4D向量和4x4矩陣不過是對3D運(yùn)算的一種方便的記憶而已。
4D齊次空間
4D向量有4個(gè)分量，前3個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)的x，y和z分量，第4個(gè)是w，有時(shí)稱作齊次坐標(biāo)。
為了理解標(biāo)準(zhǔn)3D坐標(biāo)是怎樣擴(kuò)展到4D坐標(biāo)的，讓我們先看一下2D中的齊次坐標(biāo)，它的形式為（x, y, w）。想象在3D中w=1處的標(biāo)準(zhǔn)2D平面，實(shí)際的2D點(diǎn)(x,
y)用齊次坐標(biāo)表示為(x, y, 1)，對于那些不在w=1平面上的點(diǎn)，則將它們投影到w=1平面上。所以齊次坐標(biāo)(x,
y, w) 映射的實(shí)際2D點(diǎn)為（x/w, y/w）。如圖9.2所示：
因此，給定一個(gè)2D點(diǎn)（x, y），齊次空間中有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)與之對應(yīng)。所有點(diǎn)的形式都為(kx, ky,
k)，k≠0。這些點(diǎn)構(gòu)成一條穿過齊次原點(diǎn)的直線。
當(dāng)w=0時(shí)，除法未定義，因此不存在實(shí)際的2D點(diǎn)。然而，可以將2D齊次點(diǎn)(x, y, 0)解釋為"位于無窮遠(yuǎn)的點(diǎn)"，它描述了一個(gè)方向而不是一個(gè)位置。
4D坐標(biāo)的基本思想相同，實(shí)際的3D點(diǎn)被認(rèn)為是在4D中w=1"平面"上。4D點(diǎn)的形式為(x,
y, z, w)，將4D點(diǎn)投影到這個(gè)"平面"上得到相應(yīng)的實(shí)際3D點(diǎn)（x/w,
y/w, z/w）。w=0時(shí)4D點(diǎn)表示"無限遠(yuǎn)點(diǎn)"，它描述了一個(gè)方向而不是一個(gè)位置。
4 X 4 平移矩陣
3x3變換矩陣表示的是線性變換，不包括平移。因?yàn)榫仃嚦朔ǖ男再|(zhì)，零向量總是變換成零向量。因此，任何能用矩陣乘法表達(dá)的變換都不包含平移。這很不幸，因?yàn)榫仃嚦朔ê退哪媸且环N非常方便的工具，不僅可以用來將復(fù)雜的變換組合成簡單的單一變換，還可以操縱嵌入式坐標(biāo)系間的關(guān)系。如果能找到一種方法將3x3變換矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，使它能處理平移，這將是一件多么美妙的事情啊。4x4矩陣恰好提供了一種數(shù)學(xué)上的"技巧"，使我們能夠做到這一點(diǎn)。
暫時(shí)假設(shè)w總是等于1。那么，標(biāo)準(zhǔn)3D向量[x, y, z]對應(yīng)的4D向量為[x, y, z, 1]。任意3x3變換矩陣在4D中表示為：
任意一個(gè)形如[x, y, z, 1]的向量乘以上面形式的矩陣，其結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)的3x3情況相同，只是結(jié)果是用w=1的4D向量表示的：
現(xiàn)在，到了最有趣的部分。在4D中，仍然可以用矩陣乘法來表達(dá)平移，如公式9.10所示，而在3D中是不可能的：
記住，即使是在4D中，矩陣乘法仍然是線性變換。矩陣乘法不能表達(dá)4D中的"平移"，4D零向量也將總是被變換成零向量。這個(gè)技巧之所以能在3D中平移點(diǎn)是因?yàn)槲覀儗?shí)際上是在切變4D空間。與實(shí)際3D空間相對應(yīng)的4D中的"平面"并沒有穿過4D中的原點(diǎn)。因此，我們能通過切變4D空間來實(shí)現(xiàn)3D中的平移。
設(shè)想沒有平移的變換后接一個(gè)有平移的變換會(huì)發(fā)生什么情況呢？設(shè)R為旋轉(zhuǎn)矩陣（實(shí)際上，R還能包含其他的3D線性變換，但現(xiàn)在假設(shè)R只包含旋轉(zhuǎn)），T為形如公式9.10的變換矩陣：
將向量v先旋轉(zhuǎn)再平移，新的向量v'計(jì)算如下：
v' = vRT
注意，變換的順序是非常重要的。因?yàn)槲覀兪褂玫氖切邢蛄浚儞Q的順序必須和矩陣乘法的順序相吻合（從左到右），先旋轉(zhuǎn)后平移。
和3x3矩陣一樣，能將兩個(gè)矩陣連接成單個(gè)矩陣，記作矩陣M，如下：
Ｍ = RT
v' = vRT = v(RT) = vM
觀察M的內(nèi)容：
注意到，M的上邊3x3部分是旋轉(zhuǎn)部分，最下一行是平移部分。最右一列為[0, 0, 0,
1]T。逆向利用這些信息，能將任意4x4矩陣分解為線性變換部分和平移部分。將平移向量[△x,
△y, △z]記作t，則M可簡寫為：
接下來看w=0所表示的 "無窮遠(yuǎn)點(diǎn)"。它乘以一個(gè)由"標(biāo)準(zhǔn)"3x3變換矩陣擴(kuò)展成的4x4矩陣（不包含平移），得到：
換句話說，當(dāng)一個(gè)形如[x, y, z,
0]的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)乘以一個(gè)包含旋轉(zhuǎn)、縮放等的變換矩陣，將會(huì)發(fā)生預(yù)期的變換。結(jié)果仍是一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，形式為[x, y, z, 0]。
一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)經(jīng)過包含平移的變換可得到：
注意到結(jié)果是一樣的（和沒有平移的情況相比）。換句話說，4D向量中的w分量能夠"開關(guān)"
4x4 矩陣的平移部分。這個(gè)現(xiàn)象是非常有用的，因?yàn)橛行┫蛄看?#8220;位置”，應(yīng)當(dāng)平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不應(yīng)該平移。從幾何意義上說，能將第一類數(shù)據(jù)當(dāng)作"點(diǎn)"，第二類數(shù)據(jù)當(dāng)作"向量".
使用4x4矩陣的一個(gè)原因是4x4變換矩陣能包含平移。當(dāng)我們僅為這個(gè)目的使用4x4矩陣時(shí)，矩陣的最后一列總是[0,
0, 0, 1]T。既然是這樣，為什么不去掉最后一列而改用4x3矩陣呢？根據(jù)線性代數(shù)法則，由于多種原因，4x3矩陣不符合我們的需求，如下：
（1）不能用一個(gè)4x3矩陣乘以另一個(gè)4x3矩陣。
（2）4x3矩陣沒有逆矩陣，因?yàn)樗皇且粋€(gè)方陣。
（3）一個(gè)4D向量乘以4x3矩陣時(shí)，結(jié)果是一個(gè)3D向量。
為了嚴(yán)格遵守線性代數(shù)法則，我們加上了第4列。當(dāng)然在代碼中，可以不受代數(shù)法則的約束。