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            天行健 君子當自強而不息

            3D數學 ---- 矩陣和線性變換(2)

            我們可以通過讓比例因子k按比例放大或縮小來縮放物體。如果在各方向應用同比例的縮放,并且沿原點“膨脹”物體,那么就是均勻縮放。均勻縮放可以保持物體的角度和比例不變。如果長度增加或減小因子k,則面積增加或減小k^2。在3D中,體積將增加或減小 k^3。

            如果需要“擠壓”或"拉伸"物體,在不同的方向應用不同的因子即可,這稱作非均勻縮放。非均勻縮放時,物體角度將發生變化。視各方向縮放因子的不同,長度、面積、體積的變化因子也各不相同。

            如果|k|<1,物體將“變短”;如果|k|>1,物體將“變長”,如果k = 0,就是正交投影,如果k < 0就是鏡像。

            應用非均勻縮放的效果類似于切變,事實上,非均勻縮放和切變是很難區分的。

             

            沿坐標軸的縮放

            最簡單的縮放方法是沿著每個坐標軸應用單獨的縮放因子,縮放是沿著垂直的軸(2D中)或平面(3D中)進行的。如果每個軸的縮放因子相同,就是均勻縮放,否則是非均勻縮放。

            2D中有兩個不同的縮放因子,Kx和Ky,圖8.13展示了應用不同縮放因子后的情況。

            憑直覺就可知道,基向量pq由相應的縮放因子單獨影響:

            p' = Kxp = Kx [1   0] = [Kx   0]

            q' = Kyq = Ky [0   1] = [0   Ky]

            用基向量構造矩陣,結果如公式8.6所示:

            對于3D,需要增加第三個縮放因子Kz,3D縮放矩陣如公式8.7所示:

             

            沿任意方向縮放

            我們可以不依賴于坐標系而沿任意方向進行縮放,設n為平行于縮放方向的單位向量,k為縮放因子,縮放沿穿過原點并平行于n的直線(2D中)或平面(3D中)進行。

            我們需要推導出一個表達式,給定向量v,可以通過vn和k來計算v'。為了做到這一點,將v分解為兩個分量,v||和v⊥,分別平行于n和垂直于n,并滿足v =v|| + v⊥。v||是vn上的投影,由 (v . n)n 可以得到 v||。因為v⊥垂直于n,它不會被縮放操作影響。因此,v' = v||' + v⊥,剩下的問題就是怎樣得到v||'。由于v||平行于縮放方向,v||'可以由公式kv||得出,如圖8.14所示:

            總結已知向量并進行代換,得到:

            既然我們知道了怎樣對任意向量進行縮放,當然也就可以計算縮放后的基向量。這里只詳細列出2D中的一個基向量的求法,其余的基向量依次類推。我們只給出其結果(注意下面采用列向量形式只是為了使等式的形式好看一些。)

            通過基向量構造矩陣,得到以單位向量n為縮放方向,k為因子的縮放矩陣,如公式8.8所示:

            3D中,基向量為:

            以單位向量n為縮放方向,k為因子的3D縮放矩陣如公式8.9所示:



            posted on 2008-01-12 18:32 lovedday 閱讀(1699) 評論(0)  編輯 收藏 引用

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