Romberg求积(例程)

Tauruser — Mon, 29 May 2006 01:25:00 GMT

先介�l�一下Romberg求积�?br />6.3　外推原理与Romberg求积

6.3.1　复合梯�Ş公式递推化与节点加密

　　在计��机上用�{�距节点求积公式�Ӟ��若精度不够可以逐步加密节点.讑ְ�区间分�ؓn�{�分�Q�节�?img height="39" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/171.gif" width="138" align="absMiddle" />�Q�在区间上梯形公式�ؓ
　　　　　　　　　　　　　
若节点加密一倍，区间长�ؓ�Q�记中点�?img height="18" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/175.gif" width="32" align="absMiddle" />在同一区间上的复合梯�Ş公式�?br />　　　　　　　　　　　　　
于是
　　　　　　　(6.3.1)
它表�?img height="22" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/178.gif" width="22" align="absMiddle" />是在的基��上再加新节点的函数��g��和乘新区间长�Q�而不必用(6.2.6)重新计算�Q�这时有误差估计�?br />　　　　　　　　　　　　　
�?img height="21" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/183.gif" width="90" align="absMiddle" />�Q�则�?br />　　　　　　　　　　　　(6.3.2)
它表明用�Q�其误差�q�似.�q�也是在计算��Z��估计梯�Ş公式误差的近��D��辑ּ�.�?img height="40" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/187.gif" width="94" align="absMiddle" />(�l�定�_�ֺ�)�Q�则.
　　若在区间�Q�a,b�Q�中�?n�{�分�Ӟ��?img height="21" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/172.gif" width="57" align="absMiddle" />上用Simpson公式计算�Q�则�?6.2.8)可知
　　　
它恰好是(6.3.2)中I(f)的近似��|��?br />
它表明用(6.3.2)计算I(f)�Q�其�_�ֺ�已由提高�?img height="22" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/192.gif" width="111" align="absMiddle" />如果再将区间分半�Q��分�ؓ4个小区间�Q�长度�ؓ�Q�则可由(6.3.1)计算�?img height="20" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/194.gif" width="21" align="absMiddle" />�?img height="20" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/195.gif" width="22" align="absMiddle" />�Q�利用复合公式余��?6.2.9)�?br />　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
如果�Q�则�?br />　　　　　　　　　　　　　　　(6.3.3)
从而有复合Simpson公式的误差估�?br />　　　　　　　　　
如果�?6.3.3)�q�似�Q�即
　　　　　　　　　　　　　　　(6.3.4)
则精度可辑ֈ�.�c�M��做法�q�可�l�箋下去.�q�样对区�?img height="18" src="http://mclab.sysu.edu.cn/na/text/chap6/iamges/repair2.gif" width="37" align="absMiddle" />逐次分半�Q�利用公�?6.3.1)逐次递推.再由(6.3.2)�Q?6.3.3)逐次构造出�_�ֺ�愈来愈高的计��积分I(f)的公式，�q�就是Romberg求积的基本思想.

以下为我自己写的求积�E�序�?br />

// RombergIntegral.cpp : 定义控制台应用程序的入口炏V�?br /> //

#include < cmath >
#include < iostream >
#include < vector >
using namespace std;
const double PRECISION(. 000001 ); // �_�ֺ�控制
const unsigned int MAXK( 20 ); // 求解步骤控制
double RombergIntegral( double ( * f)( double x), double a, double b);
vector < vector < double >> T; // 用于存储T�?/span>
double f( double x) // 要求的积分函�?/span>
{
     return x * sin(x);
}
int _tmain( int argc, _TCHAR * argv[])
{
    cout << " 本程序用于求解函数f(x)=x*sin(x)�?�?.28的积�?/span> " << endl;
    cout << " �U�分�l�果为： " << RombergIntegral(f, 0 , 6.28 ) << endl;
    cout << " �_�ֺ��?/span> " << PRECISION << endl;
     return 0 ;
}

double RombergIntegral( double ( * f)( double x), double a, double b)
{
     int k( 0 );
     double h = b - a;
    vector < double > temp;
    T.push_back(temp);
    T[ 0 ].push_back(h * (( * f)(a) + ( * f)(b)) / 2 );
     for (k = 1 ; 1 ; ++ k)
     {
        T.push_back(temp);
        T[ 0 ].push_back( 0.5 * T[ 0 ][k - 1 ]);
         for ( int i = 0 ;i < pow( 2 .,k - 1 ); ++ i)
         {
            T[ 0 ][k] += 0.5 * h * (( * f)(a + h / 2 + i * h));
        }
         for ( int i = 1 ;i <= k; ++ i)
            T[i].push_back((pow( 4 .,i) * T[i - 1 ].back() - T[i - 1 ][T[i - 1 ].size() - 2 ]) / (pow( 4 .,i) - 1 ));
        h /= 2 ;
         double temp = T[k].back();
         if (fabs(T[k].front() - T[k - 1 ].front()) < PRECISION ||   k == MAXK) break ; // �?/span>
    }

     return T[k].back();
}

// 以上�E�序在vs2005+win2003下编译运行通过�?/span>

Tauruser 2006-05-29 09:25 发表评论

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