根據(jù)考古研究，我們已知最早的文明，兩河文明，已經(jīng)讓初等數(shù)學(xué)在他們的生活中起到了不小的作用。巴比倫人的天文知識(shí)淵博而精確，例如關(guān)于太陽(yáng)月，他們定出的值與真實(shí)值之間只差一秒。他們不光熟悉十進(jìn)制，在計(jì)算大數(shù)的時(shí)候還補(bǔ)充了一種以六十為基數(shù)的進(jìn)位制。一塊距今約4300年的泥板表明，巴比倫人那時(shí)已經(jīng)知道如何度量矩形、特殊三角形的面積，以及正多面體的體積。

  在外來(lái)者當(dāng)中，有些人把蘇美爾的影響和知識(shí)帶到了埃及，在這里，文明也達(dá)到了很高的成就。因?yàn)榧埐輹?shū)的存在，我們對(duì)埃及的了解比對(duì)巴比倫的要多。埃及人對(duì)數(shù)學(xué)有著廣泛的貢獻(xiàn)，他們完成了基本的算數(shù)四則運(yùn)算，并把它們推廣到分?jǐn)?shù)上，并且有了求近似平方根的方法。他們已經(jīng)有了算數(shù)級(jí)數(shù)，幾何級(jí)數(shù)，立體圖形求積，初等三角函數(shù)以及二次方程的知識(shí)。然而，無(wú)論是巴比倫人還是埃及人，都沒(méi)有對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行耐心仔細(xì)的考察，擁有概括推理的能力，因此這些古老的文明中并沒(méi)有產(chǎn)生真正意義上的科學(xué)。

  雖然希臘人從古代文化中繼承了大量資料，不過(guò)幾乎所有人都承認(rèn)，愛(ài)琴海的艾奧尼亞海岸是今天一切科學(xué)的起源。巴比倫人和埃及人從未想到過(guò)為了知識(shí)本身而去尋求知識(shí)的行為，而正是這種概念促使了“希臘的科學(xué)奇跡”的發(fā)生，這之中最驚人的進(jìn)步便發(fā)生在數(shù)學(xué)上，并為其以后的發(fā)展奠定了永久的基礎(chǔ)。以泰勒斯為首的艾奧尼亞學(xué)派將幾何學(xué)等知識(shí)從埃及和巴比倫帶回希臘，并提出了很多命題和基本原理。公元前6世紀(jì)末，由于波斯的入侵，人們向西方逃難，意大利和西西里島變成了新的學(xué)術(shù)中心。建立于意大利南部的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把數(shù)學(xué)研究變成了一種自由教育的形式，整個(gè)數(shù)學(xué)變得更抽象，更加脫離經(jīng)濟(jì)生活需要了。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響，歷時(shí)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)之久。

  波斯于公元前480年被希臘聯(lián)軍擊敗后，雅典成為了世界經(jīng)濟(jì)和文化中心。這時(shí)出現(xiàn)了旨在教育國(guó)民，轉(zhuǎn)播文化的哲人派，他們的思考對(duì)尺規(guī)作圖等幾何問(wèn)題的發(fā)展影響很大，其中就有芝諾那些關(guān)于無(wú)限的著名悖論。波斯游牧民族的威脅消除后，雅典與斯巴達(dá)之間的同盟就被猜忌與不和取代了。伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)一直延續(xù)到公元前404年，那一年雅典被迫投降。這段時(shí)期是蘇格拉底和柏拉圖的時(shí)代。與老師蘇格拉底醉心于國(guó)家和倫理不同，柏拉圖在游歷期間對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。因此對(duì)后世影響深遠(yuǎn)的柏拉圖學(xué)園的哲學(xué)也成了數(shù)學(xué)的哲學(xué)。偉大的學(xué)者，哲學(xué)家亞里士多德也是柏拉圖學(xué)園的學(xué)生，他讓人們明白了公理，公設(shè)和定義之間的區(qū)別，他的著作包含很多重要的定理。亞里士多德留下的大量著作，直接統(tǒng)治了后來(lái)的“復(fù)興時(shí)期”的所有學(xué)說(shuō)，即使那些錯(cuò)誤的力學(xué)原理一直持續(xù)到16世紀(jì)。

