根據考古研究，我們已知最早的文明，兩河文明，已經讓初等數學在他們的生活中起到了不小的作用。巴比倫人的天文知識淵博而精確，例如關于太陽月，他們定出的值與真實值之間只差一秒。他們不光熟悉十進制，在計算大數的時候還補充了一種以六十為基數的進位制。一塊距今約4300年的泥板表明，巴比倫人那時已經知道如何度量矩形、特殊三角形的面積，以及正多面體的體積。

  在外來者當中，有些人把蘇美爾的影響和知識帶到了埃及，在這里，文明也達到了很高的成就。因為紙草書的存在，我們對埃及的了解比對巴比倫的要多。埃及人對數學有著廣泛的貢獻，他們完成了基本的算數四則運算，并把它們推廣到分數上，并且有了求近似平方根的方法。他們已經有了算數級數，幾何級數，立體圖形求積，初等三角函數以及二次方程的知識。然而，無論是巴比倫人還是埃及人，都沒有對自然現象進行耐心仔細的考察，擁有概括推理的能力，因此這些古老的文明中并沒有產生真正意義上的科學。

  雖然希臘人從古代文化中繼承了大量資料，不過幾乎所有人都承認，愛琴海的艾奧尼亞海岸是今天一切科學的起源。巴比倫人和埃及人從未想到過為了知識本身而去尋求知識的行為，而正是這種概念促使了“希臘的科學奇跡”的發生，這之中最驚人的進步便發生在數學上，并為其以后的發展奠定了永久的基礎。以泰勒斯為首的艾奧尼亞學派將幾何學等知識從埃及和巴比倫帶回希臘，并提出了很多命題和基本原理。公元前6世紀末，由于波斯的入侵，人們向西方逃難，意大利和西西里島變成了新的學術中心。建立于意大利南部的畢達哥拉斯學派把數學研究變成了一種自由教育的形式，整個數學變得更抽象，更加脫離經濟生活需要了。畢達哥拉斯學派對數學發展產生了巨大影響，歷時達兩個世紀之久。

  波斯于公元前480年被希臘聯軍擊敗后，雅典成為了世界經濟和文化中心。這時出現了旨在教育國民，轉播文化的哲人派，他們的思考對尺規作圖等幾何問題的發展影響很大，其中就有芝諾那些關于無限的著名悖論。波斯游牧民族的威脅消除后，雅典與斯巴達之間的同盟就被猜忌與不和取代了。伯羅奔尼撒戰爭一直延續到公元前404年，那一年雅典被迫投降。這段時期是蘇格拉底和柏拉圖的時代。與老師蘇格拉底醉心于國家和倫理不同，柏拉圖在游歷期間對數學產生了濃厚的興趣。因此對后世影響深遠的柏拉圖學園的哲學也成了數學的哲學。偉大的學者，哲學家亞里士多德也是柏拉圖學園的學生，他讓人們明白了公理，公設和定義之間的區別，他的著作包含很多重要的定理。亞里士多德留下的大量著作，直接統治了后來的“復興時期”的所有學說，即使那些錯誤的力學原理一直持續到16世紀。

  馬其頓于公元前338年徹底擊敗雅典后，雅典城再也沒能復興起來。兩年后，馬其頓的新國王亞歷山大大帝開始著手征服世界，建立了巨大而短暫的帝國。公元前332年，他在尼羅河畔建立了亞歷山大城。這座城市后來的統治者托勒密與亞歷山大大帝一樣都是亞里士多德的學生，亞歷山大城很快成為了新的經濟與文化中心。從那以后，亞歷山大這種學術中心的地位延續了千年，直到公元641年遭到阿拉伯人的洗劫。

  亞歷山大城的學者中，有三個人決定了此后數百年數學的進程：歐幾里得，阿基米德與阿波羅尼奧斯。于公元前320年由歐幾里得編寫的《幾何原本》是歐式幾何的奠基之作。歐幾里得使用了公理化的方法，這一方法后來成了建立任何知識體系的典范，在兩千年間被奉為必須遵守的嚴密思維的范例。阿基米德被稱為古代最偉大的數學家。他的發現涉獵極廣，如給出許多求幾何圖形重心，包括由一拋物線和其網平行弦線所圍成圖形的重心的方法，還有采用不斷分割法求橢球體、旋轉拋物體等的體積，這種方法已具有積分計算的雛形。阿波羅尼奧斯是天才的幾何學家，著有《圓錐曲線》一書，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地。

