最近寫程序的時候、碰到一個問題。其實就是將celing函數用C++默認的除法運算（向下取整）表示出來。所以我打算總結下整值函數。

Firth.首先我們要熟悉頂函數和底函數，最好的方式就是了解他們的圖形。

由于數學符號在這里不好寫出來，我們用floor來表示底，celing表示頂。

圖形其實就是以f（x） = x 為分界線，這邊就不畫出來了。向下取整組成的坐標點就是（x, floor(x)）

這些剛好就是在f（x） = x下方的，而向上取整則是在上方的。

Tips：

所以從圖像中我們可以發現一下兩個等式（位移、奇函數）

1.x – 1 < floor(x) <= x <= celing(x) < x + 1 (可以通過位移圖像來得出該不等式)

2.floor(-x) = – celing(x) 或者 celing(-x) = – floor(x) （這個其實可以簡單記為奇函數）

Second.兩條法則（你要細分成4條我也不反對）

1.floor(x) = n 等價于 n <= x < n + 1 等價于 x – 1 < n <= x

2.celing(x) = n 等價于 n - 1 < x <= n 等價于 x <= n < x + 1

Tips：

1.其中n是整數，x是實數

2.floor（x + n） = floor（x） + n （因為有上面法則有 floor(x) + n <= x + n < floor(x) + n + 1）.

3.但floor(nx) != n*floor(x)

Third.實數和整數之間的關系，其實都等價于一個頂或底函數于整數的關系。

1.x < n 等價于 floor(x) < n

2.n < x 等價于 n < celing(x)

3.x <= n 等價于 celing(x) <= n

4.n <= x 等價于 n <= floor(x)

Tips

1.celing相當于擴大、floor相當于縮小

2.取到n，則看能取到最大或者最小，最大取celing、最小floor。

   不達n，則縮小或擴大x等式不變。

3.floor(x + y) 等于 floor(x) + floor(y) 或者是 floor(x) + floor(y) + 1

   x = floor(x) + {x}, y = floor(y) + {y},then

   x + y = floor(x) + floor(y) + {x} + {y},then

   floor(x + y) = floor(x) + floor(y) + floor( {x} + {y})

   and because  0<={x} < 1 and so do {y},so

  0<={x} + {y} <2,so floor({x} + {y}) = 0 or 1

應用：

   在程序中應用之前，我先說下一個等式的證明

   celing（n / m） = floor( (n + m – 1) / m)

   這里n 、m都是整數，而且m是正整數。

證明：

    因為celing(n /m) – floor(n /m) = celing（n / m – floor(n / m)）

    = celing(1/m * ( n – m*floor(n / m))) = celing((n mod m) / m)-------------(1)利用了上面兩條法則中Tips的第二點

     同理可以得出floor((n + m –1) /m) = floor((n mod m + m – 1) / m)---------- (2)

   由(1)可以得到celing((n mod m )/ m) = 1

   由(2)可以得到floor((n mod m + m – 1) / m) = 1 (因為n mod m + m – 1 < 2 *m –1)

   所以可以一步步向上反推得到上面的公式。（其實這是一種分而自治的證明思想）

具體在程序中的應用例如：

當你要在C++中寫如下代碼時候，而且n 、m都是整數。

則celing(n * 1.0 / m) = floor( (n – 1) / m) + 1

由于C++中除運算就是向下取整，所以

celing(n * 1.0 / m) = (n - 1) / m + 1
那么什么地方用得到，比如你在做大數運算時侯，要進行，分組，要8位一組
然后算出一個可以分成幾組。可以直接利用這個原理，而不用再其進行函數的
調用，比如你在閱讀人家的代碼時候、有時候就會這樣寫。

下次你碰到這種代碼就會知道什么意思，和為什么能表示成這樣了。