根據(jù)考古研究，我們已知最早的文明，兩河文明，已經(jīng)讓初等數(shù)學(xué)在他們的生活中起到了不小的作用。巴比倫人的天文知識淵博而精確，例如關(guān)于太陽月，他們定出的值與真實值之間只差一秒。他們不光熟悉十進制，在計算大數(shù)的時候還補充了一種以六十為基數(shù)的進位制。一塊距今約4300年的泥板表明，巴比倫人那時已經(jīng)知道如何度量矩形、特殊三角形的面積，以及正多面體的體積。

  在外來者當(dāng)中，有些人把蘇美爾的影響和知識帶到了埃及，在這里，文明也達到了很高的成就。因為紙草書的存在，我們對埃及的了解比對巴比倫的要多。埃及人對數(shù)學(xué)有著廣泛的貢獻，他們完成了基本的算數(shù)四則運算，并把它們推廣到分數(shù)上，并且有了求近似平方根的方法。他們已經(jīng)有了算數(shù)級數(shù)，幾何級數(shù)，立體圖形求積，初等三角函數(shù)以及二次方程的知識。然而，無論是巴比倫人還是埃及人，都沒有對自然現(xiàn)象進行耐心仔細的考察，擁有概括推理的能力，因此這些古老的文明中并沒有產(chǎn)生真正意義上的科學(xué)。

  雖然希臘人從古代文化中繼承了大量資料，不過幾乎所有人都承認，愛琴海的艾奧尼亞海岸是今天一切科學(xué)的起源。巴比倫人和埃及人從未想到過為了知識本身而去尋求知識的行為，而正是這種概念促使了“希臘的科學(xué)奇跡”的發(fā)生，這之中最驚人的進步便發(fā)生在數(shù)學(xué)上，并為其以后的發(fā)展奠定了永久的基礎(chǔ)。以泰勒斯為首的艾奧尼亞學(xué)派將幾何學(xué)等知識從埃及和巴比倫帶回希臘，并提出了很多命題和基本原理。公元前6世紀末，由于波斯的入侵，人們向西方逃難，意大利和西西里島變成了新的學(xué)術(shù)中心。建立于意大利南部的畢達哥拉斯學(xué)派把數(shù)學(xué)研究變成了一種自由教育的形式，整個數(shù)學(xué)變得更抽象，更加脫離經(jīng)濟生活需要了。畢達哥拉斯學(xué)派對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響，歷時達兩個世紀之久。

  波斯于公元前480年被希臘聯(lián)軍擊敗后，雅典成為了世界經(jīng)濟和文化中心。這時出現(xiàn)了旨在教育國民，轉(zhuǎn)播文化的哲人派，他們的思考對尺規(guī)作圖等幾何問題的發(fā)展影響很大，其中就有芝諾那些關(guān)于無限的著名悖論。波斯游牧民族的威脅消除后，雅典與斯巴達之間的同盟就被猜忌與不和取代了。伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭一直延續(xù)到公元前404年，那一年雅典被迫投降。這段時期是蘇格拉底和柏拉圖的時代。與老師蘇格拉底醉心于國家和倫理不同，柏拉圖在游歷期間對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。因此對后世影響深遠的柏拉圖學(xué)園的哲學(xué)也成了數(shù)學(xué)的哲學(xué)。偉大的學(xué)者，哲學(xué)家亞里士多德也是柏拉圖學(xué)園的學(xué)生，他讓人們明白了公理，公設(shè)和定義之間的區(qū)別，他的著作包含很多重要的定理。亞里士多德留下的大量著作，直接統(tǒng)治了后來的“復(fù)興時期”的所有學(xué)說，即使那些錯誤的力學(xué)原理一直持續(xù)到16世紀。

  馬其頓于公元前338年徹底擊敗雅典后，雅典城再也沒能復(fù)興起來。兩年后，馬其頓的新國王亞歷山大大帝開始著手征服世界，建立了巨大而短暫的帝國。公元前332年，他在尼羅河畔建立了亞歷山大城。這座城市后來的統(tǒng)治者托勒密與亞歷山大大帝一樣都是亞里士多德的學(xué)生，亞歷山大城很快成為了新的經(jīng)濟與文化中心。從那以后，亞歷山大這種學(xué)術(shù)中心的地位延續(xù)了千年，直到公元641年遭到阿拉伯人的洗劫。

  亞歷山大城的學(xué)者中，有三個人決定了此后數(shù)百年數(shù)學(xué)的進程：歐幾里得，阿基米德與阿波羅尼奧斯。于公元前320年由歐幾里得編寫的《幾何原本》是歐式幾何的奠基之作。歐幾里得使用了公理化的方法，這一方法后來成了建立任何知識體系的典范，在兩千年間被奉為必須遵守的嚴密思維的范例。阿基米德被稱為古代最偉大的數(shù)學(xué)家。他的發(fā)現(xiàn)涉獵極廣，如給出許多求幾何圖形重心，包括由一拋物線和其網(wǎng)平行弦線所圍成圖形的重心的方法，還有采用不斷分割法求橢球體、旋轉(zhuǎn)拋物體等的體積，這種方法已具有積分計算的雛形。阿波羅尼奧斯是天才的幾何學(xué)家，著有《圓錐曲線》一書，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地。

