勻速[編輯]

勻速圓周運(yùn)動(dòng)，顧名思義，物體以“勻速”做圓周運(yùn)動(dòng)。如果你已經(jīng)將矢量的概念理解透徹，那么你一定應(yīng)該知道，這里的“勻速”絕不是指速度，因?yàn)槲矬w做曲線運(yùn)動(dòng)，速度無(wú)時(shí)無(wú)刻沒(méi)有變化。我們之后會(huì)提到，這里的速度實(shí)際上是指線速度，也就是物體運(yùn)動(dòng)的速率。為了方便表述，在本章中，我們直接用圓心來(lái)稱呼物體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的圓心。 勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一類重要的運(yùn)動(dòng)，廣泛存在于自然界中。很多的運(yùn)動(dòng)，都可以被視作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如行星上某一天隨著行星自傳繞自轉(zhuǎn)中心的運(yùn)動(dòng)，就可以被視作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

加速度和向心力[編輯]

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，速度無(wú)時(shí)無(wú)刻沒(méi)有變化，因此肯定有一個(gè)加速度來(lái)改變速度，我們現(xiàn)在來(lái)探究這個(gè)加速度究竟是怎樣的一個(gè)加速度。

如示例圖1所示的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻，物體運(yùn)動(dòng)的速度為,并且在經(jīng)過(guò)后的時(shí)刻，速度為，這段時(shí)間物體運(yùn)動(dòng)的軌跡圓弧所對(duì)的圓心角為，且無(wú)論在任何時(shí)刻，物體運(yùn)動(dòng)的速率都為。如果我們以A為原點(diǎn)，AG為軸負(fù)方向，方向?yàn)?img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" aria-hidden="true" alt="x" style="border: 0px; vertical-align: -0.338ex; margin: 0px; display: inline-block; width: 1.33ex; height: 1.676ex;" />軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則有，。

現(xiàn)在我們假設(shè)我們考慮的值很小，那么此時(shí)也非常小，此時(shí)有而請(qǐng)注意，上述公式來(lái)自于微分，如果你對(duì)微分的內(nèi)容并不熟悉，請(qǐng)你比較線段GD以及所對(duì)的弧來(lái)感受，你也可以用類似于GeoGebra的開源數(shù)學(xué)圖形計(jì)算軟件作圖直觀感受一下。當(dāng)趨近于0時(shí)，我們認(rèn)為上述“≈”是可以被視作“=”的。因此有，

我們將上式以及帶入計(jì)算加速度的公式

我們從上述結(jié)論中看到，物體加速度是一個(gè)垂直于物體運(yùn)動(dòng)速度且方向指向圓心的矢量，大小關(guān)系已由上式給出。由于這個(gè)時(shí)刻是任意取的，因此我們可以得出，任何時(shí)刻做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度始終垂直于速度且指向圓心，我們將這個(gè)加速度叫做向心加速度。根據(jù)牛頓第二定律，物體在任何時(shí)刻都受到的合外力為

如果我們只考慮大小標(biāo)量，則

我們將這個(gè)合外力稱作向心力。

到這里，你應(yīng)該能夠感受向心力究竟來(lái)自于哪里，例如，繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)（如果近似地認(rèn)為是圓周運(yùn)動(dòng)的話）的月球，向心力來(lái)自于地球?qū)λ囊Α：鸵τ嘘P(guān)的內(nèi)容，我們將在下個(gè)章節(jié)介紹。

線速度和角速度[編輯]

在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，我們給予速率一個(gè)特殊的名稱，稱為線速度，表示物體沿弧線運(yùn)動(dòng)的速度大小。

我們定義新的矢量角速度

這個(gè)矢量和物體做圓周運(yùn)動(dòng)的平面是垂直，但是其定義的方式似乎十分晦澀。如果我們只考慮標(biāo)量，也就是其大小，那么就是這個(gè)矢量就意義就一目了然了。首先，它的大小是物體運(yùn)動(dòng)的速度除以做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑，如果我們?cè)诠絻蛇呁瑫r(shí)乘以時(shí)間，那么左右兩邊都可以代表這段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的弧所對(duì)的圓心角大小。簡(jiǎn)言之——這個(gè)矢量通過(guò)描述物體單位時(shí)間內(nèi)所掃過(guò)的角度來(lái)描述了物體做圓周運(yùn)動(dòng)的快慢。角速度的單位有很多種，只要合適的單位都可以被使用，經(jīng)常使用的單位有弧度每秒（rad/s），對(duì)于那些角速度非常大的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，我們習(xí)慣上使用轉(zhuǎn)每分（rpm）、轉(zhuǎn)每秒（rps）等單位，它們代表物體每分（或每秒）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周數(shù)。如果你對(duì)數(shù)字設(shè)備硬件有一定的了解，你可能已經(jīng)注意到，機(jī)械硬盤的性能指標(biāo)之一的轉(zhuǎn)速單位就是轉(zhuǎn)每分。

偽矢量[編輯]

為什么線速度的方向不具備意義，我們?nèi)匀灰獙⑺曌魇噶浚窟@是因?yàn)椋€速度被視為矢量后，我們才能完善一系列相關(guān)的計(jì)算。例如，計(jì)算向心力的公式，可以重新寫為

如果將上述公式中的角速度用標(biāo)量代替，計(jì)算出的向心力方向即是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，定義這樣的矢量，是為了完善我們的矢量的計(jì)算系統(tǒng)。

我們將物理量中，以矢量叉積（×）定義的矢量，稱之為偽矢量。