前不久chensh出于不可告人的目的，要充當(dāng)老師，教別人線性代數(shù)。于是我被揪住就線性代數(shù)中一些務(wù)虛性的問(wèn)題與他討論了幾次。很明顯，chensh覺(jué)得，要讓自己在講線性代數(shù)的時(shí)候不被那位強(qiáng)勢(shì)的學(xué)生認(rèn)為是神經(jīng)病，還是比較難的事情。

可憐的chensh，誰(shuí)讓你趟這個(gè)地雷陣？！色令智昏啊！

線性代數(shù)課程，無(wú)論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開(kāi)始就充斥著莫名其妙。比如說(shuō)，在全國(guó)一般工科院系教學(xué)中應(yīng)用最廣泛的同濟(jì)線性代數(shù)教材（現(xiàn)在到了第四版），一上來(lái)就介紹逆序數(shù)這個(gè)“前無(wú)古人，后無(wú)來(lái)者”的古怪概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的定義，接著是一些簡(jiǎn)直犯傻的行列式性質(zhì)和習(xí)題——把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過(guò)來(lái)，折騰得那叫一個(gè)熱鬧，可就是壓根看不出這個(gè)東西有嘛用。大多數(shù)像我一樣資質(zhì)平庸的學(xué)生到這里就有點(diǎn)犯暈：連這是個(gè)什么東西都模模糊糊的，就開(kāi)始鉆火圈表演了，這未免太“無(wú)厘頭”了吧！于是開(kāi)始有人逃課，更多的人開(kāi)始抄作業(yè)。這下就中招了，因?yàn)槠浜蟮陌l(fā)展可以用一句峰回路轉(zhuǎn)來(lái)形容，緊跟著這個(gè)無(wú)厘頭的行列式的，是一個(gè)同樣無(wú)厘頭但是偉大的無(wú)以復(fù)加的家伙的出場(chǎng)——矩陣來(lái)了！多年之后，我才明白，當(dāng)老師犯傻似地用中括號(hào)把一堆傻了吧嘰的數(shù)括起來(lái)，并且不緊不慢地說(shuō)：“這個(gè)東西叫做矩陣”的時(shí)候，我的數(shù)學(xué)生涯掀開(kāi)了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一幕！自那以后，在幾乎所有跟“學(xué)問(wèn)”二字稍微沾點(diǎn)邊的東西里，矩陣這個(gè)家伙從不缺席。對(duì)于我這個(gè)沒(méi)能一次搞定線性代數(shù)的笨蛋來(lái)說(shuō)，矩陣?yán)洗蟮牟徽?qǐng)自來(lái)每每搞得我灰頭土臉，頭破血流。長(zhǎng)期以來(lái)，我在閱讀中一見(jiàn)矩陣，就如同阿Q見(jiàn)到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。

事實(shí)上，我并不是特例。一般工科學(xué)生初學(xué)線性代數(shù)，通常都會(huì)感到困難。這種情形在國(guó)內(nèi)外皆然。瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說(shuō)：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多。”，然而“按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過(guò)公理化來(lái)表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，...，這就帶來(lái)了教學(xué)上的困難。”事實(shí)上，當(dāng)我們開(kāi)始學(xué)習(xí)線性代數(shù)的時(shí)候，不知不覺(jué)就進(jìn)入了“第二代數(shù)學(xué)模型”的范疇當(dāng)中，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進(jìn)化，對(duì)于從小一直在“第一代數(shù)學(xué)模型”，即以實(shí)用為導(dǎo)向的、具體的數(shù)學(xué)模型中學(xué)習(xí)的我們來(lái)說(shuō)，在沒(méi)有并明確告知的情況下進(jìn)行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難才是奇怪的。

大部分工科學(xué)生，往往是在學(xué)習(xí)了一些后繼課程，如數(shù)值分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、矩陣論之后，才逐漸能夠理解和熟練運(yùn)用線性代數(shù)。即便如此，不少人即使能夠很熟練地以線性代數(shù)為工具進(jìn)行科研和應(yīng)用工作，但對(duì)于很多這門課程的初學(xué)者提出的、看上去是很基礎(chǔ)的問(wèn)題卻并不清楚。比如說(shuō)：

* 矩陣究竟是什么東西？向量可以被認(rèn)為是具有n個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)（維度）的對(duì)象的表示，矩陣又是什么呢？我們?nèi)绻J(rèn)為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復(fù)合向量的展開(kāi)式，那么為什么這種展開(kāi)式具有如此廣泛的應(yīng)用？特別是，為什么偏偏二維的展開(kāi)式如此有用？如果矩陣中每一個(gè)元素又是一個(gè)向量，那么我們?cè)僬归_(kāi)一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？

