參考《數(shù)字信號處理》楊毅明著，p.55、p.188、p.264，
機械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。
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“卷積”是什么？
看到科學(xué)網(wǎng)上幾篇關(guān)于卷積的博文，也頗為受益。的確，卷積是一個極為重要的運算，其定義事實上是自然的。但由于我們教材中過于拘泥于形式，從而使得學(xué)生感覺這是個天上掉下來的東西。我第一次接觸卷積之時便有此感覺。不過，在后期逐漸接觸之中，形成了一些自己的淺見，并在課堂之上經(jīng)常提起。僅記于此，以為交流之便宜。
首先，卷積的定義是如何而來？事實上，卷積命名讓人有些疏離之感。但是，倘若我們將其稱之為“加權(quán)平均積”，那便容易接受的多。的確，卷積的離散形式便是人人會用的加權(quán)平均，而連續(xù)形式則可考慮為對連續(xù)函數(shù)的加權(quán)平均。假如我們觀測或計算出一組數(shù)據(jù)。但數(shù)據(jù)由于受噪音的污染并不光滑，我們希望對其進行人工處理。那么，最簡單的方法就是加權(quán)平均。例如，我們想對數(shù)據(jù)x_j進行修正，可加權(quán)平均為
w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。
此處，w為選擇的權(quán)重，如果可選擇0.1等等。
這里實際上是用兩邊的數(shù)據(jù)對中間的數(shù)據(jù)進行了一點修正。上面的公式，實際上是兩個序列在做離散卷積，其中一個序列是
......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，
另一個序列是
.....,x_1,x_2,x_3,......
將上述簡單的思想推而廣之，便是一般的卷積。若把序列換為函數(shù)，則就是我們通常卷積的定義。這時候，你可以考慮為一個函數(shù)對另外一個函數(shù)做加權(quán)平均。不過，一個扮演的是權(quán)重角色，另一個則扮演被平均的角色。
那么，卷積為什么重要？猶如乘積無處不在，卷積也是無處不在的。究其原因就便是：卷積是頻域上的乘積！
但凡對Fourier變換有些了解，便知道一個函數(shù)可從兩個方面來看：時域和頻域。Fourier變換宛如西游記中的照妖鏡，任何函數(shù)在其面前都會展現(xiàn)出另外一面。所以，很多時候我們?nèi)绻麑σ粋€函數(shù)看不清楚，那就在照妖鏡里看一下，做一下Fourier變換，便會豁然開朗。而函數(shù)的性質(zhì)，經(jīng)過Fourier變換之后，也會有與之相對應(yīng)的性質(zhì)。例如，函數(shù)的光滑性經(jīng)過Fourier變換后，便是其在無窮遠處趨向于0的速度。那么，函數(shù)的乘積經(jīng)過Fourier變換后，便是卷積！因此，卷積實際上是乘積的另外一面，不過這一面需要借助照妖鏡才可以看到，所以讓我們感覺有些陌生。卷積，F(xiàn)ourier變換與乘積是緊密聯(lián)系在一起的。因此：
有卷積的地方，便會有Fourier變換；有Fourier變換的地方，便會有卷積！
想想Fourier變換的應(yīng)用范圍，便不難理解卷積的重要。
說了半天，我們的學(xué)生，甚至于數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)畢業(yè)生，為什么會對卷積感覺莫測與神奇呢？我在以前的博文里面提過，我們大學(xué)的數(shù)學(xué)教育似乎比較輕視Fourier變換。事實上，我們承襲了中學(xué)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)，喜歡在技巧性強的地方大做文章。高等數(shù)學(xué)里面，兩個地方學(xué)生花費時間甚多：一是中值定理，一是不定積分。因為這兩處最容易出現(xiàn)技巧性強的題目。但是，對于Fourier變換這種帶有新思想的地方卻著力不足。就像我前面所說：有卷積的地方，便會有Fourier變換。也就不難理解，學(xué)生對卷積陌生的根本原因是教學(xué)方面對Fourier變換的輕視。
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