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A Za, A Za, Fighting...

堅(jiān)信:勤能補(bǔ)拙

[zz] 線段樹(2)

從簡(jiǎn)單說起,線段樹其實(shí)可以理解成一種特殊的二叉樹。但是這種二叉樹較為平衡,和靜態(tài)二叉樹一樣,都是提前已經(jīng)建立好的樹形結(jié)構(gòu)。針對(duì)性強(qiáng),所以效率要高。這里又想到了一句題外話:動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的差別。動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)較為靈活,但是速度較慢;靜態(tài)結(jié)構(gòu)節(jié)省內(nèi)存,速度較快。
接著回到線段樹上來,線段樹是建立在線段的基礎(chǔ)上,每個(gè)結(jié)點(diǎn)都代表了一條線段[a , b]。長(zhǎng)度為1的線段成為元線段。非元線段都有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn),左結(jié)點(diǎn)代表的線段為[a , (a + b ) / 2],右結(jié)點(diǎn)代表的線段為[( a + b ) / 2 , b]。
長(zhǎng)度范圍為[1 , L] 的一棵線段樹的深度為log ( L - 1 ) + 1。這個(gè)顯然,而且存儲(chǔ)一棵線段樹的空間復(fù)雜度為O(L)。
線段樹支持最基本的操作為插入和刪除一條線段。下面已插入為例,詳細(xì)敘述,刪除類似。
將一條線段[a , b] 插入到代表線段[l , r]的結(jié)點(diǎn)p中,如果p不是元線段,那么令mid=(l+r)/2。如果a<mid,那么將線段[a , b] 也插入到p的左兒子結(jié)點(diǎn)中,如果b>mid,那么將線段[a , b] 也插入到p的右兒子結(jié)點(diǎn)中。
插入(刪除)操作的時(shí)間復(fù)雜度為O ( Log n )。
 
 
上面的都是些基本的線段樹結(jié)構(gòu),但只有這些并不能做什么,就好比一個(gè)程序有輸入沒輸出,根本沒有任何用處。
最簡(jiǎn)單的應(yīng)用就是記錄線段有否被覆蓋,并隨時(shí)查詢當(dāng)前被覆蓋線段的總長(zhǎng)度。那么此時(shí)可以在結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)中加入一個(gè)變量int count;代表當(dāng)前結(jié)點(diǎn)代表的子樹中被覆蓋的線段長(zhǎng)度和。這樣就要在插入(刪除)當(dāng)中維護(hù)這個(gè)count值,于是當(dāng)前的覆蓋總值就是根節(jié)點(diǎn)的count值了。
另外也可以將count換成bool cover;支持查找一個(gè)結(jié)點(diǎn)或線段是否被覆蓋。
 例題1(ZJU1610 Count The Colors 線段樹基本應(yīng)用題目
給出在線段[0,8000]上的若干次涂色,問最后能看見哪些顏色,并統(tǒng)計(jì)能看到多少段。
 解析
就這個(gè)題目而言,方法很多,而且數(shù)據(jù)范圍不大,但我們由線段樹的角度來解決這個(gè)問題。
建立一棵代表線段[0,8000]的線段樹,涂色操作就是將[a , b]涂成顏色c。最后做統(tǒng)計(jì)。
結(jié)構(gòu)如下:
struct  TNode {
        int     left , right;
        int     col;
        TNode   *LeftChild , *RightChild;
};
col 有幾種情況,如果col為-1,代表了尚未涂色,-2代表了是混和色,就是說這條線段并不是單一的顏色。其他情況,便是這條線段都是這個(gè)顏色的了。
全部程序見附錄1。