* 矩陣的乘法規(guī)則究竟為什么這樣規(guī)定？為什么這樣一種怪異的乘法規(guī)則卻能夠在實(shí)踐中發(fā)揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問(wèn)題，最后竟然都?xì)w結(jié)到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)則下面，包含著世界的某些本質(zhì)規(guī)律？如果是的話，這些本質(zhì)規(guī)律是什么？

* 行列式究竟是一個(gè)什么東西？為什么會(huì)有如此怪異的計(jì)算規(guī)則？行列式與其對(duì)應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？為什么只有方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式，而一般矩陣就沒(méi)有（不要覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題很蠢，如果必要，針對(duì)m x n矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因?yàn)闆](méi)有這個(gè)必要，但是為什么沒(méi)有這個(gè)必要）？而且，行列式的計(jì)算規(guī)則，看上去跟矩陣的任何計(jì)算規(guī)則都沒(méi)有直觀的聯(lián)系，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質(zhì)？難道這一切僅是巧合？

* 矩陣為什么可以分塊計(jì)算？分塊計(jì)算這件事情看上去是那么隨意，為什么竟是可行的？

* 對(duì)于矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算A^T，有(AB)^T = B^TA^T，對(duì)于矩陣求逆運(yùn)算A^-1，有(AB)^-1 = B^-1A^-1。兩個(gè)看上去完全沒(méi)有什么關(guān)系的運(yùn)算，為什么有著類似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？

* 為什么說(shuō)P^-1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”？這里的“相似”是什么意思？

* 特征值和特征向量的本質(zhì)是什么？它們定義就讓人很驚訝，因?yàn)锳x =λx，一個(gè)諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過(guò)相當(dāng)于一個(gè)小小的數(shù)λ，確實(shí)有點(diǎn)奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來(lái)界定？它們刻劃的究竟是什么？

這樣的一類問(wèn)題，經(jīng)常讓使用線性代數(shù)已經(jīng)很多年的人都感到為難。就好像大人面對(duì)小孩子的刨根問(wèn)底，最后總會(huì)迫不得已地說(shuō)“就這樣吧，到此為止”一樣，面對(duì)這樣的問(wèn)題，很多老手們最后也只能用：“就是這么規(guī)定的，你接受并且記住就好”來(lái)搪塞。然而，這樣的問(wèn)題如果不能獲得回答，線性代數(shù)對(duì)于我們來(lái)說(shuō)就是一個(gè)粗暴的、不講道理的、莫名其妙的規(guī)則集合，我們會(huì)感到，自己并不是在學(xué)習(xí)一門學(xué)問(wèn)，而是被不由分說(shuō)地“拋到”一個(gè)強(qiáng)制的世界中，只是在考試的皮鞭揮舞之下被迫趕路，全然無(wú)法領(lǐng)略其中的美妙、和諧與統(tǒng)一。直到多年以后，我們已經(jīng)發(fā)覺(jué)這門學(xué)問(wèn)如此的有用，卻仍然會(huì)非常迷惑：怎么這么湊巧？

我認(rèn)為，這是我們的線性代數(shù)教學(xué)中直覺(jué)性喪失的后果。上述這些涉及到“如何能”、“怎么會(huì)”的問(wèn)題，僅僅通過(guò)純粹的數(shù)學(xué)證明來(lái)回答，是不能令提問(wèn)者滿意的。比如，如果你通過(guò)一般的證明方法論證了矩陣分塊運(yùn)算確實(shí)可行，那么這并不能夠讓提問(wèn)者的疑惑得到解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運(yùn)算為什么竟然是可行的？究竟只是湊巧，還是說(shuō)這是由矩陣這種對(duì)象的某種本質(zhì)所必然決定的？如果是后者，那么矩陣的這些本質(zhì)是什么？只要對(duì)上述那些問(wèn)題稍加考慮，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有這些問(wèn)題都不是單純依靠數(shù)學(xué)證明所能夠解決的。像我們的教科書(shū)那樣，凡事用數(shù)學(xué)證明，最后培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生，只能熟練地使用工具，卻欠缺真正意義上的理解。