  馬其頓于公元前338年徹底擊敗雅典后，雅典城再也沒(méi)能復(fù)興起來(lái)。兩年后，馬其頓的新國(guó)王亞歷山大大帝開(kāi)始著手征服世界，建立了巨大而短暫的帝國(guó)。公元前332年，他在尼羅河畔建立了亞歷山大城。這座城市后來(lái)的統(tǒng)治者托勒密與亞歷山大大帝一樣都是亞里士多德的學(xué)生，亞歷山大城很快成為了新的經(jīng)濟(jì)與文化中心。從那以后，亞歷山大這種學(xué)術(shù)中心的地位延續(xù)了千年，直到公元641年遭到阿拉伯人的洗劫。

  亞歷山大城的學(xué)者中，有三個(gè)人決定了此后數(shù)百年數(shù)學(xué)的進(jìn)程：歐幾里得，阿基米德與阿波羅尼奧斯。于公元前320年由歐幾里得編寫(xiě)的《幾何原本》是歐式幾何的奠基之作。歐幾里得使用了公理化的方法，這一方法后來(lái)成了建立任何知識(shí)體系的典范，在兩千年間被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例。阿基米德被稱為古代最偉大的數(shù)學(xué)家。他的發(fā)現(xiàn)涉獵極廣，如給出許多求幾何圖形重心，包括由一拋物線和其網(wǎng)平行弦線所圍成圖形的重心的方法，還有采用不斷分割法求橢球體、旋轉(zhuǎn)拋物體等的體積，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形。阿波羅尼奧斯是天才的幾何學(xué)家，著有《圓錐曲線》一書(shū)，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地。

  公元元年以后，雖然在亞歷山大的數(shù)學(xué)研究還在繼續(xù)著，但人們對(duì)于這門(mén)學(xué)科的興趣在逐漸減弱。希臘科學(xué)的黃金時(shí)代正在消褪，取而代之的是極端實(shí)際與不關(guān)心智慧追求的羅馬文化，隨后則是長(zhǎng)達(dá)一千年的中世紀(jì)。這是黑暗的時(shí)代，希臘先哲們的榮光似乎遠(yuǎn)離了這塊土地，無(wú)論是數(shù)學(xué)，還是其他思想，大都處于停滯乃至衰落狀態(tài)。然而，天翻地覆的巨變正在緩緩醞釀著，而最終帶來(lái)的，將是一場(chǎng)徹底的光明與復(fù)興。

  雖然文藝復(fù)興被普遍認(rèn)為是“人類從來(lái)沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)的最偉大的、進(jìn)步的變革”，不過(guò)對(duì)于數(shù)學(xué)而言，智慧的火焰在黑暗時(shí)期也在不停地涌現(xiàn)，反抗著。東方的拜占庭帝國(guó)一直維持著一個(gè)學(xué)術(shù)背景，保存了不少希臘學(xué)術(shù)著作。阿拉伯人崛起后，很快從東西方的合流中發(fā)展出了高度的文化，希臘文化也由此保留。基督教征服西班牙后，阿拉伯文化被西歐所利用，大量希臘著作被譯為拉丁文。中國(guó)的指南針傳到西方后，提高航海技術(shù)的強(qiáng)烈需要極大地影響了天文學(xué)和數(shù)學(xué)兩門(mén)基礎(chǔ)科學(xué)。不過(guò)中世紀(jì)的人們過(guò)于尊敬亞里士多德的權(quán)威地位，以至于出現(xiàn)了純粹解釋歷史文獻(xiàn)的學(xué)問(wèn)。這與自然科學(xué)的理念背道而馳，在這樣的氣氛里，數(shù)學(xué)只能勉強(qiáng)維持下來(lái)。

  1453年，君士坦丁堡被土耳其人攻陷。繼承了羅馬和希臘，綿延千年的拜占庭帝國(guó)覆滅。許多學(xué)者帶著著作來(lái)到意大利避難，受到了美第奇家族的歡迎。西方終于能夠直接看到希臘經(jīng)典著作的原文，而整個(gè)西方世界也揭開(kāi)了那個(gè)最有名的繁盛時(shí)期。