  公元元年以后，雖然在亞歷山大的數(shù)學(xué)研究還在繼續(xù)著，但人們對于這門學(xué)科的興趣在逐漸減弱。希臘科學(xué)的黃金時代正在消褪，取而代之的是極端實際與不關(guān)心智慧追求的羅馬文化，隨后則是長達一千年的中世紀。這是黑暗的時代，希臘先哲們的榮光似乎遠離了這塊土地，無論是數(shù)學(xué)，還是其他思想，大都處于停滯乃至衰落狀態(tài)。然而，天翻地覆的巨變正在緩緩醞釀著，而最終帶來的，將是一場徹底的光明與復(fù)興。

  雖然文藝復(fù)興被普遍認為是“人類從來沒有經(jīng)歷過的最偉大的、進步的變革”，不過對于數(shù)學(xué)而言，智慧的火焰在黑暗時期也在不停地涌現(xiàn)，反抗著。東方的拜占庭帝國一直維持著一個學(xué)術(shù)背景，保存了不少希臘學(xué)術(shù)著作。阿拉伯人崛起后，很快從東西方的合流中發(fā)展出了高度的文化，希臘文化也由此保留。基督教征服西班牙后，阿拉伯文化被西歐所利用，大量希臘著作被譯為拉丁文。中國的指南針傳到西方后，提高航海技術(shù)的強烈需要極大地影響了天文學(xué)和數(shù)學(xué)兩門基礎(chǔ)科學(xué)。不過中世紀的人們過于尊敬亞里士多德的權(quán)威地位，以至于出現(xiàn)了純粹解釋歷史文獻的學(xué)問。這與自然科學(xué)的理念背道而馳，在這樣的氣氛里，數(shù)學(xué)只能勉強維持下來。

  1453年，君士坦丁堡被土耳其人攻陷。繼承了羅馬和希臘，綿延千年的拜占庭帝國覆滅。許多學(xué)者帶著著作來到意大利避難，受到了美第奇家族的歡迎。西方終于能夠直接看到希臘經(jīng)典著作的原文，而整個西方世界也揭開了那個最有名的繁盛時期。

  數(shù)學(xué)在這個全面復(fù)興的局面中沒有落后，不久它就獲得了自從希臘文化衰落以來從未有過的領(lǐng)導(dǎo)地位。以前一直被忽視的算數(shù)開始興起，三次和四次方程的解已經(jīng)得出，負數(shù)甚至虛數(shù)獲得了應(yīng)有的地位，三角學(xué)開始作為一門獨立學(xué)科出現(xiàn)，而屬于物理學(xué)范疇卻對本文及其重要的一個事實是：沉寂了18個世紀的力學(xué)，終于開始吸引人們的注意了。文藝復(fù)興始于當(dāng)時最強盛的意大利和德國，漢薩聯(lián)盟仍然控制著北方的貿(mào)易，而佛羅倫薩和威尼斯正處于繁榮昌盛的頂峰。法國的重要性直到16世紀末才表現(xiàn)出來，并牢牢占據(jù)領(lǐng)導(dǎo)地位達一個世紀之久。

  1600年可能是數(shù)學(xué)史上最重要的一個世紀的開端。笛卡爾在此四年前出生，隨后又有帕斯卡爾和費馬誕生。這三個人注定要改變整個數(shù)學(xué)面貌。在16世紀，大多數(shù)數(shù)學(xué)科目都有了具體的進展，不過新世紀的開始預(yù)告了一個更為壯觀的發(fā)展。代數(shù)在幾何上的運用使笛卡爾讓解析幾何臻于完善，帕斯卡爾發(fā)展了射影幾何，小數(shù)和對數(shù)的應(yīng)用提升了計算方法，費馬等人開始研究數(shù)論和概率論，古代極微分割方法被引人幾何學(xué)，并最終導(dǎo)致了微積分的發(fā)明。在開普勒等前人的基礎(chǔ)上，笛卡爾和費馬分別發(fā)明了解析幾何。笛卡爾的《幾何學(xué)》是論述解析幾何的一部經(jīng)典之作。而對于概率論最早的探索，要歸功于費馬和帕斯卡爾。這一研究經(jīng)過了漫長的歷史，直到如今，仍然在吸引著眾多科學(xué)家的注意力。

  隨著數(shù)學(xué)的穩(wěn)步前進，力學(xué)一直落在后面。雖然阿基米德指出過正確的方向，但在1800年來取得的進展很小。不過16世紀末開始，由于出現(xiàn)了機器，力學(xué)原理的研究終于開始了。伽利略，笛卡爾，惠更斯等人對這門學(xué)科做了極大的拓展。不過在他們手里，力學(xué)已經(jīng)達到了這樣的高度：如果不發(fā)明新的，更有力的方法，就幾乎不可能取得進一步進展了，而同時期的數(shù)學(xué)的處境也差不多。幸運的是，這種現(xiàn)象并沒有被耽擱很久，因為在1642年，牛頓出生了。

