貝塞爾曲線

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在數(shù)學(xué)的數(shù)值分析領(lǐng)域中，貝茲曲線（Bézier curve）是電腦圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。更高維度的廣泛化貝茲曲線就稱(chēng)作貝茲曲面，其中貝茲三角是一種特殊的實(shí)例。

貝茲曲線於1962年，由法國(guó)工程師皮埃爾·貝茲（Pierre Bézier）所廣泛發(fā)表，他運(yùn)用貝茲曲線來(lái)為汽車(chē)的主體進(jìn)行設(shè)計(jì)。貝茲曲線最初由 Paul de Casteljau 於1959年運(yùn)用 de Casteljau 演算法開(kāi)發(fā)，以穩(wěn)定數(shù)值的方法求出貝茲曲線。

[編輯] 實(shí)例說(shuō)明

[編輯] 線性貝茲曲線

給定點(diǎn) P₀、P₁，線性貝茲曲線只是一條兩點(diǎn)之間的直線。這條線由下式給出：

且其等同於線性插值。

[編輯] 二次方貝茲曲線

二次方貝茲曲線的路徑由給定點(diǎn) P₀、P₁、P₂ 的函數(shù) B(t) 追蹤：

。

TrueType 字型就運(yùn)用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。

[編輯] 三次方貝茲曲線

P₀、P₁、P₂、P₃ 四個(gè)點(diǎn)在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始於 P₀ 走向 P₁，並從 P₂ 的方向來(lái)到 P₃。一般不會(huì)經(jīng)過(guò) P₁ 或 P₂；這兩個(gè)點(diǎn)只是在那裡提供方向資訊。 P₀ 和 P₁ 之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn) P₃ 之前，走向 P₂ 方向的「長(zhǎng)度有多長(zhǎng)」。

曲線的參數(shù)形式為：

。

現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運(yùn)用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來(lái)描繪曲線輪廓。

[編輯] 一般化

n 階貝茲曲線可如下推斷。給定點(diǎn) P₀、P₁、…、P_n，其貝茲曲線即

。

例如 n = 5：

。

如上公式可如下遞歸表達(dá)： 用 表示由點(diǎn) P₀、P₁、…、P_n 所決定的貝茲曲線。則

用平常話來(lái)說(shuō)，n 階的貝茲曲線，即雙 n - 1 階貝茲曲線之間的插值。

[編輯] 術(shù)語(yǔ)

一些關(guān)於參數(shù)曲線的術(shù)語(yǔ)，有

即多項(xiàng)式

又稱(chēng)作 n 階的伯恩斯坦基底多項(xiàng)式，定義 0⁰ = 1。

點(diǎn) P_i 稱(chēng)作貝茲曲線的控制點(diǎn)。多邊形以帶有線的貝茲點(diǎn)連接而成，起始於 P₀ 並以 P_n 終止，稱(chēng)作貝茲多邊形（或控制多邊形）。貝茲多邊形的凸包（convex hull）包含有貝茲曲線。

[編輯] 註解

• 開(kāi)始於 P₀ 並結(jié)束於 P_n 的曲線，即所謂的端點(diǎn)插值法屬性。
• 曲線是直線的充分必要條件是所有的控制點(diǎn)都位在曲線上。同樣的，貝茲曲線是直線的充分必要條件是控制點(diǎn)共線。
• 曲線的起始點(diǎn)（結(jié)束點(diǎn)）相切於貝茲多邊形的第一節(jié)（最後一節(jié)）。
• 一條曲線可在任意點(diǎn)切割成兩條或任意多條子曲線，每一條子曲線仍是貝茲曲線。
• 一些看似簡(jiǎn)單的曲線（如圓）無(wú)法以貝茲曲線精確的描述，或分段成貝茲曲線（雖然當(dāng)每個(gè)內(nèi)部控制點(diǎn)對(duì)單位圓上的外部控制點(diǎn)水平或垂直的的距離為 時(shí)，分成四段的貝茲曲線，可以小於千分之一的最大半徑誤差近似於圓）。
• 位於固定偏移量的曲線（來(lái)自給定的貝茲曲線），又稱(chēng)作偏移曲線（假平行於原來(lái)的曲線，如兩條鐵軌之間的偏移）無(wú)法以貝茲曲線精確的形成（某些瑣屑實(shí)例除外）。無(wú)論如何，現(xiàn)存的啟發(fā)法通常可為實(shí)際用途中給出近似值。

