在进行图形求交时Q常帔R要判定两个图形间是否有包含关pR如Ҏ否包含在U段、^面区域、三lŞ体中Q线D|否包含在q面区域、三lŞ体中Q等{。许多包含判定问题可转化为点的包含判定问题，如判断线D|否在q面上可以{化ؓ判断其两端点是否在^面上。因此下面主要讨论关于点的包含判定算法?/font>
判断点与U段的包含关p，也就是判断点与线的最短距L否位于容差范围内。造型中常用的U段有三U：
Q?Q直U段Q（2Q圆锥曲U段Q主要是圆弧Q，Q?Q参数曲U（主要是BezierQBh与NURBS曲线Q。点与面的包含判定也cM地分ZU情c下面分别讨论?/font>
1、点与直U段的包含判?/font>
假设点坐标ؓP(x, y, z)Q直U段端点为P1(x1, y1, z1)QP2(x2,y2,z2)Q则点P到线DP1P2的距ȝqx?/font>
d2=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2-[(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)+(z2-z1)(z-z1)]2/[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]
当d2<a2Ӟ认ؓ点在U段Q或其g长线Q上Q这时还需q一步判断点是否落在直线D늚有效区间内。只要对坐标分量q行比较Q假讄D两端点的x分量不等Q否则所有分量均相等Q那么线D两端点重合Q线D退化ؓ一点）Q那么当x-x1与x-x2反号Ӟ点P在线D늚有效区间内?/font>
2、点与圆锥曲U段的包含判?/font>
以圆弧ؓ例，假设点的坐标?x, y, z)Q圆弧的中心为（x0, y0, z0Q，半径为rQv始角a1Q终止角a2。这些角度都是相对于局部坐标系x轴而言。圆弧所在^面ؓ
ax+by+cz+d=0
先判断点是否在该q面上，若不在，则点不可能被包含。若在，则通过坐标变换Q把问题转换Cl的问题?/font>
l定中心为（x0, y0Q，半径为rQv始角a1Q终止角a2的圆弧，对^面上一点PQx, yQ，判断P是否在圆弧上Q可分二步进行。第一步判断P是否在圆心ؓQx0, y0Q，半径为r的圆的圆周上Q即下式是否成立Q?/font>
W二步判断P是否在有效的圆弧D内?/font>
3、点与参数曲U的包含判定
讄坐标为P(x, y, z)Q参数曲UؓQ(t)=(x(t), y(t), z(t))。点也参数曲U的求交计算包括三个步骤Q?/font>
Q?Q计参数t|使P到Q(t)的距L；
Q?Q判断t是否在有效参数区间内Q通常为[0Q?]Q；
Q?Q判断Q(t)与P的距L否小于a 。若Q?Q，Q?Q步的判断均?#8220;?#8221;Q则点在曲线上；否则点不在曲U上?/font>
W一步应计算tQ得|P-Q(t)|最，
?R(t)=(P-Q(t))(P-Q(t))=|P-Q(t)|2最?/font>
Ҏ微积分知识，在该处R'(t)=0?/font>
Q'(t)[P-Q(t)]=0
用数值方法解出t|再代入曲U参数方E可求出曲线上对应点的坐标。第Q?Q、（3Q步的处理比较简单，不再详述?/font>
4、点与^面区域的包含判定
讄坐标为P(x, y, z)Q^面方Eؓax+by+cz+d=0。则点到q面的距Mؓ
d=
若d<a Q则认ؓ点在q面上，否则认ؓ点不在^面上。在造型pȝ中，通常使用q面上的有界区域作ؓ形体的表面。在q种情况下，对落在^面上的点q应q一步判别它是否落在有效区域内。若点落在该区域内，则认为点与该面相交，否则不相交。下面以q面区域多边形ؓ例，介绍有关法?/font>
判断q面上一个点是否包含在同q面的一个多边Ş内，有许多种法Q这里仅介绍常用的三U：叉积判断法、夹角之和检验法以及交点计数验法?/font>
Q?Q叉U判断法
