清風竹林

float SqrtByBisection(float n) //用二分法 
{ 
	if(n<0) //小于0的按照你需要的處理 
		return n; 
	float mid,last; 
	float low,up; 
	low=0,up=n; 
	mid=(low+up)/2; 
	do
	{
		if(mid*mid>n)
			up=mid; 
		else 
			low=mid;
		last=mid;
		mid=(up+low)/2; 
	}while(abs(mid-last) > eps);//精度控制
	return mid; 
} 

float SqrtByNewton(float x)
{
	float val = x;//最終
	float last;//保存上一個計算的值
	do
	{
		last = val;
		val =(val + x/val) / 2;
	}while(abs(val-last) > eps);
	return val;
}

float InvSqrt(float x)
{
	float xhalf = 0.5f*x;
	int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE 
	i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
	x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
	x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
	x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
	x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy

	return 1/x;
}

Quake-III Arena (雷神之錘3)是90年代的經典游戲之一。該系列的游戲不但畫面和內容不錯，而且即使計算機配置低，也能極其流暢地運行。這要歸功于它3D引擎的開發者約翰-卡馬克（John Carmack）。事實上早在90年代初DOS時代，只要能在PC上搞個小動畫都能讓人驚嘆一番的時候，John Carmack就推出了石破天驚的Castle Wolfstein, 然后再接再勵，doom, doomII, Quake...每次都把3-D技術推到極致。他的3D引擎代碼資極度高效，幾乎是在壓榨PC機的每條運算指令。當初MS的Direct3D也得聽取他的意見，修改了不少API。

最近，QUAKE的開發商ID SOFTWARE 遵守GPL協議，公開了QUAKE-III的原代碼，讓世人有幸目睹Carmack傳奇的3D引擎的原碼。這是QUAKE-III原代碼的下載地址： 
http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547

(下面是官方的下載網址，搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文網頁的。ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)

我們知道，越底層的函數，調用越頻繁。3D引擎歸根到底還是數學運算。那么找到最底層的數學運算函數（在game/code/q_math.c）， 必然是精心編寫的。里面有很多有趣的函數，很多都令人驚奇，估計我們幾年時間都學不完。在game/code/q_math.c里發現了這樣一段代碼。它的作用是將一個數開平方并取倒，經測試這段代碼比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍：

float Q_rsqrt( float number )
{
	long i;
	float x2, y;
	const float threehalfs = 1.5F;

	x2 = number * 0.5F;
	y   = number;
	i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hacking
	i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
	y   = * ( float * ) &i;
	y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
	// y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

	#ifndef Q3_VM
	#ifdef __linux__
		 assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
	#endif
	#endif
	return y;
}  

函數返回1/sqrt(x)，這個函數在圖像處理中比sqrt(x)更有用。 
注意到這個函數只用了一次疊代！（其實就是根本沒用疊代，直接運算）。編譯，實驗，這個函數不僅工作的很好，而且比標準的sqrt()函數快4倍！要知道，編譯器自帶的函數，可是經過嚴格仔細的匯編優化的啊！ 
這個簡潔的函數，最核心，也是最讓人費解的，就是標注了“what the fuck?”的一句 
      i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

再加上y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); 
兩句話就完成了開方運算！而且注意到，核心那句是定點移位運算，速度極快！特別在很多沒有乘法指令的RISC結構CPU上，這樣做是極其高效的。

算法的原理其實不復雜,就是牛頓迭代法,用x-f(x)/f'(x)來不斷的逼近f(x)=a的根。

沒錯，一般的求平方根都是這么循環迭代算的但是卡馬克(quake3作者)真正牛B的地方是他選擇了一個神秘的常數0x5f3759df 來計算那個猜測值，就是我們加注釋的那一行，那一行算出的值非常接近1/sqrt(n)，這樣我們只需要2次牛頓迭代就可以達到我們所需要的精度。好吧如果這個還不算NB,接著看:

普渡大學的數學家Chris Lomont看了以后覺得有趣，決定要研究一下卡馬克弄出來的這個猜測值有什么奧秘。Lomont也是個牛人，在精心研究之后從理論上也推導出一個最佳猜測值，和卡馬克的數字非常接近, 0x5f37642f。卡馬克真牛，他是外星人嗎？

傳奇并沒有在這里結束。Lomont計算出結果以后非常滿意，于是拿自己計算出的起始值和卡馬克的神秘數字做比賽，看看誰的數字能夠更快更精確的求得平方根。結果是卡馬克贏了... 誰也不知道卡馬克是怎么找到這個數字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一個數字一個數字試過來，終于找到一個比卡馬克數字要好上那么一丁點的數字，雖然實際上這兩個數字所產生的結果非常近似，這個暴力得出的數字是0x5f375a86。

Lomont為此寫下一篇論文，"Fast Inverse Square Root"。 論文下載地址： 
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf 
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf

參考：<IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic><FAST INVERSE SQUARE ROOT>

最后，給出最精簡的1/sqrt()函數：

float InvSqrt(float x)
{
	float xhalf = 0.5f*x;
	int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE 
	i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
	x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
	x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
	return x;
}  

大家可以嘗試在PC機、51、AVR、430、ARM、上面編譯并實驗，驚訝一下它的工作效率。

前兩天有一則新聞，大意是說 Ryszard Sommefeldt 很久以前看到這么樣的一段 code (可能出自 Quake III 的 source code)：

float InvSqrt (float x) 
{
	float xhalf = 0.5f*x;
	int i = *(int*)&x;
	i = 0x5f3759df - (i>>1);
	x = *(float*)&i;
	x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
	return x;
}

他一看之下驚為天人，想要拜見這位前輩高人，但是一路追尋下去卻一直找不到人；同時間也有其他人在找，雖然也沒找到出處，但是 Chris Lomont 寫了一篇論文 (in PDF) 解析這段 code 的算法 (用的是 Newton’s Method，牛頓法；比較重要的是后半段講到怎么找出神奇的 0x5f3759df 的)。 
PS. 這個 function 之所以重要，是因為求 開根號倒數 這個動作在 3D 運算 (向量運算的部份) 里面常常會用到，如果你用最原始的 sqrt() 然后再倒數的話，速度比上面的這個版本大概慢了四倍吧… XD 
PS2. 在他們追尋的過程中，有人提到一份叫做 MIT HACKMEM 的文件，這是 1970 年代的 MIT 強者們做的一些筆記 (hack memo)，大部份是 algorithm，有些 code 是 PDP-10 asm 寫的，另外有少數是 C code (有人整理了一份列表)