[編輯] 建構(gòu)貝茲曲線

[編輯] 線性曲線

線性貝茲曲線演示動(dòng)畫(huà)，t in [0,1]

線性貝茲曲線函數(shù)中的 t 會(huì)經(jīng)過(guò)由 P₀ 至 P₁ 的 B(t) 所描述的曲線。例如當(dāng) t=0.25 時(shí)，B(t) 即一條由點(diǎn) P₀ 至 P₁ 路徑的四分之一處。就像由 0 至 1 的連續(xù) t，B(t) 描述一條由 P₀ 至 P₁ 的直線。

[編輯] 二次曲線

為建構(gòu)二次貝茲曲線，可以中介點(diǎn) Q₀ 和 Q₁ 作為由 0 至 1 的 t：

• 由 P₀ 至 P₁ 的連續(xù)點(diǎn) Q₀，描述一條線性貝茲曲線。
• 由 P₁ 至 P₂ 的連續(xù)點(diǎn) Q₁，描述一條線性貝茲曲線。
• 由 Q₀ 至 Q₁ 的連續(xù)點(diǎn) B(t)，描述一條二次貝茲曲線。

二次貝茲曲線的結(jié)構(gòu)		二次貝茲曲線演示動(dòng)畫(huà)，t in [0,1]

[編輯] 高階曲線

為建構(gòu)高階曲線，便需要相應(yīng)更多的中介點(diǎn)。對(duì)於三次曲線，可由線性貝茲曲線描述的中介點(diǎn) Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲線描述的點(diǎn) R₀、R₁ 所建構(gòu)：

三次貝茲曲線的結(jié)構(gòu)		三次貝茲曲線演示動(dòng)畫(huà)，t in [0,1]

對(duì)於四次曲線，可由線性貝茲曲線描述的中介點(diǎn) Q₀、Q₁、Q₂、Q₃，由二次貝茲曲線描述的點(diǎn) R₀、R₁、R₂，和由三次貝茲曲線描述的點(diǎn) S₀、S₁ 所建構(gòu)：

四次貝茲曲線的結(jié)構(gòu)		四次貝茲曲線演示動(dòng)畫(huà)，t in [0,1]

（還可參閱五階貝茲曲線的構(gòu)成。）

[編輯] 應(yīng)用

[編輯] 電腦繪圖

貝塞爾曲線被廣泛地在計(jì)算機(jī)圖形中用來(lái)為平滑曲線建立模型。

二次和三次貝塞爾曲線最為常見(jiàn)

[編輯] 程式範(fàn)例

下列程式碼為一簡(jiǎn)單的實(shí)際運(yùn)用範(fàn)例，展示如何使用 C 標(biāo)出三次方貝茲曲線。注意，此處僅簡(jiǎn)單的計(jì)算多項(xiàng)式係數(shù)，並讀盡一系列由 0 至 1 的 t 值；實(shí)踐中一般不會(huì)這麼做，遞歸求解通常會(huì)更快速——以更多的記憶體為代價(jià)，花費(fèi)較少的處理器時(shí)間。不過(guò)直接的方法較易於理解並產(chǎn)生相同結(jié)果。以下程式碼已使運(yùn)算更為清晰。實(shí)踐中的最佳化會(huì)先計(jì)算係數(shù)一次，並在實(shí)際計(jì)算曲線點(diǎn)的迴圈中反複使用。此處每次都會(huì)重新計(jì)算，損失了效率，但程式碼更清楚易讀。

曲線的計(jì)算可在曲線陣列上將相連點(diǎn)畫(huà)上直線——點(diǎn)越多，曲線越平滑。

在部分架構(gòu)中，下以程式碼也可由動(dòng)態(tài)程式設(shè)計(jì)進(jìn)行最佳化。舉例來(lái)說(shuō)，dt 是一個(gè)常數(shù)，cx * t 則等同於每次反覆就修改一次常數(shù)。經(jīng)反覆應(yīng)用這種最佳化後，迴圈可被重寫(xiě)為沒(méi)有任何乘法（雖然這個(gè)過(guò)程不是穩(wěn)定數(shù)值的）。

