學習、工作日志

附錄 ：常用的數學公式

坐標幾何 
一對垂直相交于平面的軸線，可以讓平面上的任意一點用一組實數來表示。軸線的交點是 (0, 0)，稱為原點。水平與垂直方向的位置，分別用x與y代表。 
一條直線可以用方程式y＝mx＋c來表示，m是直線的斜率（gradient）。這條直線與y軸相交于 (0, c)，與x軸則相交于(-c/m, 0)。垂直線的方程式則是x＝k，x為定值。 
通過(x₀, y₀)這一點，且斜率為n的直線是 
y-y₀＝n(x-x₀) 
一條直線若垂直于斜率為n的直線，則其斜率為-1/n。通過(x₁, y₁)與(x₂, y₂)兩點的直線是 
y＝(y₂-y₁／x₂-x₁)(x-x₂)＋y₂　　 x₁≠x₂ 
若兩直線的斜率分別為m與n，則它們的夾角θ滿足于 
tanθ＝m-n／1＋mn 
半徑為r、圓心在(a, b)的圓，以(x-a) ²＋(y-b) ²＝r²表示。 
 
三維空間里的坐標與二維空間類似，只是多加一個z軸而已，例如半徑為r、中心位置在(a, b, c)的球，以(x-a) ²＋(y-b) ²＋(z-c) ²＝r²表示。 
三維空間平面的一般式為ax＋by＋cz＝d。 
三角學 
邊長為a、b、c的直角三角形，其中一個夾角為θ。它的六個三角函數分別為：正弦（sine）、余弦（cosine）、正切（tangent）、余割（cosecant）、正割（secant）和余切（cotangent）。 
sinθ＝b/c　　cosθ＝a/c　　tanθ＝b/a 
cscθ＝c/b　　secθ＝c/a　　cotθ＝a/b 
 
若圓的半徑是1，則其正弦與余弦分別為直角三角形的高與底。 
a＝cosθ　　　　b＝sinθ 
依照勾股定理,我們知道a²＋b²＝c²。因此對于圓上的任何角度θ，我們都可得出下列的全等式： 
cos²θ＋sin²θ＝1 

三角恒等式 
根據前幾頁所述的定義，可得到下列恒等式（identity）： 
tanθ＝sinθ/cosθ，cotθ＝cosθ/sinθ 
secθ＝1/cosθ，cscθ＝1/sinθ 
 
分別用cos 2θ與sin 2θ來除cos ²θ＋sin ²θ＝1，可得： 
sec ²θ-tan ²θ＝1　　及　　csc ²θ-cot ²θ＝1 
對于負角度，六個三角函數分別為： 
sin(-θ)＝ -sinθ 　csc(-θ)＝ -cscθ 
cos(-θ)＝ cosθ　　sec(-θ)＝ secθ 
tan(-θ)＝ -tanθ　 cot(-θ)＝ -cotθ 
 
當兩角度相加時，運用和角公式： 
sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ 
cos(α＋β)＝ cosαcosβ-sinαsinβ 
tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ／1-tanαtanβ 
若遇到兩倍角或三倍角，運用倍角公式： 
sin2α＝ 2sinαcosα　 sin3α＝ 3sinαcos2α-sin3α 
cos2α＝ cos 2α-sin 2α　cos3α＝ cos 3α-3sin 2αcosα 
tan 2α＝ 2tanα／1-tan 2α 
tan3α＝ 3tanα-tan 3α／1-3tan 2α 

二維圖形 
下面是一些二維圖形的周長與面積公式。 
圓： 
半徑＝ r　　　　直徑d＝2r 
圓周長＝ 2πr ＝πd 
面積＝πr²　 (π＝3.1415926.......) 
橢圓： 
面積＝πab 
a與b分別代表短軸與長軸的一半。 
矩形： 
面積＝ ab 
周長＝ 2a＋2b 
平行四邊形（parallelogram）： 
面積＝ bh ＝ ab sinα 
周長＝ 2a＋2b 
梯形： 
面積＝ 1/2h (a＋b) 
周長＝ a＋b＋h (secα＋secβ) 
正n邊形： 
面積＝ 1/2nb² cot (180°/n) 
周長＝ nb 
四邊形（i）： 
面積＝ 1/2ab sinα 
四邊形（ii）： 
面積＝ 1/2 (h₁＋h₂) b＋ah₁＋ch₂ 
三維圖形 
以下是三維立體的體積與表面積（包含底部）公式。 
球體： 
體積＝ 4/3πr³ 
表面積＝ 4πr² 
方體： 
體積＝ abc 
表面積＝ 2(ab＋ac＋bc) 
圓柱體： 
體積＝ πr²h 
表面積＝ 2πrh＋2πr² 
圓錐體： 
體積＝ 1/3πr²h 
表面積＝πr√r²＋h² ＋πr² 
三角錐體： 
若底面積為A， 
體積＝ 1/3Ah 
平截頭體（frustum）： 
體積＝ 1/3πh (a²＋ab＋b²) 
表面積＝π(a＋b)c＋πa²＋πb² 
橢球： 
體積＝ 4/3πabc 
環面（torus）： 
體積＝ 1/4π² (a＋b) (b-a) ² 
表面積＝π² (b²-a²)