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Tauruser

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Gauss消去法直接求解方程組(附例程)

Posted on 2006-06-04 20:22 Tauruser 閱讀(3965) 評論(7)  編輯 收藏 引用 所屬分類: 數值計算

3.2 Gauss消去法

3.2.1 順序消去法

  Gauss消去法就是將方程組(3.1.1)通過(n-1)步消元,將(3.1.1)轉化為上三角方程組
       (3.2.1)
再回代求此方程組的解.
  下面記增廣矩陣,即
   
  第1步 設,計算l,記為,若用第一行加到第i行,可消去,用Gauss變換矩陣表示
    
令   
其中
  一般地,假定已完成了(k-1)步消元,即已將轉化為以下形式:
   
  第k步,假定,計算
       (3.2.2)
,則
   
其中
     (3.2.3).
當k=1,2,…,n-1則可得到,即方程組(3.2.1).

  直接回代解(3.2.1)得,
     (3.2.4)
并且有,由以上順序消去過程可得如下定理.
  定理2.1 設非奇異,則通過兩行互換總可使,k=1,2,…,n-1.可將方程組(3.1.1)轉化為(3.2.1)并求得方程組(3.1.1)的解為(3.2.4),且有.
  如果不做行交換,則使的條件如下.

  定理2.2 非奇異,且各階順序主子式, 則,k=1,2,…,n-1.
  證明 用歸納法,當,故.現假設(k-1)成立,即,對i=1,2,…,k-1已推出,故Gauss消去法能進行(k-1)步消元,A已約化為,即
   

     

對k=1,2,…,n均成立,證畢.
  在整個消去法消元過程中,k從1到(n-1)共需乘除法運算次數為
     
加減法次數為
     
回代過程中由公式(3.2.4)可知乘除法次數為,加減法次數為,于是Gauss消去法的乘除法總次數為,加減法次數為
  例3.4 用Gauss消去法解方程組
      
并求detA.
  解 消元得
   
再由(3.2.4)回代,得解

講解:

  Gauss 消去法是將方程組AX=b,通過消元轉化為上三角方程組(3,2,1)求解,消元第一步做完后有
         
  用矩陣表示
  第K-1步完成后得到
  當,可做K步,得到
  得到,對應的方程組就是(3.2.1),利用公式(3.2.4)就可求得解。
  定理2.2給出了進行順序消去法的條件,即A的所有順序生子式,而方程(3.1.1)解存在唯一的條件是

好了,原理講完了,貼我的例程。

#include? < iostream >
#include?
< vector >
#include?
< cmath >
using ? namespace ?std;
class ?CGAUSSSOLVEEQU
{
private :
????vector
< vector < double >> ?m_equset;
????vector
< double > ?m_answer;
????unsigned?
int ?m_n;
public :
????
void ?inputEquSet();
????
void ?solveEquSet();
????
void ?outputAnswer();
}
;
void ?CGAUSSSOLVEEQU::inputEquSet()
{
????
double ?dtemp;
????vector
< double > ?vtemp;
????cout
<< " 請輸入你的方程個數: " ;
????cin
>> m_n;
????cout
<< " 請按照向量的形式輸入各變量的系數。最后一位為b。每個方程一行: " << endl;
????
for (unsigned? int ?i( 0 );i < m_n; ++ i)
????
{
????????m_equset.push_back(vtemp);
????????
for (unsigned? int ?j( 0 );j <= m_n; ++ j)
????????
{????
????????????cin
>> dtemp;
????????????m_equset[i].push_back(dtemp);
????????}

????????
if (m_equset[i].size() != m_n + 1 )
????????
{
????????????cout
<< " 輸入有誤,請重新輸入上一個方程。 " << endl;
????????????
-- i;
????????}

????}

????
}


void ?CGAUSSSOLVEEQU::solveEquSet()
{
????vector
< vector < double >> ::iterator?iter;
????iter
= m_equset.begin();
????
for (unsigned? int ?m( 0 );m < m_n - 1 ; ++ m)
????
{
????????
// 將絕對值最大的主元素移上去。此舉是為了減少誤差
???????? for (vector < vector < double >> ::iterator?iter2 = iter + 1 ;iter2 != m_equset.end(); ++ iter2)
????????
{
????????????
if (fabsl(iter -> front()) < fabsl(iter2 -> front()))
????????????
{
????????????????swap(
* iter, * iter2);
????????????}

????????}

????????
// 進行消元
???????? for (unsigned? int ?i = m + 1 ;i < m_n; ++ i)
????????
{
????????????
double ?dm;
????????????dm
= m_equset[i][m] / m_equset[m][m];
????????????
for (unsigned? int ?j = m;j < m_n + 1 ; ++ j)
????????????
{
????????????????m_equset[i][j]
-= dm * m_equset[m][j];
????????????}

????????}

????????
++ iter;
????}

????
// 初始化m_answer向量
???? for (unsigned? int ?i( 0 );i < m_n; ++ i)?m_answer.push_back( 0 );
????
// 求解答案
????m_answer[m_n - 1 ] = m_equset[m_n - 1 ][m_n] / m_equset[m_n - 1 ][m_n - 1 ];

????
for ( int ?i = m_n - 2 ;i >= 0 ; -- i)
????
{
????????m_answer[i]
= m_equset[i][m_n];
????????
for ( int ?j = m_n - 1 ;j > i; -- j)
????????????m_answer[i]
-= m_answer[j] * m_equset[i][j];
????????m_answer[i]
/= m_equset[i][i];
????}


????
}


void ?CGAUSSSOLVEEQU::outputAnswer()
{
????
for (unsigned? int ?i( 1 );i <= m_n; ++ i)
????
{
????????cout
<< " x( " << i << " )= " << m_answer[i - 1 ] << endl;
????}

}


int ?main()
{
????CGAUSSSOLVEEQU?myEqu;
????myEqu.inputEquSet();
????myEqu.solveEquSet();
????myEqu.outputAnswer();
????
return ? 0 ;
}


// Power?By?Tauruser?2006.6.4

Feedback

# re: Gauss消去法直接求解方程組(附例程)  回復  更多評論   

2006-11-17 13:38 by tim
ding

# re: Gauss消去法直接求解方程組(附例程)  回復  更多評論   

2007-06-01 11:12 by Snowfox
請問LZ:
能發下具體的結果嗎?我不明白你的輸入格式,還有能解幾元幾次的方程組。謝謝了!勞駕!
期待中。。。

# re: Gauss消去法直接求解方程組(附例程)  回復  更多評論   

2007-06-10 12:02 by 星夢情緣
我的BLOG集齊了各重解線性方程的方法,任意方程都可以解的

# re: Gauss消去法直接求解方程組(附例程)  回復  更多評論   

2008-06-04 20:11 by
有一個小錯誤

# re: Gauss消去法直接求解方程組(附例程)  回復  更多評論   

2008-06-04 20:11 by
for ( int i = m_n - 2 ;i >= 0 ; -- i)

i 重復定義了,不過謝謝你呀!

# re: Gauss消去法直接求解方程組(附例程)  回復  更多評論   

2008-06-04 20:12 by
好程序

# re: Gauss消去法直接求解方程組(附例程)  回復  更多評論   

2009-03-25 22:06 by nan
能把改后的程序發上去嗎,謝謝
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