在泛函分析中，卷積、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子，表征函數f 與經過翻轉和平移的g 的重疊部分的累積。
如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。

基本內涵

簡單介紹
卷積的定義

卷積的定義

卷積是分析數學中一種重要的運算。
設:f(x),g(x)是R1上的兩個可積函數，作積分（如右圖）：
可以證明，關于幾乎所有的實數x，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為函數f與g的卷積，記為h(x)=(f*g)(x)。
容易驗證，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。
卷積與傅里葉變換有著密切的關系。利用一點性質，即兩函數的傅里葉變換的乘積等于它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。
由卷積得到的函數f*g一般要比f和g都光滑。特別當g為具有緊致集的光滑函數，f為局部可積時，它們的卷積f * g也是光滑函數。利用這一性質，對于任意的可積函數f，都可以簡單地構造出一列逼近于f的光滑函數列fs，這種方法稱為函數的光滑化或正則化。

定義

卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。
卷積是兩個變量在某范圍內相乘后求和的結果。如果卷積的變量是序列x(n)和h(n)，則卷積的結果
，
其中星號*表示卷積。當時序n=0時，序列h(-i)是h(i)的時序i取反的結果；時序取反使得h(i)以縱軸為中心翻轉180度，所以這種相乘后求和的計算法稱為卷積和，簡稱卷積。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n對應不同的卷積結果。
如果卷積的變量是函數x(t)和h(t)，則卷積的計算變為
，
其中p是積分變量，積分也是求和，t是使函數h(-p)位移的量，星號*表示卷積。
參考《數字信號處理》楊毅明著，p.55、p.188、p.264，機械工業出版社2012年發行。
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“卷積”是什么？

看到科學網上幾篇關于卷積的博文，也頗為受益。的確，卷積是一個極為重要的運算，其定義事實上是自然的。但由于我們教材中過于拘泥于形式，從而使得學生感覺這是個天上掉下來的東西。我第一次接觸卷積之時便有此感覺。不過，在后期逐漸接觸之中，形成了一些自己的淺見，并在課堂之上經常提起。僅記于此，以為交流之便宜。

首先，卷積的定義是如何而來？事實上，卷積命名讓人有些疏離之感。但是，倘若我們將其稱之為“加權平均積”，那便容易接受的多。的確，卷積的離散形式便是人人會用的加權平均，而連續形式則可考慮為對連續函數的加權平均。假如我們觀測或計算出一組數據。但數據由于受噪音的污染并不光滑，我們希望對其進行人工處理。那么，最簡單的方法就是加權平均。例如，我們想對數據x_j進行修正，可加權平均為
w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。
此處，w為選擇的權重，如果可選擇0.1等等。
這里實際上是用兩邊的數據對中間的數據進行了一點修正。上面的公式，實際上是兩個序列在做離散卷積，其中一個序列是
......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，
另一個序列是
.....,x_1,x_2,x_3,......
將上述簡單的思想推而廣之，便是一般的卷積。若把序列換為函數，則就是我們通常卷積的定義。這時候，你可以考慮為一個函數對另外一個函數做加權平均。不過，一個扮演的是權重角色，另一個則扮演被平均的角色。

那么，卷積為什么重要？猶如乘積無處不在，卷積也是無處不在的。究其原因就便是：卷積是頻域上的乘積！
但凡對Fourier變換有些了解，便知道一個函數可從兩個方面來看：時域和頻域。Fourier變換宛如西游記中的照妖鏡，任何函數在其面前都會展現出另外一面。所以，很多時候我們如果對一個函數看不清楚，那就在照妖鏡里看一下，做一下Fourier變換，便會豁然開朗。而函數的性質，經過Fourier變換之后，也會有與之相對應的性質。例如，函數的光滑性經過Fourier變換后，便是其在無窮遠處趨向于0的速度。那么，函數的乘積經過Fourier變換后，便是卷積！因此，卷積實際上是乘積的另外一面，不過這一面需要借助照妖鏡才可以看到，所以讓我們感覺有些陌生。卷積，Fourier變換與乘積是緊密聯系在一起的。因此：
                     有卷積的地方，便會有Fourier變換；有Fourier變換的地方，便會有卷積！
想想Fourier變換的應用范圍，便不難理解卷積的重要。

說了半天，我們的學生，甚至于數學專業的大學畢業生，為什么會對卷積感覺莫測與神奇呢？我在以前的博文里面提過，我們大學的數學教育似乎比較輕視Fourier變換。事實上，我們承襲了中學數學教育的傳統，喜歡在技巧性強的地方大做文章。高等數學里面，兩個地方學生花費時間甚多：一是中值定理，一是不定積分。因為這兩處最容易出現技巧性強的題目。但是，對于Fourier變換這種帶有新思想的地方卻著力不足。就像我前面所說：有卷積的地方，便會有Fourier變換。也就不難理解，學生對卷積陌生的根本原因是教學方面對Fourier變換的輕視。

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