  數(shù)學(xué)在這個(gè)全面復(fù)興的局面中沒(méi)有落后，不久它就獲得了自從希臘文化衰落以來(lái)從未有過(guò)的領(lǐng)導(dǎo)地位。以前一直被忽視的算數(shù)開(kāi)始興起，三次和四次方程的解已經(jīng)得出，負(fù)數(shù)甚至虛數(shù)獲得了應(yīng)有的地位，三角學(xué)開(kāi)始作為一門(mén)獨(dú)立學(xué)科出現(xiàn)，而屬于物理學(xué)范疇卻對(duì)本文及其重要的一個(gè)事實(shí)是：沉寂了18個(gè)世紀(jì)的力學(xué)，終于開(kāi)始吸引人們的注意了。文藝復(fù)興始于當(dāng)時(shí)最強(qiáng)盛的意大利和德國(guó)，漢薩聯(lián)盟仍然控制著北方的貿(mào)易，而佛羅倫薩和威尼斯正處于繁榮昌盛的頂峰。法國(guó)的重要性直到16世紀(jì)末才表現(xiàn)出來(lái)，并牢牢占據(jù)領(lǐng)導(dǎo)地位達(dá)一個(gè)世紀(jì)之久。

  1600年可能是數(shù)學(xué)史上最重要的一個(gè)世紀(jì)的開(kāi)端。笛卡爾在此四年前出生，隨后又有帕斯卡爾和費(fèi)馬誕生。這三個(gè)人注定要改變整個(gè)數(shù)學(xué)面貌。在16世紀(jì)，大多數(shù)數(shù)學(xué)科目都有了具體的進(jìn)展，不過(guò)新世紀(jì)的開(kāi)始預(yù)告了一個(gè)更為壯觀的發(fā)展。代數(shù)在幾何上的運(yùn)用使笛卡爾讓解析幾何臻于完善，帕斯卡爾發(fā)展了射影幾何，小數(shù)和對(duì)數(shù)的應(yīng)用提升了計(jì)算方法，費(fèi)馬等人開(kāi)始研究數(shù)論和概率論，古代極微分割方法被引人幾何學(xué)，并最終導(dǎo)致了微積分的發(fā)明。在開(kāi)普勒等前人的基礎(chǔ)上，笛卡爾和費(fèi)馬分別發(fā)明了解析幾何。笛卡爾的《幾何學(xué)》是論述解析幾何的一部經(jīng)典之作。而對(duì)于概率論最早的探索，要?dú)w功于費(fèi)馬和帕斯卡爾。這一研究經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的歷史，直到如今，仍然在吸引著眾多科學(xué)家的注意力。

  隨著數(shù)學(xué)的穩(wěn)步前進(jìn)，力學(xué)一直落在后面。雖然阿基米德指出過(guò)正確的方向，但在1800年來(lái)取得的進(jìn)展很小。不過(guò)16世紀(jì)末開(kāi)始，由于出現(xiàn)了機(jī)器，力學(xué)原理的研究終于開(kāi)始了。伽利略，笛卡爾，惠更斯等人對(duì)這門(mén)學(xué)科做了極大的拓展。不過(guò)在他們手里，力學(xué)已經(jīng)達(dá)到了這樣的高度：如果不發(fā)明新的，更有力的方法，就幾乎不可能取得進(jìn)一步進(jìn)展了，而同時(shí)期的數(shù)學(xué)的處境也差不多。幸運(yùn)的是，這種現(xiàn)象并沒(méi)有被耽擱很久，因?yàn)樵?642年，牛頓出生了。

  微積分并非沒(méi)有前身突然產(chǎn)生的，它是許多學(xué)者長(zhǎng)期探索的思想結(jié)晶。在確定曲線圖形的面積問(wèn)題上，阿基米德曾用到了窮竭法，從中可以清楚地看到無(wú)窮小的分析原理，2000年后卡瓦列里又恢復(fù)了這方面的探索，經(jīng)過(guò)托里拆利，費(fèi)馬，惠更斯，沃利斯等人的推廣與改進(jìn)，形成了積分學(xué)中求和的形式。在做曲線切線的問(wèn)題上，阿基米德的螺線切線之后，笛卡爾和費(fèi)馬又做出了發(fā)展。

  牛頓的萬(wàn)有引力定律與二項(xiàng)式定理是偉大的貢獻(xiàn)，而其不朽著作《原理》標(biāo)志著經(jīng)典力學(xué)體系的建立。其全書(shū)貫穿了流數(shù)，也就是微積分的概念。牛頓的重要性在于，他集各家之大成，提出了變化率，微分與積分互逆等微積分的基本概念，并把這個(gè)方法變成了一個(gè)完整的工具體系。在德國(guó)，微積分的原理是由萊布尼茲發(fā)展起來(lái)的。根據(jù)萊布尼茲自述，他是在1674年發(fā)明微積分的，牛頓聲稱他逐漸攻下流數(shù)是在1666年。由此，英國(guó)與歐洲大陸數(shù)學(xué)家分道揚(yáng)鑣，這是科學(xué)史上不幸的一章。在這場(chǎng)爭(zhēng)論中，萊布尼茲的記法被用到了今天，而現(xiàn)在人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茲是各自獨(dú)立創(chuàng)建微積分的。微積分的創(chuàng)立，標(biāo)志著世界進(jìn)入一個(gè)新紀(jì)元。從17世紀(jì)起，科學(xué)就開(kāi)始將原來(lái)以基督教為中心的文化變革成現(xiàn)在這樣以科學(xué)為中心的文化。