自從1930年代法國(guó)布爾巴基學(xué)派興起以來(lái)，數(shù)學(xué)的公理化、系統(tǒng)性描述已經(jīng)獲得巨大的成功，這使得我們接受的數(shù)學(xué)教育在嚴(yán)謹(jǐn)性上大大提高。然而數(shù)學(xué)公理化的一個(gè)備受爭(zhēng)議的副作用，就是一般數(shù)學(xué)教育中直覺(jué)性的喪失。數(shù)學(xué)家們似乎認(rèn)為直覺(jué)性與抽象性是矛盾的，因此毫不猶豫地犧牲掉前者。然而包括我本人在內(nèi)的很多人都對(duì)此表示懷疑，我們不認(rèn)為直覺(jué)性與抽象性一定相互矛盾，特別是在數(shù)學(xué)教育中和數(shù)學(xué)教材中，幫助學(xué)生建立直覺(jué)，有助于它們理解那些抽象的概念，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。反之，如果一味注重形式上的嚴(yán)格性，學(xué)生就好像被迫進(jìn)行鉆火圈表演的小白鼠一樣，變成枯燥的規(guī)則的奴隸。

對(duì)于線性代數(shù)的類似上述所提到的一些直覺(jué)性的問(wèn)題，兩年多來(lái)我斷斷續(xù)續(xù)地反復(fù)思考了四、五次，為此閱讀了好幾本國(guó)內(nèi)外線性代數(shù)、數(shù)值分析、代數(shù)和數(shù)學(xué)通論性書(shū)籍，其中像前蘇聯(lián)的名著《數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方法和意義》、龔昇教授的《線性代數(shù)五講》、前面提到的Encounter with Mathematics（《數(shù)學(xué)概觀》）以及Thomas A. Garrity的《數(shù)學(xué)拾遺》都給我很大的啟發(fā)。不過(guò)即使如此，我對(duì)這個(gè)主題的認(rèn)識(shí)也經(jīng)歷了好幾次自我否定。比如以前思考的一些結(jié)論曾經(jīng)寫在自己的blog里，但是現(xiàn)在看來(lái)，這些結(jié)論基本上都是錯(cuò)誤的。因此打算把自己現(xiàn)在的有關(guān)理解比較完整地記錄下來(lái)，一方面是因?yàn)槲矣X(jué)得現(xiàn)在的理解比較成熟了，可以拿出來(lái)與別人探討，向別人請(qǐng)教。另一方面，如果以后再有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，把現(xiàn)在的理解給推翻了，那現(xiàn)在寫的這個(gè)snapshot也是很有意義的。

因?yàn)榇蛩銓懙帽容^多，所以會(huì)分幾次慢慢寫。也不知道是不是有時(shí)間慢慢寫完整，會(huì)不會(huì)中斷，寫著看吧。

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今天先談?wù)剬?duì)線形空間和矩陣的幾個(gè)核心概念的理解。這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來(lái)的，基本上不抄書(shū)，可能有錯(cuò)誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺(jué)，也就是說(shuō)能把數(shù)學(xué)背后說(shuō)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題說(shuō)出來(lái)。

首先說(shuō)說(shuō)空間(space)，這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一，從拓?fù)淇臻g開(kāi)始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實(shí)還是比較初級(jí)的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。

總之，空間有很多種。你要是去看某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是“存在一個(gè)集合，在這個(gè)集合上定義某某概念，然后滿足某些性質(zhì)”，就可以被稱為空間。這未免有點(diǎn)奇怪，為什么要用“空間”來(lái)稱呼一些這樣的集合呢？大家將會(huì)看到，其實(shí)這是很有道理的。

我們一般人最熟悉的空間，毫無(wú)疑問(wèn)就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一個(gè)三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)。仔細(xì)想想我們就會(huì)知道，這個(gè)三維的空間：1. 由很多（實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成；2. 這些點(diǎn)之間存在相對(duì)的關(guān)系；3. 可以在空間中定義長(zhǎng)度、角度；4. 這個(gè)空間可以容納運(yùn)動(dòng)，這里我們所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)（變換），而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運(yùn)動(dòng)，

上面的這些性質(zhì)中，最最關(guān)鍵的是第4條。第1、2條只能說(shuō)是空間的基礎(chǔ)，不算是空間特有的性質(zhì)，凡是討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，都得有一個(gè)集合，大多數(shù)還得在這個(gè)集合上定義一些結(jié)構(gòu)（關(guān)系），并不是說(shuō)有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關(guān)鍵的性質(zhì)。只有第4條是空間的本質(zhì)，也就是說(shuō)，容納運(yùn)動(dòng)是空間的本質(zhì)特征。

