整值函数的研究和在�E�序中的应用

swp — Wed, 03 Sep 2014 07:06:00 GMT

最�q�写�E�序的时候、碰��C��个问题。其实就是将celing函数用C++默认的除法运��（向下取整�Q�表�C�出来。所以我打算�ȝ��下整值函数�?/strong>

Firth.首先我们要熟悉顶函数和底函数�Q�最好的方式��是了解他们的图形�?/strong>

�׃��数学�W�号在这里不好写出来�Q�我们用floor来表�C�底�Q�celing表示��?/strong>

囑�Ş其实��是以f�Q�x�Q?= x 为分界线�Q�这边就不画出来了。向下取整组成的坐标点就是（x, floor(x)�Q?/strong>

�q�些刚好��是在f�Q�x�Q?= x下方的，而向上取整则是在上方的�?/strong>

Tips�Q?/strong>

所以从囑փ�中我们可以发��C��下两个等式（位移、奇函数�Q?/strong>

1.x – 1 < floor(x) <= x <= celing(x) < x + 1 (可以通过位移囑փ�来得��不等�?

2.floor(-x) = – celing(x) 或�?celing(-x) = – floor(x) �Q�这个其实可以简单记为奇函数�Q?/strong>

Second.两条法则�Q�你要细分成4条我也不反对�Q?/strong>

1.floor(x) = n �{��h�?n <= x < n + 1 �{��h�?x – 1 < n <= x

2.celing(x) = n �{��h�?n - 1 < x <= n �{��h�?x <= n < x + 1

Tips�Q?/strong>

1.其中n是整敎ͼ�x是实�?/strong>

2.floor�Q�x + n�Q?= floor�Q�x�Q?+ n �Q�因为有上面法则�?floor(x) + n <= x + n < floor(x) + n + 1�Q?

3.但floor(nx) != n*floor(x)

Third.实数和整��C��间的关系�Q�其实都�{��h于一个顶或底函数于整数的关系�?/strong>

1.x < n �{��h�?floor(x) < n

2.n < x �{��h�?n < celing(x)

3.x <= n �{��h�?celing(x) <= n

4.n <= x �{��h�?n <= floor(x)

Tips

1.celing相当于扩大、floor相当于羃��?/strong>

2.取到n�Q�则看能取到最大或者最��，最大取celing、最��floor�?/strong>

   不达n�Q�则�~�小或扩大x�{�式不变�?/strong>

3.floor(x + y) �{�于 floor(x) + floor(y) 或者是 floor(x) + floor(y) + 1

   x = floor(x) + {x}, y = floor(y) + {y},then

   x + y = floor(x) + floor(y) + {x} + {y},then

   floor(x + y) = floor(x) + floor(y) + floor( {x} + {y})

   and because 0<={x} < 1 and so do {y},so

0<={x} + {y} <2,so floor({x} + {y}) = 0 or 1

应用�Q?/strong>

   在程序中应用之前�Q�我先说下一个等式的证明

   celing�Q�n / m�Q?= floor( (n + m – 1) / m)

   �q�里n 、m都是整数�Q�而且m是正整数�?/strong>

证明�Q?/strong>

    因�ؓceling(n /m) – floor(n /m) = celing�Q�n / m – floor(n / m)�Q?/strong>

    = celing(1/m * ( n – m*floor(n / m))) = celing((n mod m) / m)-------------(1)利用了上面两条法则中Tips的第二点

     同理可以得出floor((n + m –1) /m) = floor((n mod m + m – 1) / m)---------- (2)

   �?1)可以得到celing((n mod m )/ m) = 1

   �?2)可以得到floor((n mod m + m – 1) / m) = 1 (因�ؓn mod m + m – 1 < 2 *m –1)

