作者：Jonathan Ferraris  翻譯:Dreams woo

 

原理：什么是Quadtrees?
    由于3D圖形卡消費市場的變革，現在3D游戲越來越流行了，他們中大部分是第一人稱射擊游戲，這 是一個很好的理由，這個理由是室內環境，當和室外環境相比它非常簡單。對于室外環境，它沒有方便 的通往下一關的樓梯，門，或墻來阻擋你的視線。室外環境都是連續的。對于傳統的幾何學來說這是非 常棘手的，請打入quadtrees來學習下面的知識。 

    注意：下面的圖示都是從上到下看一個3D地形，方格顯示了在X和Y軸上的地形，并看不見現 實中的物體高度，因為我們是順著Y軸看的。

Figure 1

 

 

    設想你的地形是一個非常大的方格，在一個X和Z的面上擴展，如圖1。我們有一個攝象機在地形的右 下角，它的可視截面（藍三角）擴展為在相同方向上的小單元，這樣在優化前，繪制地形的程序代碼看 起來象這樣:

for(int ctr=0; ctr<num_of_cells; ctr++)
{
  DrawCell();
}

    注意：一個小單元就是一個包含一些三角形的正方形，它是地形的一部分），看起來非常好，但是本 來我們只是占用了16個單元，可是畫了256個。這是非常大的浪費，在我們的可視截面里只有5個單元。 現在第一個優化：我們要測試所有的單元是否在可視截面里，如果在就畫他，現在的代碼如下：

for(int ctr=0; ctr<num_of_cells; ctr++)
{
  if(cell is in frustum) DrawCell();
}

    如果單元在我們的可視截面中，就畫他，非常正確。現在我們只畫了5個單元，而不是256個，我們只 是更改很少的代碼。在上面，我們保存了我們沒有繪出的251個單元，每次都是，這是非常的浪費，如下圖： 

Figure 2

 

 

    我將一些單元變成了蘭色，這樣我們可以建立一個包圍盒，如果蘭色的單元不在截面內，我們可以安全 的說這個單元在區域A中，如果我們知道蘭色的單元不在截面內，我們如何去測試區域A中的其他144個單元 呢，這由quadtrees 來工作

    quadtrees 是從地形中獲得的，把它分割成四個較小的部分，每一個部分繼續分下去，直到一個分到 一個設定的大小，這看起來有點亂，讓我結合圖片解釋一下，首先，從我們的網格出發，現在將他分為四份。 

Figure 3

 

 

    如圖三，我們現在有四個子地形，繼續分下去，知道一個部分只有一個單元，，在下圖中，我們把第一個 小部分分成了四個更小的部分。

Figure 4

 

 

然后繼續：

Figure 5

 

 

然后繼續：

Figure 6

 

 

    好了，現在第一個部件只有一個單元大小，我們告訴樹停止分割第一個部件，分割下一個，直到 全部分割完畢。當然你也可以將樹分割到合適的三角形數目停止，在我們的例子中為16個三角形，第 一，這個樹是父子關系，每個子節點有一個父節點，每個父節點有四個子節點，葉節點例外，他只有 一個父節點沒有子節點。葉節點是我們允許的最小的子節點，第二，每個樹都有一個根節點，它沒有 父節點，但有四個子節點。

    再看一下圖，暗紅的邊界就是根節點，在圖3中，我們分割根節點，分配給他的子節點。藍線描繪 的正方形是根節點的四個子。稱為節點2，3，4，5。在圖4 ，我們把節點2分為四份，這些正方形是 節點的子，稱為節點6，7，8，9。繼續由節點6分割出10，11，12，13，由節點10分割為14，15， 16，17。這是他們的葉節點。停止分割。分割節點11，分完后是12和13，然后是7，8，和9。然后是 3，4，5。完成。

    quadtrees 使用一個節點的包圍坐標工作，我們說我們的圖形0-16在X軸上，0-16在Z軸上。由于 這個原因，我們整個地圖的包圍坐標為左上為（0，0，0）右上（16，0，0）左下（0，0，16）右下 （16，0，16）當我們分割父節點時，我們就分割他的包圍坐標，于是節點2的包圍坐標為：左上 （0，0，0）右上（8，0，0）左下（0，0，8）右下（8，0，8）如圖7.

