最近寫程序的時候、碰到一個問題。其實就是將celing函數用C++默認的除法運算（向下取整）表示出來。所以我打算總結下整值函數。
Firth.首先我們要熟悉頂函數和底函數，最好的方式就是了解他們的圖形。
由于數學符號在這里不好寫出來，我們用floor來表示底，celing表示頂。
圖形其實就是以f（x） = x 為分界線，這邊就不畫出來了。向下取整組成的坐標點就是（x, floor(x)）
這些剛好就是在f（x） = x下方的，而向上取整則是在上方的。
Tips：
所以從圖像中我們可以發現一下兩個等式（位移、奇函數）
1.x – 1 < floor(x) <= x <= celing(x) < x + 1 (可以通過位移圖像來得出該不等式)
2.floor(-x) = – celing(x) 或者 celing(-x) = – floor(x) （這個其實可以簡單記為奇函數）
Second.兩條法則（你要細分成4條我也不反對）
1.floor(x) = n 等價于 n <= x < n + 1 等價于 x – 1 < n <= x
2.celing(x) = n 等價于 n - 1 < x <= n 等價于 x <= n < x + 1
Tips：
1.其中n是整數，x是實數
2.floor（x + n） = floor（x） + n （因為有上面法則有 floor(x) + n <= x + n < floor(x) + n + 1）.
3.但floor(nx) != n*floor(x)
Third.實數和整數之間的關系，其實都等價于一個頂或底函數于整數的關系。
1.x < n 等價于 floor(x) < n
2.n < x 等價于 n < celing(x)
3.x <= n 等價于 celing(x) <= n
4.n <= x 等價于 n <= floor(x)
Tips
1.celing相當于擴大、floor相當于縮小
2.取到n，則看能取到最大或者最小，最大取celing、最小floor。
不達n，則縮小或擴大x等式不變。
3.floor(x + y) 等于 floor(x) + floor(y) 或者是 floor(x) + floor(y) + 1
x = floor(x) + {x}, y = floor(y) + {y},then
x + y = floor(x) + floor(y) + {x} + {y},then
floor(x + y) = floor(x) + floor(y) + floor( {x} + {y})
and because 0<={x} < 1 and so do {y},so
0<={x} + {y} <2,so floor({x} + {y}) = 0 or 1
應用：
在程序中應用之前，我先說下一個等式的證明
celing（n / m） = floor( (n + m – 1) / m)
這里n 、m都是整數，而且m是正整數。
證明：
因為celing(n /m) – floor(n /m) = celing（n / m – floor(n / m)）
= celing(1/m * ( n – m*floor(n / m))) = celing((n mod m) / m)-------------(1)利用了上面兩條法則中Tips的第二點
同理可以得出floor((n + m –1) /m) = floor((n mod m + m – 1) / m)---------- (2)
由(1)可以得到celing((n mod m )/ m) = 1
由(2)可以得到floor((n mod m + m – 1) / m) = 1 (因為n mod m + m – 1 < 2 *m –1)
所以可以一步步向上反推得到上面的公式。（其實這是一種分而自治的證明思想）
具體在程序中的應用例如：
當你要在C++中寫如下代碼時候，而且n 、m都是整數。
則celing(n * 1.0 / m) = floor( (n – 1) / m) + 1
由于C++中除運算就是向下取整，所以
celing(n * 1.0 / m) = (n - 1) / m + 1
那么什么地方用得到，比如你在做大數運算時侯，要進行，分組，要8位一組
然后算出一個可以分成幾組。可以直接利用這個原理，而不用再其進行函數的
調用，比如你在閱讀人家的代碼時候、有時候就會這樣寫。
下次你碰到這種代碼就會知道什么意思，和為什么能表示成這樣了。