   所以可以一步步向上反推得到上面的公式。（其实�q�是一�U�分而自�ȝ��证明思想�Q?br />

具体在程序中的应用例如：

当你要在C++中写如下代码时候，而且n 、m都是整数�?/strong>

则celing(n * 1.0 / m) = floor( (n – 1) / m) + 1

�׃��C++中除�q�算��是向下取整�Q�所�?/strong>

celing(n * 1.0 / m) = (n - 1) / m + 1
那么什么地方用得到�Q�比如你在做大数�q�算时侯�Q�要�q�行�Q�分�l�，�?位一�l?br />然后��出一个可以分成几�l�。可以直接利用这个原理，而不用再其进行函数的
调用�Q�比如你在阅��M�h家的代码时候、有时候就会这样写�?br />

下次你碰到这�U�代码就会知道什么意思，和�ؓ什么能表示成这样了�?/strong>

swp 2014-09-03 15:06 发表评论

swp — Fri, 29 Aug 2014 15:44:00 GMT

�׃��是数学，所以要严�}。我们对于映��的概念直接摘抄来自同济大学的高数课本�?/span>
映射的概念：
设X和Y是两�?/span>非空�?/span>集合。存在一个法则T�Q��得X中的每个元素x按照法则T�Q�在Y中都有一个唯一元素y与之对应�?/span>
那么T��q��为X到Y的映��。记为T�Q�X-->Y.
�Q?�Q�X�U�CؓT的定义域、Y�U�CؓT的值域。而且y�U�Cؓx的像�Q�x�U�Cؓ原像�?br />�Q?�Q�函数、算子、都是映��的别名�?br />Tips�Q?/strong>
��Z��更好的理解、其实学�q�图论，��很好理解、可以把X看成起始炚w��合、Y看成�l�点集合、那么映��就是从起始点出发、都只有一条�\径可以到对应的达�l�点�Q�也��是说如果存在从某个起始�Ҏ��两条路径可以到达不同的两个终点，��׃��叫映��）�?br />所�?span style="color: #008000; font-size: 12pt;">所谓的�?span style="color: #008000; font-size: 12pt;">��是�l�点、原像就是�v始点�?br />
满射、单��、一一映射�Q?br />满射�Q�在映射的概念下�Q�不存在孤立的终炏V�?��q��当于很多��岛�Q�分为左右两半。左边的每个��岛都只有一座桥到达双��的一个小岛，不存在其它桥可以在去其它��岛�Q�然后右边的��岛都有桥连接，�q�就叫满��?�?br />单射�Q�单��就是不存在两个左边的小岛可以和双��的同一座小岛徏立了桥�?/strong>
一一映射�Q�同时满��以上两�?/strong>
严�}的数学定义：
设T是集合X到Y的映��，诺T(X)=Y�Q�即Y中�Q一元素均是X中某元素的像�Q�则陈T为X到Y上的满射�?br />对�Q意x1、x2属于X�Q�x1 <>x2,必定有T�Q�x1�Q?lt;>T�Q�x2�Q�，则陈T为X到Y上的单射�?br />一一映射�Q�满��以上两个�?br />
逆映��、复合映��：
�q�两个的数学定义��׃��讲了、去��ȝ��高数课本。主要�ȝ��下从��L��化的图来理解的角度�?br />逆映��：也就是在一一映射的基��下，反客��Z��。把起始点变成终炏V��终点变成�v始点�?br />复合映射�Q�复合映��说的是在映��的基础下、对于第三方岛屿、右边的岛屿都有建桥到第三方的岛屿（��x��到�W�三方，但第三方可能存在孤岛�Q�。则我们��可以把双��看作中间炏V��左边的岛屿也都有到�W�三方岛屿的路径。（左边映射到第三方�Q�但�W�三方可能存在孤�?/strong>
�Q?br />数学记号�Q?/span>
映射T的逆映��记为T(-1)(y) = x.
T1、T2两个映射复合映射��Cؓ�Q�T2 。T1
上面句号是在正中�?

swp 2014-08-29 23:44 发表评论

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整值函数的研究和在�E�序中的应用