Figure 7

 

 

Test 1
    方法如下：我們從根節點開始問“攝象機是否在根節點的包圍坐標內？”我們說是。我們知道攝 象機在根節點的一個子節點內，于是測試他們，“攝象機在節點2的包圍坐標內嗎？”這里回答不， 于是我們離開節點2和它的子節點。這樣我們就可以不用測試節點2的64個單元了，不壞，不壞。 

Figure 8

 

 

Test 2
    你可以看圖8，我移出了節點2和它的子節點。繼續測試，“攝象機在節點3的包圍坐標內嗎？” ，回答不，于是我們可以安全的離開節點3和它的子節點。

Figure 9

 

 

Test 3
    繼續“攝象機在節點4的包圍坐標內嗎？”回答不測試節點5。

Figure 10

 

 

Test 4
    這時，攝象機在節點5的包圍坐標內，我們測試它的子節點，我們給他的子節點命名為A，B，C，D， 測試第一個子節點“攝象機在節點A的包圍坐標內嗎？”如圖10，不在，于是我們離開節點A和它的子節 點。

Figure 11

 

 

Test 5
    現在測試節點5的第二個子節點，“攝象機在節點B的包圍坐標內嗎？”如圖11。不在

Figure 12

 

 

Test 6
    現在測試節點5的第三個子節點，“攝象機在節點C的包圍坐標內嗎？”如圖12。不在

Figure 13

 

 

Test 7
    OK，他一定在節點D中，“攝象機在節點D的包圍坐標內嗎？”，是的，太好了，我們將在這里停止。 考慮一下上面的測試，共有16次測試（節點D內），結果是有5個單元被看見，測試總數是7+16為23。 我們從256減少為23次。

    A quadtree is used to dismiss large chunks of terrain at a time. If an apple is on a tree's leaf, chopping off the branches the apple is nowhere near saves you looking on every leaf.

    編碼
    Before we go any further, I advise those who are unsure about Indexed Lists to read through my tutorial here.

我們需要:

    一個保存我們QUADTREE數據的結構 
    一個建立樹的函數 
    一個保存三角形數據的結構
typedef struct node
{
  int bType;
  VERTEX vBoundingCoordinates[4];
  unsigned int uiBranches[4];
  unsigned int uiVertexStrip1[8];
  unsigned int uiVertexStrip2[8];
  unsigned int uiVertexStrip3[8];
  unsigned int uiVertexStrip4[8];
  unsigned int uiID;
  unsigned int uiParentID;
}NODE;

    變量bType告訴我們節點的類型，可以為NODE_TYPE or LEAF_TYPE，如果我們畫樹的話，他用 來作為一個標志告訴程序停止或畫一些三角形（LEAF_TYPE），或繼續向下解析樹（NODE_TYPE）。 下一個變量是一個包含4個頂點的數組，他用來保存節點的包圍坐標，VERTEX定義如下

typedef struct vertex
{
  float x,y,z;
}VERTEX;

    我們還有一個叫做uiBranches的數組，他保存了四個索引值，代表了節點的四個子節點，如果本 節點類型是LEAF_TYPE，就不使用。

    由于我們說每個葉節點保存16個多邊形，這里有四個數組，名為uiVertexStrip1到uiVertexStrip4， 每個數組保存四個三角形。在本向導中，他們沒被使用

    變量uiID保存了QUADTREE的節點ID，在我解釋他以前，QUADTREE就如同一個節點的數組，這個ID就是 數組的索引

    T讓我們看看最后一個變量，uiParentID，它是父節點的索引，讓我們用自己的方法來遍歷這棵樹，對 于給定的節點，我們可以從它的父節點遍歷到它的子節點，對于下面給定一個樹，我們如何遍歷他呢，

NODE *pNodeList;

    這是一個pNodeList的指針，它是一個QUADTREE，注意：我們使用數組pNodeList[0] 作為根節點。

Formula 1.