  1640年英國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命后，英國(guó)確立了君主立憲制，世界進(jìn)入了近代史時(shí)期。1701年普魯士王國(guó)成立，1776年美國(guó)獨(dú)立，1789年法國(guó)大革命，封建制度的衰亡和資本主義的成長(zhǎng)是這一時(shí)期的中心內(nèi)容，英國(guó)、德國(guó)、法國(guó)成為這一時(shí)期數(shù)學(xué)家的主要家園。在17世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)取得了驚人的進(jìn)展，微積分是強(qiáng)有力的工具，但必須批判地考察其基礎(chǔ)。這就是下一個(gè)世紀(jì)的主要工作之一。在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)的主流是由微積分發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展使力學(xué)和天體力學(xué)深化，而后者的課題又成了數(shù)學(xué)分析發(fā)展的動(dòng)力。

  從數(shù)學(xué)家的角度而言，18世紀(jì)是“英雄的時(shí)代”，各路豪杰盡顯威名，包括科學(xué)史上著名的伯努利家族；幾乎對(duì)每個(gè)數(shù)學(xué)分支都做出了重要貢獻(xiàn)的歐拉；賦予微積分清楚嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)的柯西；18世紀(jì)最頂級(jí)的數(shù)學(xué)家拉格朗日；此外還有泰勒，麥克勞林，斯特林，蘭登，傅里葉，等等，他們?yōu)榘l(fā)展微積分做出了突出貢獻(xiàn)。而蒙日，卡諾和彭塞列則創(chuàng)立了近代幾何的開(kāi)端。拉格朗日于1766年受腓特烈大帝邀請(qǐng)來(lái)到柏林。這20年里，他的作品浩如煙海，并醞釀了他最偉大的著作《分析力學(xué)》。 當(dāng)時(shí)，法國(guó)土地上的復(fù)興氣象正開(kāi)始生成，巴黎再度成為數(shù)學(xué)教育中心。拉普拉斯和拉格朗日一樣是分析學(xué)大師，他在天文力學(xué)上取得了驚人的成果，著有《天體力學(xué)》一書(shū)。 隨著拿破侖的鐵騎橫掃歐陸，這個(gè)時(shí)代也是法國(guó)歷史上科學(xué)成就最豐富的時(shí)代之一。

18世紀(jì)末，法蘭西的土地上已經(jīng)取得了最大進(jìn)展。隨著19世紀(jì)的到來(lái)，德國(guó)很快躍居首位。高斯，阿貝爾，伽羅華等人發(fā)揚(yáng)了費(fèi)馬在代數(shù)上的貢獻(xiàn)。高斯是這個(gè)時(shí)代乃至所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家，他對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性有更高的要求，他全面發(fā)展了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。 由于高斯進(jìn)行了各種各樣的研究，數(shù)學(xué)已經(jīng)變得越來(lái)越高度專門(mén)化了，更加脫離了經(jīng)濟(jì)生活的需要，學(xué)者們開(kāi)始培養(yǎng)起為數(shù)學(xué)而研究數(shù)學(xué)的興趣。

  1897年召開(kāi)了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，揭開(kāi)了20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)大發(fā)展的時(shí)代，數(shù)學(xué)的分支很快變得越來(lái)越多，其中每個(gè)都是需要專家來(lái)研究的一門(mén)科目。企圖涉獵整個(gè)領(lǐng)域的最后一人是龐加萊，目前來(lái)看，即使有第二個(gè)高斯出現(xiàn)，他能否涉及極少幾個(gè)分支而顯得游刃有余，那都是值得懷疑的。數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)如此巨大的結(jié)構(gòu)，對(duì)各個(gè)學(xué)科起著基石作用，而如今我們可以毫不含糊地說(shuō)：數(shù)學(xué)就是一切科學(xué)之王。

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