AABB與平面的相交性檢測

考慮3D中由極值點p_min和p_max定義的AABB和以標準方式定義的平面：p . n = d，其中n為單位向量，平面與AABB必須處于相同的坐標系中。

一種簡單的靜態測試方法是，計算矩形邊界框頂點和n的點積，通過比較點積和d，來檢測邊界框的頂點是否完全在平面的一邊，或是在另外一邊。如果所有點積都大于d，那么整個邊界框就在平面的正面所指的一側；如果所有的點積都小于d，那么整個邊界框就在平面的反面所指的一側。

實際上，不需要檢測全部的8個頂點，可以用和變換AABB類似的技巧，例如，如果n_x > 0，點積最小的頂點是x = x_min，點積最大的頂點是x= x_max。如果n_x < 0，則得出的是相反的結論。對n_y、n_z也有同樣的結論。我們計算最小和最大點積的值，如果最小點積大于d或最大點積小于d，說明它們不相交；否則，兩個點在平面的兩邊，說明邊界框與平面相交。

接下來進行動態測試，我們假設平面是靜止的（以一個移動物體為參考來考慮它們的相交性檢測會比較簡單）。邊界框的位移由單位向量d和長度L定義，和前面一樣，先求得點積最大和最小的頂點，并在t=0時作一次相交性檢測，如果邊界框和平面最初沒有相交，那么一定是離平面最近的頂點先接觸平面，它可能就是前一步檢測出的兩個頂點之一。如果只對與平面的"正面"碰撞感興趣，那么總是使用點積最小的頂點。一旦檢測出先接觸到平面的頂點，就可以利用射線與平面的相交性測試來解決問題。

cAABB3類實現了AABB與平面的靜態、動態相交性檢測。

三個平面間的相交性檢測

在3D中，三個平面相交于一點，如圖13.7所示:

假設三個平面的隱式方程為：

p . n₁ = d₁

p . n₂ = d₂

p . n₃ = d₃

雖然平面的法向量通常被限制為單位向量，但此時這種限制是沒有必要的。上面的等式組成了一個有三個方程和三個未知數（交點的x、y、z坐標）的線性方程組。解這個方程組能得到如公式13.7所示的結果：

如果任意一對平面平行，那么交點要么不存在，要么不唯一，在這種情況下，公式13.7的分母都為0。

射線和圓/球的相交性檢測

這里將討論2D中射線和圓的相交性檢測，檢測的方法也適用于3D中射線和球之間的相交性檢測，這是因為可以在包含射線和球心的平面中進行檢測，從而將3D問題轉化為2D問題。（如果射線包含在穿過球心的直線上，那么這個平面就不是唯一的。但這并不是問題，在這種情況下我們能使用任意包含射線和球心的平面來進行計算。）

構圖方法見13.8 :

用圓心c和半徑r來定義球，射線的定義為：p(t) = p₀ + td

這里，d為單位向量，t從0變化到L，L為射線長度。所要求的是交點處t的值：

t = a - f

a的計算方法如下，設e為從p₀指向c的向量:

e = c - p₀

現在將e投影到d，這個向量的長度為a，它的計算式為：

a = e . d

兩個圓/球的相交性檢測

兩個球的靜態測試是相對比較簡單的（這里的討論對圓也適用，事實上，圖13.9中用的就是圓）。考慮由球心c₁、c₂和半徑r₁、r₂定義的兩個球（如圖13.9所示）。設d為球心間的距離，很明顯，當d < r₁ + r₂時它們相交。在實踐中通過比較d² < (r₁ + r₂)²，可以避免包括計算d在內的平方根運算。

對兩個運動的球進行相交性檢測要麻煩一些。假設有兩個單獨的位移向量d₁和d₂，球與位移向量是一一對應的，它們描述了在所討論的時間段中球的運動方式。如圖13.10所示:

從第一個球的角度來看能夠簡化這個問題，現在假設這個球是"靜止的"，另一個球是"運動"的。這給出了單一的位移向量d，它等于原位移向量d₂和d₁的差d₂ - d₁，如圖13.11所示：

設靜止球由球心c_s和半徑r_s定義。運動球的半徑為r_m，當t=0時，球心為c_m。t不再從0變化到1，而是將d單位化，t的取值范圍從0到L，L是移動的距離。所以在t時刻運動球的球心為c_m + td，所要求的是當運動球接觸靜止球時的t。其中的幾何關系如圖13.12所示：

這里有一些重要的注意事項：

（1）如果||e|| < r，則球在t=0時就相交。

（2）如果t<0或t>L，那么在所討論的時間段內兩個球不會發生接觸。

（3）如果根號內的值是負的，那么兩個球不會相交。

球和AABB的相交性檢測

為了進行球和AABB的靜態相交性檢測，首先找到AABB中距球心最近的頂點。計算該點到球心的距離，并和球的半徑比較（實際上，比較的是距離的平方和半徑的平方，以避免平方根運算）。如果距離小于半徑，那么球和AABB相交。