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原文：http://www.cnblogs.com/JCSU/articles/1490363.html

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一、用矩陣運(yùn)算法解線(xiàn)性方程組

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1、矩陣運(yùn)算規(guī)則及MATLAB實(shí)例

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(1)? 矩陣加(減)法：即兩矩陣對(duì)應(yīng)元素相加減，要求兩矩陣的階數(shù)必須相同。

??????C = A + B

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(2)? 矩陣乘法：m×p階矩陣A與p×n階矩陣B的乘積C是一個(gè)m×n階的矩陣。元素C(i, j)的值為A矩陣的第i行和B矩陣的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和。

??????A*B = C

????? 矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，即：A*B ≠ B*A

例：

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(3)? 矩陣求逆：矩陣的逆陣V定義為滿(mǎn)足V*A = I (I為與A同階的單位矩陣)。只有方陣才可以求逆，而且此方陣的行列式必須不為零，det(A) ≠ 0。如果det(A)?= 0，求逆時(shí)就會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮大，此時(shí)的矩陣稱(chēng)為奇異的。

例：

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(4)? 矩陣轉(zhuǎn)置：矩陣的行列互換后構(gòu)成轉(zhuǎn)置矩陣。如果A是m×n階的，則A^T是n×m階的。

例：

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(5)? 矩陣分塊：矩陣A可以劃分成許多小矩陣。

例：

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(5)? 矩陣分解為向量：把矩陣沿行向或列向分解為單列或單行向量，常見(jiàn)的是分解為列向量。

其中：

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(6)? 行向量左乘列向量：要求兩向量的長(zhǎng)度必須一致，結(jié)果為一個(gè)標(biāo)量。得出的是向量各分量的平方和。如果這些分量是正交的，則得出的是向量的長(zhǎng)度平方。它的平方根就是向量長(zhǎng)度，也稱(chēng)為向量的范數(shù)或2范數(shù)。

行向量左乘列向量得到的是，在工程中具有這樣計(jì)算形式的問(wèn)題很多，比如用它計(jì)算兩個(gè)向量x和y之間的相關(guān)性。

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(7)? 列向量左乘行向量：如果列向量的長(zhǎng)度為n，行向量的長(zhǎng)度為m，則相乘會(huì)得出一個(gè)n×m的矩陣，這種方法常常用來(lái)生成和計(jì)算一些復(fù)雜的大矩陣。

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(8)? 矩陣乘法和冪次：A^2 = A*A,? A^n =? A*A*...*A。根據(jù)矩陣相乘內(nèi)階數(shù)必須相等，只有方陣才能乘方和冪次。

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2、初等變換乘子矩陣的生成及MATLAB實(shí)例

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本節(jié)通過(guò)將原矩陣左乘變換的單位矩陣實(shí)現(xiàn)矩陣的初等行變換：

(1) 行交換：將矩陣A的第 i , j 兩行互換位置。

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寫(xiě)成函數(shù)E1gen(A,i,j)：

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(2) 行乘數(shù)：將矩陣A的第 i 行乘以 k 。

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寫(xiě)成函數(shù)E2gen(A,i,k)：

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(3) 行相加：將矩陣的第 i 行乘以 k，加到第 j 行。

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寫(xiě)成函數(shù)E3gen(A,i,j,k)：

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實(shí)例：

要消去下列矩陣的A(2,1)，求乘子矩陣E3

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在第二行加以第一行乘 -A(2,1)/A(1,1) = -2，故令E3 = E3gen(A,1,2,-2)

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綜上可知：

1、 行階梯生成等價(jià)于矩陣左乘

因此，整個(gè)行階梯形式U的生成過(guò)程，可以看作把原矩陣左乘以一系列的初等變換矩陣E1和E3。把這些初等矩陣的連乘積寫(xiě)成EX，則有:?U=EX*A，設(shè)其逆為L(zhǎng):

從而有 L*U=A?

就是說(shuō)，A可以分解為一個(gè)準(zhǔn)下三角矩陣L和一個(gè)上三角（即行階梯）矩陣U的乘積。MATLAB提供了三角分解的函數(shù)lu，它的調(diào)用方法是：[L,U]=lu(A)

2、 lu分解是求行階梯的一個(gè)方法

用lu函數(shù)求出的U實(shí)際上就是A的行階梯形式（不是簡(jiǎn)化行階梯形式）。所以，求簡(jiǎn)化行階梯形式用rref函數(shù)，而求行階梯形式可以用lu 函數(shù)。不過(guò)，它和我們用消元運(yùn)算所得U的數(shù)據(jù)不一定相同，盡管得出的階次和階梯形狀相同。但因?yàn)樾须A梯形式可以有無(wú)數(shù)種，用不同步驟算出的結(jié)果也不同。只有變成簡(jiǎn)化行階梯形式，才能進(jìn)行比較，看它是不是惟一的。

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3、行列式

(1) 行列式的幾何意義：

行列式的幾何意義是面積或體積，它的用途很單一，就是判斷奇異性，連正負(fù)號(hào)都不必關(guān)心。

(2) 行列式的計(jì)算方法：

計(jì)算行列式的最好方法還是行階梯法，可以利用lu分解
??????????????? [L,U] = lu(A)
把A分解為一個(gè)準(zhǔn)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積。因?yàn)閐et(L) = 1，所以U和A的行列式相等。??