線段樹的第一種變化 
基本的線段樹代表的是線段,如果我們把線段離散成點(diǎn)來看,那么線段樹可以變化成一種離散類型線段樹。
這里可以有兩種理解。一種離散關(guān)系可以是連續(xù)的線段的點(diǎn),比方說在一條直線上放置的連續(xù)小球的著色問題;另一種則是完全將線段離散化分成若干小段,對(duì)每一段小段做為元線段來建立線段樹,這種線段樹可以支持實(shí)數(shù)劃分類型的線段。
例題2(ZJU2451 Minimizing maximizer )
Andy想要得到一組數(shù)中的最大值。會(huì)有一系列的操作Sorter(i[1], j[1]), ..., Sorter(i[k], j[k])。作用是將數(shù)組中的第i[k]個(gè)數(shù)字到第j[k]個(gè)數(shù)字排序。按照輸入給出的順序,你可以選擇要不要執(zhí)行這個(gè)操作。問題是最少需要多少步操作,可以求出這個(gè)最大值。題目保證可以求出。
多組數(shù)據(jù)。
第一行為兩個(gè)數(shù)字N,M。表示N個(gè)數(shù),M個(gè)操作。
接下來M行,每行描述一個(gè)操作i[k] , j [k]。
對(duì)于每組數(shù)據(jù),輸出最少需要多少次操作分離得到最大值。
每組數(shù)據(jù)一行。
解析 
由于要將最大的數(shù)字分離到最后的一位,如果我們考慮將數(shù)組看成一條[1,n]的線段,而每項(xiàng)操作也看成是從[i[k],j[k]]的線段,那么就是要求按照輸入的順序,將線段[1,n]從左到右依次覆蓋掉,問題變成求最小的覆蓋線段總數(shù)。
考慮最基本的規(guī)劃方法,用Opt [k] 表示覆蓋掉 [1,k]的線段最少需要的步數(shù),那么狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為:
Opt [k] = min { Opt [d] + 1  | j [p] = k && d >= i [p] && d <= j [p] && k > 1 }
Opt [1] = 0;
最后的答案就是Opt [n]了,但是考慮時(shí)間復(fù)雜度,是O(m^2)級(jí)別的,m最大為500000,超時(shí)無(wú)疑。但是這里我們看到了規(guī)劃的決策集合是一條連續(xù)的線段,是要在這條線段上面取得最小值,那么線段樹的結(jié)構(gòu)就正好適合在這里應(yīng)用了。
由于這里最小的單位是一個(gè)點(diǎn),所以我們采取線段樹的第一種變化,把元線段設(shè)置為單位點(diǎn),即[k,k]。在規(guī)劃的時(shí)候維護(hù)線段樹即可。
線段樹結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)中,需要加入的元素是int minstep 代表最少需要用到的覆蓋線段數(shù)目可以覆蓋到當(dāng)前結(jié)點(diǎn)所代表的線段中。
全部程序見附錄2。
 
例題3(PKU2104K-th Number)
給出一個(gè)大小為n的數(shù)組A[],給出m個(gè)問題(1 <= n <= 100 000, 1 <= m <= 5 000)。問題格式為Q(i,j,k),詢問從A[i]到A[j]第k大的元素是什么。A[]中的數(shù)各不相同。 
解析 
由于仍舊是離散的整數(shù)問題,我們依舊采取第一種變化。看到題目,最基本的想法就是排序然后求第k個(gè)數(shù)了,但是時(shí)限上不能滿足要求。
線段樹的最強(qiáng)大方面就是將一組數(shù)(一條線段)放到一起處理。每層樹需要的線段數(shù)目不會(huì)超過4,而深度為logn,所以最后操作的復(fù)雜度會(huì)是O(logn)。
但是僅僅應(yīng)用線段樹還是不夠的,即使我們知道了需要處理的線段是那些,但是由于線段過多,也無(wú)法準(zhǔn)確求出第k個(gè)元素究竟是什么。這里二分策略就派上了用場(chǎng)。我們用二分枚舉第k個(gè)數(shù)字P,然后再在所要的線段中找到枚舉的P所在的位置,同樣是用二分的策略。所以復(fù)雜度是O(mlognlognlogn)。
我們?cè)谡襊所在的位置的時(shí)候需要用到二分策略,也就是說,我們需要將線段所代表的結(jié)點(diǎn)排序,這里可以將每一層的所有數(shù)放到一起,統(tǒng)一成一個(gè)數(shù)組SortArray[depth][]。其實(shí)也可以理解成將歸并排序的每個(gè)步驟記錄下來。
全部程序見附錄3。
線段樹的第二種變化 (樹狀數(shù)組)
在結(jié)構(gòu)上對(duì)線段樹進(jìn)行改變,可以得到線段樹的另一種變化。
用O(n)的一維數(shù)組構(gòu)造出線段樹,無(wú)其他附加空間。比方說,一棵從[0,L]的線段樹表示為TNode Tree[L];
這里應(yīng)用二進(jìn)制將樹進(jìn)行劃分。將整數(shù)R的二進(jìn)制表示中的最后一個(gè)1換成0,得到數(shù)L。Tree[R]代表的線段就是[L,R]。例如:6的二進(jìn)制表示為(110)2將最后一個(gè)1換成0即為(100)2=4,所以Tree[6]代表的線段就是[4,6]。
析出數(shù)R的最后一位1的方法是:LowBit(R)=R^~R。
包含點(diǎn)L的一系列數(shù)為x1,x2,……,這里x1=R,x2=x1+LowBit (x1),x3=x2+LowBit(x2),……
這種線段樹的優(yōu)點(diǎn)在于:
1.  節(jié)省空間。完全線段長(zhǎng)度的空間,無(wú)需左右指針,無(wú)需左右范圍。
2.  線段樹查找嚴(yán)格log(R),因?yàn)槎M(jìn)制的每位查找一遍。
3.  狀態(tài)轉(zhuǎn)移快,操作簡(jiǎn)單。
4.  擴(kuò)展到多維較為容易。
缺點(diǎn):
1.隨意表示線段[a,b]較為困難。
這種線段樹適用于:
1.  查找線段[0,L]的信息。
2.  求線段[a,b]的和(應(yīng)用部分和做差技術(shù))。
// problem zju 1610
// Segment Tree
#define NoColor -1
#define MulColor -2
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int     Len;
struct  TNode {
        int     left , right;
        int     col;
        TNode   *LeftChild , *RightChild;
        void    Construct ( int , int );
        void    Insert ( int , int , int );
        void    Calculate ();
} Tree [16000] , *Root = &Tree [0];
 
