考慮直線x+y=n，其中n是一個素數(shù)。這條直線將恰好通過第一象限里的n-1個格點（如上圖，圖中所示的是n=11的情況）。將這n-1個點分別和原點相連，于是得到了n-2個灰色的三角形。仔細(xì)數(shù)數(shù)每個三角形內(nèi)部的格點數(shù)，你會發(fā)現(xiàn)一個驚人的事實：每個三角形內(nèi)部所含的格點數(shù)都是一樣多。這是為什么呢？

     Pick定理是說，在一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果一個多邊形的頂點全都在格點上，那么這個圖形的面積恰好就等于邊界上經(jīng)過的格點數(shù)的一半加上內(nèi)部所含格點數(shù)再減一。例如，上圖多邊形的邊界上有8個格點，內(nèi)部含有7個格點，那么其面積就等于8/2+7-1=10。我們曾經(jīng)在這里看到過一個非常神奇非常詭異的證明。這個定理有一些非常巧妙的應(yīng)用。在上面的問題里，所有三角形都是等底等高的，因此它們的面積都相等。另外，注意到x與y的和是一個素數(shù)，這表明x和y是互素的（否則x+y可以提出一個公因數(shù)d，與和為素數(shù)矛盾），也就是說(x,y)和原點的連線不會經(jīng)過其它格點。既然所有三角形的面積都相等，邊界上的格點數(shù)也相等，由Pick定理，我們就能直接得出每個三角形內(nèi)部的格點數(shù)也相等了。

     另一個有趣的問題則是，一個n*n的正方形最多可以覆蓋多少個格點？把這個正方形中規(guī)中矩地放在直角坐標(biāo)系上，顯然能夠覆蓋(n+1)^2個格點。貌似這已經(jīng)是最多的了，不過如何證明呢？利用Pick定理，我們能夠很快說明它的最優(yōu)性。注意到由于任兩個格點間最近也有一個單位的間距，再考慮到正方形的周長為4n，因此該正方形的邊界上最多有4n個格點。把正方形邊界上的格點數(shù)記作B，內(nèi)部所含格點數(shù)記為I，于是它所能覆蓋的總格點數(shù)等于I+B，由于I+B = I+B/2-1 + B/2+1 ≤ n^2 + 4n/2 + 1 = (n+1)^2，結(jié)論立即得證。

     一個東西最出神入化的運用還是見于那些與它八桿子打不著的地方。Farey序列是指把在0到1之間的所有分母不超過n的分?jǐn)?shù)從小到大排列起來所形成的數(shù)列，我們把它記作F_n。例如，F(xiàn)_5就是

0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1

     Farey序列有一個神奇的性質(zhì)：前一項的分母乘以后一項的分子，一定比前一項的分子與后一項分母之積大1。用Pick定理來證明這個結(jié)論異常簡單。把分母不超過n的每一個0和1之間的分?jǐn)?shù)都標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系上，例如0/1就對應(yīng)點(1,0)，1/5就對應(yīng)點(5,1)。考慮一根從原點出發(fā)的射線由x軸正方向逆時針慢慢轉(zhuǎn)動到y(tǒng)軸正方向，這根射線依次掃過的標(biāo)記點恰好就是一個Farey序列（因為Farey序列相當(dāng)于是給每個標(biāo)記點的斜率排序）。考慮這根射線掃過的兩個相鄰的標(biāo)記點，它們與原點所組成的三角形面積一定為1/2——由于分?jǐn)?shù)都是最簡分?jǐn)?shù)，因此它們與原點的連線上沒有格點；又因為這是射線掃過的兩個相鄰的標(biāo)記點，因此三角形內(nèi)部沒有任何格點。另外注意到，由于三角形面積等于叉積的一半，因此兩個點(m,n)和(p,q)與原點組成的三角形面積應(yīng)該為(mq-np)/2。于是，對于Farey序列的兩個相鄰分?jǐn)?shù)n/m和q/p，我們有(mq-np)/2 = 1/2，即mq-np=1。