  微積分并非沒有前身突然產(chǎn)生的，它是許多學(xué)者長期探索的思想結(jié)晶。在確定曲線圖形的面積問題上，阿基米德曾用到了窮竭法，從中可以清楚地看到無窮小的分析原理，2000年后卡瓦列里又恢復(fù)了這方面的探索，經(jīng)過托里拆利，費馬，惠更斯，沃利斯等人的推廣與改進，形成了積分學(xué)中求和的形式。在做曲線切線的問題上，阿基米德的螺線切線之后，笛卡爾和費馬又做出了發(fā)展。

  牛頓的萬有引力定律與二項式定理是偉大的貢獻，而其不朽著作《原理》標(biāo)志著經(jīng)典力學(xué)體系的建立。其全書貫穿了流數(shù)，也就是微積分的概念。牛頓的重要性在于，他集各家之大成，提出了變化率，微分與積分互逆等微積分的基本概念，并把這個方法變成了一個完整的工具體系。在德國，微積分的原理是由萊布尼茲發(fā)展起來的。根據(jù)萊布尼茲自述，他是在1674年發(fā)明微積分的，牛頓聲稱他逐漸攻下流數(shù)是在1666年。由此，英國與歐洲大陸數(shù)學(xué)家分道揚鑣，這是科學(xué)史上不幸的一章。在這場爭論中，萊布尼茲的記法被用到了今天，而現(xiàn)在人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立創(chuàng)建微積分的。微積分的創(chuàng)立，標(biāo)志著世界進入一個新紀元。從17世紀起，科學(xué)就開始將原來以基督教為中心的文化變革成現(xiàn)在這樣以科學(xué)為中心的文化。

  1640年英國資產(chǎn)階級革命后，英國確立了君主立憲制，世界進入了近代史時期。1701年普魯士王國成立，1776年美國獨立，1789年法國大革命，封建制度的衰亡和資本主義的成長是這一時期的中心內(nèi)容，英國、德國、法國成為這一時期數(shù)學(xué)家的主要家園。在17世紀后半葉，數(shù)學(xué)取得了驚人的進展，微積分是強有力的工具，但必須批判地考察其基礎(chǔ)。這就是下一個世紀的主要工作之一。在18世紀，數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而后者的課題又成了數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動力。

  從數(shù)學(xué)家的角度而言，18世紀是“英雄的時代”，各路豪杰盡顯威名，包括科學(xué)史上著名的伯努利家族；幾乎對每個數(shù)學(xué)分支都做出了重要貢獻的歐拉；賦予微積分清楚嚴謹?shù)幕A(chǔ)的柯西；18世紀最頂級的數(shù)學(xué)家拉格朗日；此外還有泰勒，麥克勞林，斯特林，蘭登，傅里葉，等等，他們?yōu)榘l(fā)展微積分做出了突出貢獻。而蒙日，卡諾和彭塞列則創(chuàng)立了近代幾何的開端。拉格朗日于1766年受腓特烈大帝邀請來到柏林。這20年里，他的作品浩如煙海，并醞釀了他最偉大的著作《分析力學(xué)》。 當(dāng)時，法國土地上的復(fù)興氣象正開始生成，巴黎再度成為數(shù)學(xué)教育中心。拉普拉斯和拉格朗日一樣是分析學(xué)大師，他在天文力學(xué)上取得了驚人的成果，著有《天體力學(xué)》一書。 隨著拿破侖的鐵騎橫掃歐陸，這個時代也是法國歷史上科學(xué)成就最豐富的時代之一。

18世紀末，法蘭西的土地上已經(jīng)取得了最大進展。隨著19世紀的到來，德國很快躍居首位。高斯，阿貝爾，伽羅華等人發(fā)揚了費馬在代數(shù)上的貢獻。高斯是這個時代乃至所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家，他對數(shù)學(xué)的嚴密性有更高的要求，他全面發(fā)展了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。 由于高斯進行了各種各樣的研究，數(shù)學(xué)已經(jīng)變得越來越高度專門化了，更加脫離了經(jīng)濟生活的需要，學(xué)者們開始培養(yǎng)起為數(shù)學(xué)而研究數(shù)學(xué)的興趣。

  1897年召開了國際數(shù)學(xué)家大會，揭開了20世紀純粹數(shù)學(xué)大發(fā)展的時代，數(shù)學(xué)的分支很快變得越來越多，其中每個都是需要專家來研究的一門科目。企圖涉獵整個領(lǐng)域的最后一人是龐加萊，目前來看，即使有第二個高斯出現(xiàn)，他能否涉及極少幾個分支而顯得游刃有余，那都是值得懷疑的。數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個如此巨大的結(jié)構(gòu)，對各個學(xué)科起著基石作用，而如今我們可以毫不含糊地說：數(shù)學(xué)就是一切科學(xué)之王。

極簡日本漫畫史