int     CalColor [8001] , Many [8001];
void    TNode :: Construct ( int l , int r )
{
        left = l; right = r;
        if ( l + 1 == r ) { LeftChild = NULL; RightChild = NULL; return; }
 
 
        int     mid = ( l + r ) >> 1;
        LeftChild = &Tree [Len ++];
        RightChild = &Tree [Len ++];
        LeftChild->Construct( l , mid );
        RightChild->Construct( mid , r );
}
 
 
void    TNode :: Insert ( int l , int r , int c )
{
        if ( col == c ) return;
        if ( l == left && r == right ) { col = c; return; }
        int     mid = ( left + right ) >> 1;
        if ( col != MulColor ) { LeftChild -> col = col; RightChild -> col = col; }
        col = MulColor;
        if ( r <= mid ) { LeftChild -> Insert ( l , r , c ); return; }
        if ( l >= mid ) { RightChild -> Insert ( l , r , c ); return; }
        LeftChild -> Insert ( l , mid , c );
        RightChild -> Insert ( mid , r , c );
}
 
 
void    TNode :: Calculate ()
{
        if ( col != MulColor && col != NoColor ) {
                int     i;
                for ( i = left; i < right; i ++ ) CalColor [i] = col;
        }
        if ( col == MulColor ) { LeftChild -> Calculate (); RightChild -> Calculate (); }
}
 
 
main ()
{
        int     Total , a , b , c , i , t;
        Len = 1; Tree [0].Construct( 0 , 8000 );
 
 
//        printf ( "After Construct the Tree , Len = %d\n" , Len );
 
 
        while ( scanf ( "%d" , &Total ) != EOF ) {
                Tree [0].col = NoColor;
                while ( Total ) {
                        scanf ( "%d %d %d" , &a , &b , &c );
                        Root -> Insert( a , b , c );
                        Total --;
                }
                memset ( CalColor , 0xff , sizeof ( CalColor ) );
                memset ( Many , 0 , sizeof ( Many ));
                Root -> Calculate ();
 
 
                t = -1;
                for ( i = 0; i <= 8000; i ++ ) {
                        if ( CalColor [i] == t ) continue;
                        t = CalColor [i];
                        if ( t != -1 ) Many [t] ++;
                }
                for ( i = 0; i <= 8000; i ++ ) if ( Many [i] )
                        printf ( "%d %d\n" , i , Many [i] );
 
 
                printf ( "\n" );
        }
       
}
 
 


 
 
// Problem zju2451
// DP with Segment Tree
#include <stdio.h>
#define MAX     50000
 
 
int     Len;
struct  TNode {
        int     left , right;
        int     minstep;
        TNode   *LeftChild , *RightChild;
        void    Construct ( int , int );
        void    Insert ( int , int );
        int     GetRank ( int , int );
}       STree [MAX * 2 + 2] , *Root = &STree [0];
 
 
int     N , M;
 
 
void    TNode :: Construct ( int l , int r )
{
        left = l; right = r; minstep = 999999;
        if ( l == r ) { LeftChild = NULL; RightChild = NULL; return; }
        int     mid = ( l + r ) >> 1;
        LeftChild = &STree [Len ++];
        RightChild = &STree [Len ++];
        LeftChild->Construct ( l , mid );
        RightChild->Construct( mid + 1 , r );
}
 