假设判断点ؓP0。多边Ş点按顺序排列ؓP1P2…Pn。如?.5.2所C。oVi=Pi-P0, i=1, 2, …, n, Vn+1=V1?/font>
那么QP0在多边Ş内的充要条g是叉UViXVi+1(i=1, 2, …, n)的符L同。叉U判断法仅适用于凸多边形。当多边形ؓҎQ尽点在多边Ş内也不能保证上述叉积W号都相同。这时可采用后面介绍的两U方法?/font>
?.5.2 叉积判断?/font>
Q?Q夹角之和检验法
假设某^面上有点P0和多边ŞP1P2P3P4P5Q如?.5.3所C。将点P0分别与Pi相连Q构成向量Vi=P-P0。假设角 PiP0Pi+1=ai。如?img height=45 src="file:///F:/软g开?游戏开?数学/2.5.3包含判定法.files/Image101.gif" width=38>=0Q则点P0在多边Ş之外Q如?.5.3(a)所C。如?img height=45 src="file:///F:/软g开?游戏开?数学/2.5.3包含判定法.files/Image102.gif" width=38>=2πQ则点P0在多边Ş之内Q如?.5.3(b)所C。ai可通过下列公式计算QoSi=Vi? Vi+1, Ci=Vi·Vi+1Q则tg(ai)=Si/CiQ所以ai=arctg(Si/Ci)?/font>
ai的符号即代表角度的方向?/font>
?.5.3 夹角之和验法
在多边ŞҎ不太多（<44Q的情况下，可以采用下列q似公式计算ai?/font>
?|Si|≤|Ci|
?|Si|>|Ci|
其中d=0.0355573为常数。当Σαi≥π
Ӟ可判P0在多边Ş内。当ΣαiQ?#960; Ӟ可判P0在多边Ş外。证明略?/font>
Q?Q交点计数检验法
当多边Ş是凹多边形，甚至q带孔时Q可采用交点计数法判断点是否在多边Ş内。具体做法是Q从判断点作一线xIQ?/font>
求射U与多边形边的交点个数。若个数为奇敎ͼ则点在多边Ş内，否则Q点在多边Ş外?/font>
如图2.5.4所C，线a, c分别与多边Ş交于二点和四点，为偶敎ͼ故判断点AQC在多边Ş外。而射Ub, d与多边Ş交三点和一点，为奇敎ͼ所以BQD在多边Ş内?/font>
当射U穿q多边Ş点Ӟ必须Ҏ对待。如?.5.4所C，线fq顶点，若将交点计数?Q则会错误地判断F在多边Ş外。但是，若规定射U过点Ӟ计数?Q则又会错误地判断点E在多边Ş内。正的Ҏ是，若共享顶点的两边在射U的同一侧，则交点计数加2Q否则加1。按q种ҎQE点计?Q所以在多边形外QF点计CؓQ，所以在多边形内。读者可以自己另取一些点来验证?/font>
?.5.4 交点计数?/font>
5、点与二ơ曲?参数曲面的包含判?/font>
假设点坐标ؓP(x0, y0, z0)Q二ơ曲面方EؓQ(x, y, z)=0Q则当|Q(x0, y0, z0)|<? Ӟ认ؓ点在该二ơ曲面上Q在造型pȝ中，通常使用裁剪的二ơ曲面。在q种情况下，q要判断Ҏ否在有效范围内。裁剪的二次曲面通常用有理Bezier或有理Bh的参数空间上的闭合曲U来定义曲面的有效范_故要把点所对应的参数空间的参数坐标计算出来Q再判断该参数坐标是否在参数I间有效区域上?/font>
6、点与三lŞ体的包含判定
判断Ҏ否被三维形体所包含Q可先用前面的方法判断点是否在三lŞ体的表面上，然后判断Ҏ否在形体内部Q其Ҏ因Ş体不同而异。下面以凸多面体Z说明?/font>
讑և多面体某个面的^面方Eؓax+by+cz+d=0Q调整方E系数的W号Q当ax+by+cz+d<0Ӟ?x,y,z)位于该^面两侧中包含该凸多面体的一侧。于是要验一个点是否在凸多面体内部，只要验是否它对凸多面体的每一个面均满以上的不等式即可?/font>
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