?????????????? det(A) = det(U)
而三角矩陣U的det(U)很好求。只要把U的主對(duì)角線(xiàn)元素連乘就可得到它的行列式。

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實(shí)例：

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用det求A的行列式值得到相同的結(jié)果：

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4、矩陣的秩和矩陣求逆

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矩陣的秩：

(1) 按定義，矩陣的秩是矩陣A中行列式不等于零的最高階子式的階次。是用以衡量聯(lián)立方程中有效方程數(shù)目的指數(shù)。
(2) 按照定義來(lái)計(jì)算矩陣的秩，可能遇到的問(wèn)題也是子矩陣的數(shù)量很大，每個(gè)矩陣的行列式計(jì)算又非常麻煩，其計(jì)算量也將是不可接受的天文數(shù)字。
(3) 計(jì)算矩陣的秩的最好方法是行階梯法，行階梯化簡(jiǎn)后非全為零的行數(shù)就是該矩陣的秩。用MATLAB函數(shù)r=rank(A)可以檢驗(yàn)A的秩，rank函數(shù)對(duì)A是否是方陣沒(méi)有要求，即可以有m≠n。

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矩陣求逆：

(1) 對(duì)于n×n方陣A，當(dāng)r=n時(shí)，稱(chēng)A是滿(mǎn)秩的，若r<n，必有det(A) = 0，稱(chēng)A是欠秩的或奇異的。奇異矩陣不可以求逆。?
(2) 矩陣求逆的最簡(jiǎn)單方法也是行階梯化簡(jiǎn)，其方法是設(shè)定一個(gè)由A和I組成的增廣矩陣C = [A,I]，求C的簡(jiǎn)化行階梯形式UC = rref([A,I])，得出UC = [I,V]。V就顯示出這個(gè)逆矩陣的內(nèi)容。

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求逆實(shí)例：

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矩陣求逆命令：V=inv(A)

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5、條件數(shù)—衡量奇異程度的量

(1) 在用數(shù)值方法計(jì)算矩陣的逆時(shí)，由于計(jì)算中的誤差，人們不大可能得到理想的零合理想的全零行，所以矩陣是否奇異，并不是那么絕對(duì)的。
(2) 為了評(píng)價(jià)矩陣接近‘奇異’的程度，采用了‘條件數(shù)’（Condition Number）作為常用的衡量指標(biāo)。它永遠(yuǎn)大于1。其數(shù)值愈接近于1，計(jì)算誤差愈小。
(3) MATLAB中，條件數(shù)用cond(A)計(jì)算，它達(dá)到10的4次方以上時(shí)，求逆的誤差就可能相當(dāng)可觀。像現(xiàn)在，條件數(shù)達(dá)到10的16次方（注：條件數(shù)是逆條件數(shù)RCOND的倒數(shù)），結(jié)果是根本不能用的。

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6、用矩陣‘除法’解線(xiàn)性方程

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(1) 如果m = n，則線(xiàn)性代數(shù)方程Ax = b中的A是方陣，設(shè)det(A)≠0，則它的逆陣存在。將上式左右同乘以inv(A) ，由于inv(A)*A = I，得到

X = inv(A)*b （1）

MATLAB創(chuàng)立了矩陣除法的概念，因?yàn)?inv(A)相當(dāng)于將A放到分母上去，所以可以把上式寫(xiě)成

X = A \ b????? （2）

‘\’就稱(chēng)為左除，因?yàn)閕nv(A)是乘在b的左方。

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(2) 左除’\’解線(xiàn)性方程的擴(kuò)展

左除‘\’的功能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了矩陣求逆函數(shù)inv，inv(A)函數(shù)要求A必須是方陣，所以（1）式只能用來(lái)解‘適定’方程，而（2）式并不要求A為方陣，在A是m×n階且m < n（欠定）時(shí)，它只要求A與b的行數(shù)相等且A的秩為m。所以（2）式也可以用來(lái)解欠定方程，在下例中可以看出。此外，運(yùn)算符‘\’還能用來(lái)解超定方程。

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例：左除’\’解欠定方程

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得到x=inf，無(wú)解。改用行階梯方法找有效行。左除要求的是系數(shù)矩陣的行數(shù)與秩相同

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其中，x是此欠定方程的一個(gè)特解。

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