(shù)(若存在)仍然是堆，故可重復(fù)上述的調(diào)整過(guò)程，對(duì)以R [large]為根的樹(shù)進(jìn)行調(diào)整。此過(guò)程直至當(dāng)前被調(diào)整的結(jié)點(diǎn)已滿足堆性質(zhì)，或者該結(jié)點(diǎn)已是葉子為止。上述過(guò)程就象過(guò)篩子一樣，把較小的關(guān)鍵字逐層篩下 去，而將較大的關(guān)鍵字逐層選上來(lái)。因此，有人將此方法稱為"篩選法"。
  　 具體的算法【參見(jiàn)教材】

②BuildHeap的實(shí)現(xiàn)
　　要將初始文件R[l..n]調(diào)整為一個(gè)大根堆，就必須將它所對(duì)應(yīng)的完全二叉樹(shù)中以每一結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)都調(diào)整為堆。
　　顯然只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)的樹(shù)是堆，而在完全二叉樹(shù)中，所有序號(hào) 的結(jié)點(diǎn)都是葉子，因此以這些結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)均已是堆。這樣，我們只需依次將以序號(hào)為 ，  -1，…，1的結(jié)點(diǎn)作為根的子樹(shù)都調(diào)整為堆即可。
   　 具體算法【參見(jiàn)教材】。

5、大頂堆排序?qū)崿F(xiàn)

void HeapSort ( Elem R[], int n ) ...{
// 對(duì)記錄序列R[1..n]進(jìn)行堆排序。
for ( i=n/2; i>0; --i )
                    // 把R[1..n]建成大頂堆
   HeapAdjust ( R, i, n );
for ( i=n; i>1; --i ) ...{
R[1]←→R;         
        // 將堆頂記錄和當(dāng)前未經(jīng)排序子序列
        // R[1..i]中最后一個(gè)記錄相互交換
HeapAdjust(R, 1, i-1);           
        // 將R[1..i-1] 重新調(diào)整為大頂堆
}
} // HeapSort
其中篩選的算法如下所示。為將R[s..m]調(diào)整為“大頂堆”，算法中“篩選”應(yīng)沿關(guān)鍵字較大的孩子結(jié)點(diǎn)向下進(jìn)行。
void HeapAdjust (Elem R[], int s, int m) ...{
// 已知R[s..m]中記錄的關(guān)鍵字除R[s].key之
// 外均滿足堆的定義，本函數(shù)調(diào)整R[s] 的關(guān)
// 鍵字，使R[s..m]成為一個(gè)大頂堆（對(duì)其中
// 記錄的關(guān)鍵字而言）
rc = R[s];
for ( j=2*s; j<=m; j*=2 ) ...{// 沿key較大的孩子結(jié)點(diǎn)向下篩選
    if ( j<m && R[j].key<R[j+1].key)  ++j;
    if ( rc.key >= R[j].key )  break; // rc應(yīng)插入在位置s上
    R[s] = R[j];  s = j;
}
    R[s] = rc; // 插入
} // HeapAdjust

6、 算法分析
    　堆排序的時(shí)間，主要由建立初始堆和反復(fù)重建堆這兩部分的時(shí)間開(kāi)銷構(gòu)成，它們均是通過(guò)調(diào)用Heapify實(shí)現(xiàn)的。
  　  堆排序的最壞時(shí)間復(fù)雜度為O(nlgn)。堆排序的平均性能較接近于最壞性能。
    　由于建初始堆所需的比較次數(shù)較多，所以堆排序不適宜于記錄數(shù)較少的文件。
    　堆排序是就地排序，輔助空間為O(1)，
    　它是不穩(wěn)定的排序方法。