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http://blog.chinaunix.net/u2/76292/showart_1418158.html1. 歐幾里德算法和擴(kuò)展歐幾里德算法
歐幾里德算法
歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法，用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。其計(jì)算原理依賴于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設(shè)d是a,b的一個(gè)公約數(shù)，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數(shù)
假設(shè)d 是(b,a mod b)的公約數(shù)，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數(shù)
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數(shù)是一樣的，其最大公約數(shù)也必然相等，得證
歐幾里德算法就是根據(jù)這個(gè)原理來做的，其算法用C++語言描述為：
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}當(dāng)然你也可以寫成迭代形式：
int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
本質(zhì)上都是用的上面那個(gè)原理。
補(bǔ)充: 擴(kuò)展歐幾里德算法是用來在已知a, b求解一組p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根據(jù)數(shù)論中的相關(guān)定理)。擴(kuò)展歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。下面是一個(gè)使用C++的實(shí)現(xiàn)：
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
把這個(gè)實(shí)現(xiàn)和Gcd的遞歸實(shí)現(xiàn)相比，發(fā)現(xiàn)多了下面的x,y賦值過程，這就是擴(kuò)展歐幾里德算法的精髓。
可以這樣思考:
對(duì)于a' = b, b' = a % b 而言，我們求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注：這里的/是程序設(shè)計(jì)語言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此對(duì)于a和b而言，他們的相對(duì)應(yīng)的p，q分別是 y和(x-a/b*y)
2. Stein算法
歐幾里德算法是計(jì)算兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的傳統(tǒng)算法，他無論從理論還是從效率上都是很好的。但是他有一個(gè)致命的缺陷，這個(gè)缺陷只有在大素?cái)?shù)時(shí)才會(huì)顯現(xiàn)出來。
考慮現(xiàn)在的硬件平臺(tái)，一般整數(shù)最多也就是64位，對(duì)于這樣的整數(shù)，計(jì)算兩個(gè)數(shù)之間的模是很簡單的。對(duì)于字長為32位的平臺(tái)，計(jì)算兩個(gè)不超過32位的整數(shù)的模，只需要一個(gè)指令周期，而計(jì)算64位以下的整數(shù)模，也不過幾個(gè)周期而已。但是對(duì)于更大的素?cái)?shù)，這樣的計(jì)算過程就不得不由用戶來設(shè)計(jì)，為了計(jì)算兩個(gè)超過 64位的整數(shù)的模，用戶也許不得不采用類似于多位數(shù)除法手算過程中的試商法，這個(gè)過程不但復(fù)雜，而且消耗了很多CPU時(shí)間。對(duì)于現(xiàn)代密碼算法，要求計(jì)算 128位以上的素?cái)?shù)的情況比比皆是，設(shè)計(jì)這樣的程序迫切希望能夠
拋棄除法和取模。 （
注：說到拋棄除法和取模，其實(shí)輾轉(zhuǎn)相除法可以寫成減法的形式)
Stein算法由J. Stein 1961年提出，這個(gè)方法也是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。和歐幾里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整數(shù)的移位和加減法，這對(duì)于程序設(shè)計(jì)者是一個(gè)福音。
為了說明Stein算法的正確性，首先必須注意到以下結(jié)論：
gcd(a,a) = a，也就是一個(gè)數(shù)和他自身的公約數(shù)是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公約數(shù)運(yùn)算和倍乘運(yùn)算可以交換，特殊的，當(dāng)k=2時(shí)，說明兩個(gè)偶數(shù)的最大公約數(shù)必然能被2整除。
有了上述規(guī)律就可以給出Stein算法如下：
如果A=0，B是最大公約數(shù)，算法結(jié)束
如果B=0，A是最大公約數(shù)，算法結(jié)束
設(shè)置A1 = A、B1=B和C1 = 1
如果An和Bn都是偶數(shù)，則An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整數(shù)左移一位即可，除2只要把整數(shù)右移一位即可)
如果An是偶數(shù)，Bn不是偶數(shù)，則An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很顯然啦，2不是奇數(shù)的約數(shù))
如果Bn是偶數(shù)，An不是偶數(shù)，則Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很顯然啦，2不是奇數(shù)的約數(shù))
如果An和Bn都不是偶數(shù)，則An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn
n++，轉(zhuǎn)4
這個(gè)算法的原理很顯然，所以就不再證明了。現(xiàn)在考察一下該算法和歐幾里德方法效率上的差別。
給出一個(gè)C++的實(shí)現(xiàn):
int Gcd(int a, int b)
{
if(a == 0) return b;
if(b == 0) return a;
if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
else if(a % 2 == 0) return gcd(a >> 1, b);
else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);
else return gcd(abs(a - b), Min(a, b));
}
考慮歐幾里德算法，最惡劣的情況是，每次迭代a = 2b -1,這樣，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，這樣大約需要 4N次迭代。而考慮Stein算法，每次迭代后，顯然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次數(shù)也不超過4N次。也就是說，迭代次數(shù)幾乎是相等的。但是，需要注意的是，對(duì)于大素?cái)?shù)，試商法將使每次迭代都更復(fù)雜，因此
對(duì)于大素?cái)?shù)Stein將更有優(yōu)勢(shì)練習(xí):
OJ上面的赤裸裸的Gcd算法的題不多，大多都是套了一個(gè)外殼。
找了兩道，可以試試看
HDOJ 2028 Lowest Common Multiple Plus 這個(gè)是求n個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)(有了最大公約數(shù)，最小公倍數(shù)應(yīng)該很容易了）
ZJU 2678 Bishops on a Toral Board 這個(gè)題目要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不錯(cuò)的題目很老的東東了，其實(shí)也沒啥好整理的，網(wǎng)上很多資料了，就當(dāng)備用把:-)
posted on 2009-05-31 19:09
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