 
void    TNode :: Insert ( int p , int x )
{
        if ( x < minstep ) minstep = x;
        if ( left == right ) return;
 
 
        if ( p <= ( left + right ) >> 1 ) LeftChild->Insert( p , x );
                else RightChild->Insert( p , x );
}
 
 
int     TNode :: GetRank ( int l , int r )
{
        if ( l == left && r == right ) return minstep;
        int     mid = ( left + right ) >> 1;
        if ( r <= mid ) return LeftChild->GetRank( l , r );
        if ( l > mid ) return RightChild->GetRank( l , r );
        int     ret1 , ret2;
        ret1 = LeftChild->GetRank( l , mid );
        ret2 = RightChild->GetRank( mid + 1 , r );
        return ret1 < ret2 ? ret1 : ret2;
}
 
 
main ()
{
        int     i , a , b , p;
        while ( scanf ( "%d %d" , &N , &M ) != EOF ) {
                Len = 1; Root->Construct( 1 , N );
 
 
                Root->Insert ( 1 , 0 );
 
 
                for ( i = 0; i < M; i ++ ) {
                        scanf ( "%d%d" , &a , &b );
                        if ( a < b ) {
                                p = Root->GetRank ( a , b - 1 );
                                Root->Insert ( b , p + 1 );
                        }
                }
                printf ( "%d\n" , Root->GetRank( N , N ) );
        }
}
 
 


 
 
 
 
// PKU 2104
// Segment Tree && Binnary Search
 
 
#include <stdio.h>
#define MAX     100000
 
 
int     len;
struct  TNode {
        int     left , right;
        char    depth;
        TNode   *LeftChild , *RightChild;
        void    construct ( int , int , int );
        int     GetRank ();
}       Node [2 * MAX + 2];
 
 
int     SortArray [18] [MAX + 2];
 
 
int     Key , ls , rs;
void    TNode :: construct ( int l , int r , int dep )
{
        left = l; right = r; depth = dep;
        if ( left == right ) {
                scanf ( "%d" , &SortArray [dep] [l] );
                return;
        }
        int     mid = ( l + r ) >> 1;
        LeftChild = &Node [len ++];
        LeftChild->construct( l , mid , dep + 1 );
        RightChild = &Node [len ++];
        RightChild->construct( mid + 1 , right , dep + 1 );
 
 
        int     i = left , j = mid + 1 , k = left;
        while ( i <= mid && j <= r ) {
                if ( SortArray [dep + 1] [i] < SortArray [dep + 1] [j] )
                        SortArray [dep] [k ++] = SortArray [dep + 1] [i ++];
                        else
                        SortArray [dep] [k ++] = SortArray [dep + 1] [j ++];
        }
        while ( i <= mid ) SortArray [dep] [k ++] = SortArray [dep + 1] [i ++];
        while ( j <= right ) SortArray [dep] [k ++] = SortArray [dep + 1] [j ++];
}
 
 
int     TNode :: GetRank ()
{
        if ( ls <= left && right <= rs ) {
                if ( SortArray [depth] [left] >= Key ) return 0;
                if ( SortArray [depth] [right] < Key ) return right - left + 1;
                if ( SortArray [depth] [right] == Key ) return right - left;
                int     low = left , high = right , mid;
                while ( low + 1 < high ) {
                        mid = ( low + high ) >> 1;
                        if ( SortArray [depth] [mid] < Key ) low = mid;
                                else high = mid;
                }
                return low - left + 1;
        }
        int     ret = 0;
        if ( ls <= LeftChild->right ) ret += LeftChild->GetRank();
        if ( RightChild->left <= rs ) ret += RightChild->GetRank();
        return ret;
}
 
 
main ()
{
        int     N , Q , i;
        int     low , high , mid , Index;
        scanf ( "%d%d" , &N , &Q );
        len = 1; Node [0].construct( 0 , N - 1 , 0 );
        for ( i = 0; i < Q; i ++ ) {
                scanf ( "%d%d%d" , &ls , &rs , &Index );
                ls --; rs --;
                low = 0; high = N;
                while ( low + 1 < high ) {
                        mid = ( low + high ) >> 1;
                        Key = SortArray [0] [mid];
                        if ( Node [0].GetRank() >= Index ) high = mid;
                                else low = mid;
                }
                printf ( "%d\n" , SortArray [0] [low] );
        }
}

posted on 2010-09-15 18:49 simplyzhao 閱讀(221) 評(píng)論(0)  編輯 收藏 引用 所屬分類: G_其他

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