天行健 君子當(dāng)自強(qiáng)而不息

特殊的2D直線表示方法

2D中，可以使用公式12.3隱式表示直線：

ax + by = d

公式12.3   2D直線的隱式定義

另一種表示方法為，設(shè)向量n = [a, b]，用向量記法將公式12.3寫為公式12.4的形式：

p . n = d

公式12.4   用向量記法的2D直線的隱式定義

當(dāng)?shù)仁絻蛇呁艘猿?shù)k時(shí)，n和d會(huì)發(fā)生變化但這并不會(huì)改變直線的定義。如果n為單位向量，大多數(shù)情況下計(jì)算會(huì)很方便。

再換一種表示方法，變換等式，將直線表示為斜截式，見公式12.5：

y = mx + b

公式12.5   斜截式

m是直線的"斜率"，等于rise和run的比值：每向上移動(dòng)rise單位，就會(huì)向右移動(dòng)run單位。b是y截距（不同于第一種隱式法中的b）。b之所以稱為y截距，是因?yàn)橹本€和y軸相交于此。將x=0代入上述等式，就可以清楚地看出直線和y軸交于y=b。如圖12.5所示：

水平直線的斜率為0，豎直直線的斜率為無窮大，不能用斜截式表示。豎直直線的隱式表示為：

x = k

另一種描述直線的方法是給出垂直于直線的標(biāo)準(zhǔn)向量n和原點(diǎn)到直線的垂直距離d。標(biāo)準(zhǔn)向量描述了直線的方向，距離則描述了直線的位置。如圖12.6所示：

注意，這只是公式12.4的一種特殊情況。n是垂直于直線的單位向量，d給出了原點(diǎn)到直線的有符號距離。這個(gè)距離是在垂直于直線的方向（平行于n）上度量的。有符號距離的意思是如果直線和標(biāo)準(zhǔn)向量n代表的點(diǎn)在原點(diǎn)的同一側(cè)，則d為正。當(dāng)d增大時(shí)，直線沿方向n移動(dòng)。

一種變形是用直線上的點(diǎn)來描述直線的位置而不是用原點(diǎn)到直線的距離。當(dāng)然，直線上的任意點(diǎn)都可以。直線的方向仍然用垂直于直線的標(biāo)準(zhǔn)向量n表示，如圖12.7所示:

最后一種定義是將直線作為兩個(gè)點(diǎn)q和r的垂直平分線，如圖12.8所示。事實(shí)上，這也是直線最早的一種定義：到兩個(gè)給定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合。

在不同表示方法間轉(zhuǎn)換

注意，直線的表示方法僅適用于2D。

從射線的兩點(diǎn)定義式轉(zhuǎn)換到參數(shù)形式：

p₀ = p_org

d = p_end - p_org

相反的轉(zhuǎn)換，從參數(shù)形式轉(zhuǎn)換到兩點(diǎn)定義的形式：

p_org = p₀

p_end = p₀ + d

如果給定一條射線的參數(shù)形式，就能夠從中計(jì)算出包含該射線的直線的隱式表示：

a = d_y

b = -d_x

d = p_orgd_y - p_orgd_x

直線的隱式轉(zhuǎn)換到斜截式：

m = -a/b，b = d/b

注意，等號左邊的b是斜截式 ---- y = mx + b中的b；等號右邊的b則是隱式ax + by = d中y的系數(shù)。

從直線的隱格式轉(zhuǎn)換到"標(biāo)準(zhǔn)向量 + 距離"形式：

從"標(biāo)準(zhǔn)向量 + 直線上的點(diǎn)"形式轉(zhuǎn)換到"標(biāo)準(zhǔn)向量 + 距離"形式（設(shè)n為標(biāo)準(zhǔn)向量）：

n = n

distance = n . q

最后，從垂直平分線形式轉(zhuǎn)換到隱格式：

球和圓

球是一種3D物體，定義為到給定點(diǎn)的距離為給定長度的所有點(diǎn)的集合。球面上某點(diǎn)到球心的距離稱作球的半徑，球的直接表示形式能描述出球心c和半徑r，如圖12.9所示：

球的簡單性使它在計(jì)算幾何和圖形學(xué)中幾乎無處不在。"邊界球"經(jīng)常用于相交性測試中，因?yàn)闄z驗(yàn)與一個(gè)球是否相交是非常簡單的。而且由于旋轉(zhuǎn)一個(gè)球時(shí)并不會(huì)改變它的形狀，所以使用邊界球時(shí)不必考慮物體的方向。

由球的定義可以直接導(dǎo)出它的隱式表示形式：到球心的距離為給定距離的點(diǎn)的集合。球心為c，半徑為r的球的隱式表示形式為：

|| p - c || = r

公式12.6   向量記法的球的隱式表示

注意p是球表面上的任意一點(diǎn)。如果要讓球內(nèi)部的點(diǎn)p也滿足這個(gè)式子，就必須將等號換為"≤"。公式12.6也是2D圓的隱式表示，將公式12.6在3D中展開，兩邊同時(shí)平方得到公式12.7：

(x - c_x)² + (y - c_y)² + (z - c_z)² = r²

公式12.7   球的隱式定義

我們能計(jì)算圓和球的直徑（經(jīng)過圓心的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離稱作直徑）和周長（繞圓一周的長度即為周長），見公式12.8：

D = 2r

C = 2πr = πD

公式12.8   圓的直徑和周長

公式12.9為圓的面積：

A = πr²

公式12.9   圓面積

球的表面積S及體積V的計(jì)算方式如公式12.10所示：

S = 4πr²

V = 4/3 πr³

公式12.10   球的表面積和體積

如果學(xué)過微積分，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象：圓面積的微分是圓周長，球體積的微分是球表面積。