  公元元年以后，雖然在亞歷山大的數學研究還在繼續著，但人們對于這門學科的興趣在逐漸減弱。希臘科學的黃金時代正在消褪，取而代之的是極端實際與不關心智慧追求的羅馬文化，隨后則是長達一千年的中世紀。這是黑暗的時代，希臘先哲們的榮光似乎遠離了這塊土地，無論是數學，還是其他思想，大都處于停滯乃至衰落狀態。然而，天翻地覆的巨變正在緩緩醞釀著，而最終帶來的，將是一場徹底的光明與復興。

  雖然文藝復興被普遍認為是“人類從來沒有經歷過的最偉大的、進步的變革”，不過對于數學而言，智慧的火焰在黑暗時期也在不停地涌現，反抗著。東方的拜占庭帝國一直維持著一個學術背景，保存了不少希臘學術著作。阿拉伯人崛起后，很快從東西方的合流中發展出了高度的文化，希臘文化也由此保留?；浇陶鞣靼嘌篮?，阿拉伯文化被西歐所利用，大量希臘著作被譯為拉丁文。中國的指南針傳到西方后，提高航海技術的強烈需要極大地影響了天文學和數學兩門基礎科學。不過中世紀的人們過于尊敬亞里士多德的權威地位，以至于出現了純粹解釋歷史文獻的學問。這與自然科學的理念背道而馳，在這樣的氣氛里，數學只能勉強維持下來。

  1453年，君士坦丁堡被土耳其人攻陷。繼承了羅馬和希臘，綿延千年的拜占庭帝國覆滅。許多學者帶著著作來到意大利避難，受到了美第奇家族的歡迎。西方終于能夠直接看到希臘經典著作的原文，而整個西方世界也揭開了那個最有名的繁盛時期。

  數學在這個全面復興的局面中沒有落后，不久它就獲得了自從希臘文化衰落以來從未有過的領導地位。以前一直被忽視的算數開始興起，三次和四次方程的解已經得出，負數甚至虛數獲得了應有的地位，三角學開始作為一門獨立學科出現，而屬于物理學范疇卻對本文及其重要的一個事實是：沉寂了18個世紀的力學，終于開始吸引人們的注意了。文藝復興始于當時最強盛的意大利和德國，漢薩聯盟仍然控制著北方的貿易，而佛羅倫薩和威尼斯正處于繁榮昌盛的頂峰。法國的重要性直到16世紀末才表現出來，并牢牢占據領導地位達一個世紀之久。

  1600年可能是數學史上最重要的一個世紀的開端。笛卡爾在此四年前出生，隨后又有帕斯卡爾和費馬誕生。這三個人注定要改變整個數學面貌。在16世紀，大多數數學科目都有了具體的進展，不過新世紀的開始預告了一個更為壯觀的發展。代數在幾何上的運用使笛卡爾讓解析幾何臻于完善，帕斯卡爾發展了射影幾何，小數和對數的應用提升了計算方法，費馬等人開始研究數論和概率論，古代極微分割方法被引人幾何學，并最終導致了微積分的發明。在開普勒等前人的基礎上，笛卡爾和費馬分別發明了解析幾何。笛卡爾的《幾何學》是論述解析幾何的一部經典之作。而對于概率論最早的探索，要歸功于費馬和帕斯卡爾。這一研究經過了漫長的歷史，直到如今，仍然在吸引著眾多科學家的注意力。

  隨著數學的穩步前進，力學一直落在后面。雖然阿基米德指出過正確的方向，但在1800年來取得的進展很小。不過16世紀末開始，由于出現了機器，力學原理的研究終于開始了。伽利略，笛卡爾，惠更斯等人對這門學科做了極大的拓展。不過在他們手里，力學已經達到了這樣的高度：如果不發明新的，更有力的方法，就幾乎不可能取得進一步進展了，而同時期的數學的處境也差不多。幸運的是，這種現象并沒有被耽擱很久，因為在1642年，牛頓出生了。