認(rèn)識(shí)到了這些，我們就可以把我們關(guān)于三維空間的認(rèn)識(shí)擴(kuò)展到其他的空間。事實(shí)上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運(yùn)動(dòng)（變換）。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會(huì)存在一種相對(duì)應(yīng)的變換，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實(shí)這些變換都只不過(guò)是對(duì)應(yīng)空間中允許的運(yùn)動(dòng)形式而已。

因此只要知道，“空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換則規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。

下面我們來(lái)看看線性空間。線性空間的定義任何一本書(shū)上都有，但是既然我們承認(rèn)線性空間是個(gè)空間，那么有兩個(gè)最基本的問(wèn)題必須首先得到解決，那就是：

1. 空間是一個(gè)對(duì)象集合，線性空間也是空間，所以也是一個(gè)對(duì)象集合。那么線性空間是什么樣的對(duì)象的集合？或者說(shuō)，線性空間中的對(duì)象有什么共同點(diǎn)嗎？

2. 線性空間中的運(yùn)動(dòng)如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？

我們先來(lái)回答第一個(gè)問(wèn)題，回答這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候其實(shí)是不用拐彎抹角的，可以直截了當(dāng)?shù)慕o出答案。線性空間中的任何一個(gè)對(duì)象，通過(guò)選取基和坐標(biāo)的辦法，都可以表達(dá)為向量的形式。通常的向量空間我就不說(shuō)了，舉兩個(gè)不那么平凡的例子：

L1. 最高次項(xiàng)不大于n次的多項(xiàng)式的全體構(gòu)成一個(gè)線性空間，也就是說(shuō)，這個(gè)線性空間中的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式。如果我們以x⁰, x¹, ..., xⁿ為基，那么任何一個(gè)這樣的多項(xiàng)式都可以表達(dá)為一組n+1維向量，其中的每一個(gè)分量a_i其實(shí)就是多項(xiàng)式中x^(i-1)項(xiàng)的系數(shù)。值得說(shuō)明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無(wú)關(guān)就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說(shuō)，提一下而已。

L2. 閉區(qū)間[a, b]上的n階連續(xù)可微函數(shù)的全體，構(gòu)成一個(gè)線性空間。也就是說(shuō)，這個(gè)線性空間的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。對(duì)于其中任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)，根據(jù)魏爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項(xiàng)不大于n的多項(xiàng)式函數(shù)，使之與該連續(xù)函數(shù)的差為0，也就是說(shuō)，完全相等。這樣就把問(wèn)題歸結(jié)為L(zhǎng)1了。后面就不用再重復(fù)了。

所以說(shuō)，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量可以表示線性空間里任何一個(gè)對(duì)象。這里頭大有文章，因?yàn)橄蛄勘砻嫔现皇且涣袛?shù)，但是其實(shí)由于它的有序性，所以除了這些數(shù)本身攜帶的信息之外，還可以在每個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)位置上攜帶信息。為什么在程序設(shè)計(jì)中數(shù)組最簡(jiǎn)單，卻又威力無(wú)窮呢？根本原因就在于此。這是另一個(gè)問(wèn)題了，這里就不說(shuō)了。

下面來(lái)回答第二個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的回答會(huì)涉及到線性代數(shù)的一個(gè)最根本的問(wèn)題。

線性空間中的運(yùn)動(dòng)，被稱為線性變換。也就是說(shuō)，你從線性空間中的一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)點(diǎn)，都可以通過(guò)一個(gè)線性變化來(lái)完成。那么，線性變換如何表示呢？很有意思，在線性空間中，當(dāng)你選定一組基之后，不僅可以用一個(gè)向量來(lái)描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象，而且可以用矩陣來(lái)描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換）。而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量。

簡(jiǎn)而言之，在線性空間中選定基之后，向量刻畫(huà)對(duì)象，矩陣刻畫(huà)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動(dòng)。

是的，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。如果以后有人問(wèn)你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)的描述。（chensh，說(shuō)你呢！）

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩陣嗎？這實(shí)在是很奇妙，一個(gè)空間中的對(duì)象和運(yùn)動(dòng)竟然可以用相類同的方式表示。能說(shuō)這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運(yùn)的巧合！可以說(shuō)，線性代數(shù)中大多數(shù)奇妙的性質(zhì)，均與這個(gè)巧合有直接的關(guān)系。

（待續(xù)）