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位運算之美——用+,-和位運算實現整數除法和取模(一)

??? 今天看了一位師兄去年的筆經總結，其中有一題是“不許用%和/來實現求任意數除以3的余數”，我想考官的目的應該是想考察學生對位運算的熟悉程度吧，于是我把題目擴展成“只能用+,-和位運算實現整數除法(/)和取模(%)”，注意：這里不能使用其它的庫例程來輔助計算，如log,log10等。在思考這道題目的過程中，我又涉及到了許多二進制相關的題目，如：
??? 判斷給定的整數是不是2的整數次冪
??? 判斷給定的整數是不是4的整數次冪
??? 求給定整數的二進制表示中1的個數
??? 求給定整數的二進制表示中0的個數
??? 求給定整數的二進制表示中最高位1的位置
??? 求大于等于給定整數的最小的2的整數次冪
??? 求給定整數的二進制表示的有效位數
??? ...
??? 這些題目都是經典老題，頻繁出現于各類筆試面試題中，除了能考察位運算外，還能考察應聘者能否給出創新的算法來更好地解決問題。可以說這些題目都不難，如果使用32位的int來表示整數的話，蠻力法都可以比較好地完成任務，但是如果想盡可能地提高效率，那就需要動一番腦經了。下面給出我對這些問題的整理和C++實現，并在此基礎上給出原題(只能用+,-和位運算實現整數除法(/)和取模(%)，下文都稱為原題)的實現。
??? 當然，從某種意義上講，特別是從充分利用底層硬件的計算能力(利用特殊的cpu指令)來看，這些解法肯定不是最優的，希望大俠們多多指點。
??? 還要說明的是，下面各題的順序是按照我在思考原題時的思維過程來安排的，在給出原題的實現時會詳細說明。
??? 判斷給定的整數是不是2的整數次冪
??? 這應該是最簡單的，利用最高位是1，其后所有位為0的特性，常數時間解決問題：

????求給定整數的二進制表示中1的個數
????考慮到n-1會把n的二進制表示中最低位的1置0并把其后的所有0置1，同時不改變此位置前的所有位，那么n&(n-1)即可消除這個最低位的1。這樣便有了比順序枚舉所有位更快的算法：循環消除最低位的1，循環次數即所求1的個數。此算法的時間復雜度為O(n的二進制表示中的1的個數)，最壞情況下的復雜度O(n的二進制表示的總位數)。
??? 既然有了求給定整數的二進制表示中1的個數的辦法，那么想要求給定整數的二進制表示中0的個數就很簡單了。事實上，在二進制中，完全可以把0和1看作是對稱的兩個對象，取反操作(~)可以任意的切換這兩個對象，只要先對n進行一次取反，然后再用上述算法即能得到二進制表示中0的個數。首先看下面的代碼：
??? 不知大家有沒有看出問題來？是的~操作符會把所有高位的都取反，而不是只把有效位取反，所以我們需要一個能保持高位不變的位取反操作，下面是我的實現，時間復雜度和求二進制表示中1的個數的算法相同，都與二進制表示中1的個數有關：
??? 有了這個特殊的取反操作，求給定整數的二進制表示中0的個數的辦法就簡單了：
??? 看到這里，聰明的讀者肯定看出問題來了，其實我干了一件很蠢的事情。看看上述算法的時間復雜度，negate_bits花了O(n的二進制表示中1的個數)，while循環計算取反后的n的二進制表示中1的個數，事實上就是O(n的二進制表示中0的個數)，兩部分加起來其實就是二進制表示總的有效位數，換句話說，這個算法是線性的，而事實上，我們完全可以先線性地求出這個總的有效位數，然后減去1的位數，即得到0的位數，根本不用費那么大勁去整個保持高位的取反操作，兩者的時間復雜度在漸進意義上也是相同的。所以，我犯傻了，但是這里又引出另一個問題：

????求給定整數的二進制表示的有效位數
??? 上面提到了線性地求這個位數(下文記為m)，即“循環右移1位，記錄右移次數”，時間復雜度O(m)。但是我想，一看到這個題目，所有人的第一反應應該是floor(log₂(n))+1吧，但是請注意，本文在一開始就規定了“不能使用庫例程”，那么在這個限制下該怎么做呢？有沒有比線性時間更好的算法呢？其實到目前為止我也沒有什么特別好的算法，希望誰有什么精妙的算法能指點一下，不要打我。。。

?1//求給定整數的二進制表示的位數，線性算法
?2int?count_bit_1(unsigned int?n)
?3{
?4????int?r?=?0;
?5????while(n)
?6????{
?7????????n>>=1;
?8????????r++;
?9????}
10????return?r;
11}

:???求大于等于給定整數的最小的2的整數次冪
????首先是最簡單的思路：求出n的二進制表示的總位數m，于是1<<m即為所求值，當然這里要排除n自身就是2的整數次冪的情況，復雜度O(m)，實現如下：
??? 事實上這就涉及到上面求二進制表示位數的問題，所以目前為止在此基礎上的算法都是線性時間的。???
??? 那有沒有不用計算位數m，從而效率更好的算法呢，能不能像在計算二進制表示中1的個數時那樣根據1的個數來設計算法呢？回到那一題中，“n-1會把n的二進制表示中最低位的1置0并把其后的所有0置1”，那么n|=n-1就把n的二進制表示中最低位1后的所有0置1，再加上1，那么就把最低位1左移了一位。于是，便有了更好的算法：循環左移最低位的1，直到n是2的整數次冪。該算法跟二進制表示中的1個數和位置有關，最壞時間復雜度還是O(二進制表示位數)，但是比起上一個實現，這個算法在多數情況下都比上一個算法快。實現如下：
????
??? 最后來一個簡單的擴充題目：
??? 判斷給定的整數是不是4的整數次冪
????觀察4的整數次冪的特征，容易發現除了滿足n&(n-1)==0外，唯一的1位后的0的個數是偶數，這從4^x=2^2k也能簡單地得到。這就很直觀地衍生出一個簡單的算法：
????算法很直觀，但是比起is_2exp的常數時間is_4exp的線性時間總讓我覺得不能接受，不過無奈還是沒有想出好辦法來，哎。。。求大牛指點啊

??? 說明：寫這篇文章，已經三次丟失全文了，把我快搞瘋了，firefox下好像有點問題，先把文章發上來，過會兒換到IE下繼續。。。
??? 再說明：換了IE后就沒再出問題了，不過寫著寫著發現寫了好久，先歇會兒，得看書補習功課了
??? 最后的說明：下次會基于上面的內容，給本文最初提出的問題(只能用+,-和位運算實現整數除法(/)和取模(%))的實現