  微積分并非沒有前身突然產生的，它是許多學者長期探索的思想結晶。在確定曲線圖形的面積問題上，阿基米德曾用到了窮竭法，從中可以清楚地看到無窮小的分析原理，2000年后卡瓦列里又恢復了這方面的探索，經過托里拆利，費馬，惠更斯，沃利斯等人的推廣與改進，形成了積分學中求和的形式。在做曲線切線的問題上，阿基米德的螺線切線之后，笛卡爾和費馬又做出了發展。

  牛頓的萬有引力定律與二項式定理是偉大的貢獻，而其不朽著作《原理》標志著經典力學體系的建立。其全書貫穿了流數，也就是微積分的概念。牛頓的重要性在于，他集各家之大成，提出了變化率，微分與積分互逆等微積分的基本概念，并把這個方法變成了一個完整的工具體系。在德國，微積分的原理是由萊布尼茲發展起來的。根據萊布尼茲自述，他是在1674年發明微積分的，牛頓聲稱他逐漸攻下流數是在1666年。由此，英國與歐洲大陸數學家分道揚鑣，這是科學史上不幸的一章。在這場爭論中，萊布尼茲的記法被用到了今天，而現在人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立創建微積分的。微積分的創立，標志著世界進入一個新紀元。從17世紀起，科學就開始將原來以基督教為中心的文化變革成現在這樣以科學為中心的文化。

  1640年英國資產階級革命后，英國確立了君主立憲制，世界進入了近代史時期。1701年普魯士王國成立，1776年美國獨立，1789年法國大革命，封建制度的衰亡和資本主義的成長是這一時期的中心內容，英國、德國、法國成為這一時期數學家的主要家園。在17世紀后半葉，數學取得了驚人的進展，微積分是強有力的工具，但必須批判地考察其基礎。這就是下一個世紀的主要工作之一。在18世紀，數學的主流是由微積分發展起來的數學分析。數學分析的發展使力學和天體力學深化，而后者的課題又成了數學分析發展的動力。

  從數學家的角度而言，18世紀是“英雄的時代”，各路豪杰盡顯威名，包括科學史上著名的伯努利家族；幾乎對每個數學分支都做出了重要貢獻的歐拉；賦予微積分清楚嚴謹的基礎的柯西；18世紀最頂級的數學家拉格朗日；此外還有泰勒，麥克勞林，斯特林，蘭登，傅里葉，等等，他們為發展微積分做出了突出貢獻。而蒙日，卡諾和彭塞列則創立了近代幾何的開端。拉格朗日于1766年受腓特烈大帝邀請來到柏林。這20年里，他的作品浩如煙海，并醞釀了他最偉大的著作《分析力學》。 當時，法國土地上的復興氣象正開始生成，巴黎再度成為數學教育中心。拉普拉斯和拉格朗日一樣是分析學大師，他在天文力學上取得了驚人的成果，著有《天體力學》一書。 隨著拿破侖的鐵騎橫掃歐陸，這個時代也是法國歷史上科學成就最豐富的時代之一。

18世紀末，法蘭西的土地上已經取得了最大進展。隨著19世紀的到來，德國很快躍居首位。高斯，阿貝爾，伽羅華等人發揚了費馬在代數上的貢獻。高斯是這個時代乃至所有時代最偉大的數學家，他對數學的嚴密性有更高的要求，他全面發展了純粹數學和應用數學的所有領域。 由于高斯進行了各種各樣的研究，數學已經變得越來越高度專門化了，更加脫離了經濟生活的需要，學者們開始培養起為數學而研究數學的興趣。

  1897年召開了國際數學家大會，揭開了20世紀純粹數學大發展的時代，數學的分支很快變得越來越多，其中每個都是需要專家來研究的一門科目。企圖涉獵整個領域的最后一人是龐加萊，目前來看，即使有第二個高斯出現，他能否涉及極少幾個分支而顯得游刃有余，那都是值得懷疑的。數學已經發展成為一個如此巨大的結構，對各個學科起著基石作用，而如今我們可以毫不含糊地說：數學就是一切科學之王。

極簡日本漫畫史