 

 

    上面的公式給出了葉節點的數目，葉寬指的是每個葉的三角形數目，這里我們稱葉節點為單元，也可以說每 個單元包含16個三角形，那么這里的葉寬為4個三角形，Grid Width 指的是格子的寬度，由于每個單元有4個 三角形，Grid Width 為16個單元乘以4是64，為了求出樹中的節點數，使用下面的函數:

unsigned int CalcNodeNum(unsigned int max,unsigned int min)
{
  int ctr=0;
  int var = 0;

  while(var==0)
  {
    ctr+=max;
    max=max/min;

    if(max==1)
      {var=1;}
  }
  ctr++;

  return ctr;
}

    這里函數CalcNodeNum 有兩個參數，葉節點的數目（MAX）和葉寬（MIN），在這里葉寬為4 個三角形，葉節點的數目包含在上面的公式中，為了更好的理解上面的函數，給出下面的代碼:

unsigned int Temp =(GridWidth/4)*(GridWidth/4);
unsigned int Temp2 = CalcNodeNum(Temp,4);

pNodeList = (NODE*)malloc(sizeof(NODE)*Temp2);

    首先計算葉節點的總數，其次保存節點的總數到變量Temp2，第三行是為指針分配內存，現在 我們已經技術了節點的總數并分配了內存，接著調用QUADTREE的建立函數。

    但是首先，讓我們回憶一下遞歸的代碼，如果我們想顯示數目1到10，我們可以這樣做：

void Count(int num)
{
  cout<<num<<"\n";
}

void main()
{
  Count(0);
  Count(1);
  Count(2);
  Count(3);
  Count(4);
  Count(5);
  Count(6);
  Count(7);
  Count(8);
  Count(9);

  return;
}

    這樣做很乏味，可以這樣

for(int ctr=0;ctr<10;ctr++)
{
  Count(ctr);
}

    雖然上面的代碼沒有任何錯誤，但在QUADTREE中使用他簡直是噩夢，在上面我們調用了10次，如 果我們想調用20次，我們不得不告訴FOR循環使用20次，而遞歸只需要一次。他不需要FOR或WHILE結 構，正確的代碼如下：

void Count(int num)
{
  static int ctr = 0;

  if(ctr>num)
    {return;}
  else
  {
    cout<<ctr<<"\n";
    ctr++;
    Count(num);
  }
}

void main()
{
  Count(ctr);

  return;
}

    現在讓我們看看函數CreateNode，象它的名字一樣，他用來建立節點，實際他不僅可以建立一個 節點，還可以建立整個樹，我們只要調用函數一次，

void CreateNode(unsigned int Bounding[4],unsigned int ParentID,unsigned int NodeID)

    在一個2D數組中擴展為高度為0的X和Z的面，為發現左上坐標，使用下面的公式

右上為:

 

左下?

 

右下?

 

 

 

    數學并不困難，現在準備調用:

unsigned int uiBoundingCoordinates[] =
  {0,GridWidth,(GridHeight*(GridWidth+1)),((GridHeight)*(GridWidth+1))+GridWidth};

CreateNode(uiBoundingCoordinates,0,0);

    父節點已經建立好了，我們可以通過CreateNode來工作了。.

void CreateNode(unsigned int Bounding[4],unsigned int ParentID,unsigned int NodeID)
{
  static unsigned int TotalTreeID = 0;

  unsigned int uiNodeType;
  unsigned int uiWidth,uiHeight;

    OK，靜態變量TotalTreeID保存了當前的節點數目，我們最后使用他來將子節點與他們的ID聯系起 來，uiNodeType保存節點的類型，uiWidth,uiHeight保存節點的寬和高，由于我們傳送的是包圍坐 標，實際上我們并不知道節點的大小，我們使用uiWidth,uiHeight來告訴節點是葉節點還是普通節點 ，現在需要從包圍坐標中獲得uiWidth,uiHeight:

  uiWidth = fVerts[(Bounding[1]*3)] - fVerts[(Bounding[0]*3)];
  uiHeight = fVerts[(Bounding[2]*3)+2] - fVerts[(Bounding[0]*3)+2];

    T這里假設fVerts是一個包含頂點列表的數組，每個頂點包含3個部件，X，Y，Z，如果我們有頂點的 索引，就可以獲得指向這個頂點的指針，

Figure 14

 

 

    如同你看見的一樣，索引0指向element[0]，element[0]是頂點0的X部件，依次類推。 現在，我們說我們的葉節點是4*4的三角形，這意味著葉寬為4三角形，由于我們知道節點的寬度（存儲 在uiWidth），如果我們分割寬度的結果為2，那么意味著這個寬度為4，這個節點就是一個葉節點，

  if(0.5*uiWidth==2)
  {
    uiNodeType = LEAF_TYPE;
  }
  else
  {
    uiNodeType = NODE_TYPE;
  }

