Posted on 2008-01-17 22:04
MiweiDev 閱讀(1103)
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雜談
附錄 ：常用的數(shù)學公式
坐標幾何
一對垂直相交于平面的軸線，可以讓平面上的任意一點用一組實數(shù)來表示。軸線的交點是 (0, 0)，稱為原點。水平與垂直方向的位置，分別用x與y代表。
一條直線可以用方程式y(tǒng)＝mx＋c來表示，m是直線的斜率（gradient）。這條直線與y軸相交于 (0, c)，與x軸則相交于(-c/m, 0)。垂直線的方程式則是x＝k，x為定值。
通過(x0, y0)這一點，且斜率為n的直線是
y-y0＝n(x-x0)
一條直線若垂直于斜率為n的直線，則其斜率為-1/n。通過(x1, y1)與(x2, y2)兩點的直線是
y＝(y2-y1／x2-x1)(x-x2)＋y2 x1≠x2
若兩直線的斜率分別為m與n，則它們的夾角θ滿足于
tanθ＝m-n／1＋mn
半徑為r、圓心在(a, b)的圓，以(x-a) 2＋(y-b) 2＝r2表示。
三維空間里的坐標與二維空間類似，只是多加一個z軸而已，例如半徑為r、中心位置在(a, b, c)的球，以(x-a) 2＋(y-b) 2＋(z-c) 2＝r2表示。
三維空間平面的一般式為ax＋by＋cz＝d。
三角學
邊長為a、b、c的直角三角形，其中一個夾角為θ。它的六個三角函數(shù)分別為：正弦（sine）、余弦（cosine）、正切（tangent）、余割（cosecant）、正割（secant）和余切（cotangent）。
sinθ＝b/c cosθ＝a/c tanθ＝b/a
cscθ＝c/b secθ＝c/a cotθ＝a/b
若圓的半徑是1，則其正弦與余弦分別為直角三角形的高與底。
a＝cosθ b＝sinθ
依照勾股定理,我們知道a2＋b2＝c2。因此對于圓上的任何角度θ，我們都可得出下列的全等式：
cos2θ＋sin2θ＝1
三角恒等式
根據(jù)前幾頁所述的定義，可得到下列恒等式（identity）：
tanθ＝sinθ/cosθ，cotθ＝cosθ/sinθ
secθ＝1/cosθ，cscθ＝1/sinθ
分別用cos 2θ與sin 2θ來除cos 2θ＋sin 2θ＝1，可得：
sec 2θ-tan 2θ＝1 及 csc 2θ-cot 2θ＝1
對于負角度，六個三角函數(shù)分別為：
sin(-θ)＝ -sinθ csc(-θ)＝ -cscθ
cos(-θ)＝ cosθ sec(-θ)＝ secθ
tan(-θ)＝ -tanθ cot(-θ)＝ -cotθ
當兩角度相加時，運用和角公式：
sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ
cos(α＋β)＝ cosαcosβ-sinαsinβ
tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ／1-tanαtanβ
若遇到兩倍角或三倍角，運用倍角公式：
sin2α＝ 2sinαcosα sin3α＝ 3sinαcos2α-sin3α
cos2α＝ cos 2α-sin 2α cos3α＝ cos 3α-3sin 2αcosα
tan 2α＝ 2tanα／1-tan 2α
tan3α＝ 3tanα-tan 3α／1-3tan 2α
二維圖形
下面是一些二維圖形的周長與面積公式。
圓：
半徑＝ r 直徑d＝2r
圓周長＝ 2πr ＝πd
面積＝πr2 (π＝3.1415926.......)
橢圓：
面積＝πab
a與b分別代表短軸與長軸的一半。
矩形：
面積＝ ab
周長＝ 2a＋2b
平行四邊形（parallelogram）：
面積＝ bh ＝ ab sinα
周長＝ 2a＋2b
梯形：
面積＝ 1/2h (a＋b)
周長＝ a＋b＋h (secα＋secβ)
正n邊形：
面積＝ 1/2nb2 cot (180°/n)
周長＝ nb
四邊形（i）：
面積＝ 1/2ab sinα
四邊形（ii）：
面積＝ 1/2 (h1＋h2) b＋ah1＋ch2
三維圖形
以下是三維立體的體積與表面積（包含底部）公式。
球體：
體積＝ 4/3πr3
表面積＝ 4πr2
方體：
體積＝ abc
表面積＝ 2(ab＋ac＋bc)
圓柱體：
體積＝ πr2h
表面積＝ 2πrh＋2πr2
圓錐體：
體積＝ 1/3πr2h
表面積＝πr√r2＋h2 ＋πr2
三角錐體：
若底面積為A，
體積＝ 1/3Ah
平截頭體（frustum）：
體積＝ 1/3πh (a2＋ab＋b2)
表面積＝π(a＋b)c＋πa2＋πb2
橢球：
體積＝ 4/3πabc
環(huán)面（torus）：
體積＝ 1/4π2 (a＋b) (b-a) 2
表面積＝π2 (b2-a2)