/*
產(chǎn)生三次方貝茲曲線的程式碼
*/
typedef struct
{
float x;
float y;
}
Point2D;
/*
cp 在此是四個(gè)元素的陣列:
cp[0] 為起始點(diǎn)，或上圖中的 P0
cp[1] 為第一個(gè)控制點(diǎn)，或上圖中的 P1
cp[2] 為第二個(gè)控制點(diǎn)，或上圖中的 P2
cp[3] 為結(jié)束點(diǎn)，或上圖中的 P3
t 為參數(shù)值，0 <= t <= 1
*/
Point2D PointOnCubicBezier( Point2D* cp, float t )
{
float   ax, bx, cx;
float   ay, by, cy;
float   tSquared, tCubed;
Point2D result;
/* 計(jì)算多項(xiàng)式係數(shù) */
cx = 3.0 * (cp[1].x - cp[0].x);
bx = 3.0 * (cp[2].x - cp[1].x) - cx;
ax = cp[3].x - cp[0].x - cx - bx;
cy = 3.0 * (cp[1].y - cp[0].y);
by = 3.0 * (cp[2].y - cp[1].y) - cy;
ay = cp[3].y - cp[0].y - cy - by;
/* 計(jì)算位於參數(shù)值 t 的曲線點(diǎn) */
tSquared = t * t;
tCubed = tSquared * t;
result.x = (ax * tCubed) + (bx * tSquared) + (cx * t) + cp[0].x;
result.y = (ay * tCubed) + (by * tSquared) + (cy * t) + cp[0].y;
return result;
}
/*
ComputeBezier 以控制點(diǎn) cp 所產(chǎn)生的曲線點(diǎn)，填入 Point2D 結(jié)構(gòu)的陣列。
呼叫者必須分配足夠的記憶體以供輸出結(jié)果，其為 <sizeof(Point2D) numberOfPoints>
*/
void ComputeBezier( Point2D* cp, int numberOfPoints, Point2D* curve )
{
float   dt;
int	    i;
dt = 1.0 / ( numberOfPoints - 1 );
for( i = 0; i < numberOfPoints; i++)
curve[i] = PointOnCubicBezier( cp, i*dt );
}

另一種貝茲曲線的應(yīng)用是在動(dòng)畫(huà)中，描述物件的運(yùn)動(dòng)路徑等等。此處，曲線的 x、y 位置不用來(lái)標(biāo)示曲線，但用來(lái)表示圖形位置。當(dāng)用在這種形式時(shí)，連續(xù)點(diǎn)之間的距離會(huì)變的更為重要，且大多不是平均比例。點(diǎn)將會(huì)串的更緊密，控制點(diǎn)更接近每一個(gè)點(diǎn)，而更為稀疏的控制點(diǎn)會(huì)散的更開(kāi)。如果需要線性運(yùn)動(dòng)速度，進(jìn)一步處理時(shí)就需要循所需路徑將點(diǎn)平均分散。

[編輯] 有理貝茲曲線

有理貝茲增加可調(diào)節(jié)的權(quán)重，以提供更近似於隨意的形狀。分子是加權(quán)的伯恩斯坦形式貝茲曲線，而分母是加權(quán)的伯恩斯坦多項(xiàng)式的總和。

給定 n + 1 控制點(diǎn) P_i，有理貝茲曲線可如下描述：

或簡(jiǎn)單的

[編輯] 參閱

• de Casteljau算法
• 樣條
• 貝茲樣條
• 貝茲曲面
• 貝茲三角
• NURBS
• string art，Bézier curves are also formed by many common forms of string art, where strings are looped across a frame of nails.
• 埃爾米特曲線

[編輯] 參考文獻(xiàn)

• Paul Bourke: Bézier curves, http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/curves/bezier/
• Donald Knuth: Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Excellent discussion of implementation details; available for free as part of the TeX distribution.
• Dr Thomas Sederberg, BYU Bézier curves, http://www.tsplines.com/resources/class_notes/Bezier_curves.pdf
• J.D. Foley et al.: Computer Graphics: Principles and Practice in C (2nd ed., Addison Wesley, 1992)

posted on 2009-10-22 17:05 zmj 閱讀(5026) 評(píng)論(3)  編輯 收藏 引用