    接著，我們想得到一個指向我們節點的指針，pNodeList包含所有我們的節點，我們需要選擇一個。

  NODE *pNode = &pNodeList[NodeID];

    向節點內填充內容

  pNodeList[NodeID].uID = Whatever;

    我們可以簡單的做:

  pNode->uiID = Whatever;

    用我們得到的值填充

  pNode->uiID = NodeID;
  pNode->uiParentID = ParentID;

  pNode->vBoundingCoordinates[0].x = fVerts[(Bounding[0]*3)];
  pNode->vBoundingCoordinates[0].y = fVerts[(Bounding[0]*3)+1];
  pNode->vBoundingCoordinates[0].z = fVerts[(Bounding[0]*3)+2];

  pNode->vBoundingCoordinates[1].x = fVerts[(Bounding[1]*3)];
  pNode->vBoundingCoordinates[1].y = fVerts[(Bounding[1]*3)+1];
  pNode->vBoundingCoordinates[1].z = fVerts[(Bounding[1]*3)+2];

  pNode->vBoundingCoordinates[2].x = fVerts[(Bounding[2]*3)];
  pNode->vBoundingCoordinates[2].y = fVerts[(Bounding[2]*3)+1];
  pNode->vBoundingCoordinates[2].z = fVerts[(Bounding[2]*3)+2];

  pNode->vBoundingCoordinates[3].x = fVerts[(Bounding[3]*3)];
  pNode->vBoundingCoordinates[3].y = fVerts[(Bounding[3]*3)+1];
  pNode->vBoundingCoordinates[3].z = fVerts[(Bounding[3]*3)+2];

  pNode->bType = uiNodeType;

    現在我們還沒有處理葉節點，一旦我們分配了葉節點，我們將返回調用函數，在真實的世界里，你 或許希望得到一個指向數組或三角形的葉節點指針，如果你仔細看過NODE結構，你將注意變量 uiVertexStrip1...4，如果你愿意的話，可以在里面填充三角形，.

  if(uiNodeType == LEAF_TYPE)
  {
    return;
  }
  else
  {

    下面，我們需要處理節點的子節點

    unsigned int BoundingBox[4];
    TotalTreeID++;
    pNode->uiBranches[0] = TotalTreeID;

    //Top-Left i.e. b[0]
    BoundingBox[0] = Bounding[0];
    //Between b[0] and b[1]
    BoundingBox[1] = Bounding[0]+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
    //[between b[0] and b[2]
    BoundingBox[2] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2);
    //middle of node
    BoundingBox[3] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);

    CreateNode(BoundingBox,NodeID,TotalTreeID);

    很簡單，自己看吧，

    //******************************************************************************

    TotalTreeID++;
    pNode->uiBranches[1] = TotalTreeID;

    // Between b[0] and b[1]
    BoundingBox[0] = Bounding[0]+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
    //Top-Right i.e. b[1]
    BoundingBox[1] = Bounding[1];
    //middle of node
    BoundingBox[2] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
    //between b[1] & b[3]
    BoundingBox[3] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0]));

    CreateNode(BoundingBox,NodeID,TotalTreeID);

    //******************************************************************************

    TotalTreeID++;
    pNode->uiBranches[2] = TotalTreeID;

    //between b[0] and b[2]
    BoundingBox[0] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2);
    //middle of node
    BoundingBox[1] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
    //Bottom-Left i.e. b[2]
    BoundingBox[2] = Bounding[2];
    //between b[2] and b[3]
    BoundingBox[3] = Bounding[2]+((Bounding[3]-Bounding[2])/2);

    CreateNode(BoundingBox,NodeID,TotalTreeID);

    //******************************************************************************

    TotalTreeID++;
    pNode->uiBranches[3] = TotalTreeID;

    //middle of node
    BoundingBox[0] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
    //between b[1] and b[3]
    BoundingBox[1] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2) + uiWidth;
    //between b[2] and b[3]
    BoundingBox[2] = Bounding[2]+((Bounding[3]-Bounding[2])/2);
    //Bottom-Right i.e. b[3]
    BoundingBox[3] = Bounding[3];

    CreateNode(BoundingBox,NodeID,TotalTreeID);
  }

    All we need to do is return nothing and end CreateNode's curly brackets:

  return;
}

    And that's about it. You can download the fully annotated source and executable here.