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模擬世界1----物理引擎概述

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                 模擬世界1----物理引擎概述 by no5
                                             This doc is free as long as the auther is mentioned.

        第零節(jié). "Make it real." ----某公司廣告語。
        對(duì)于大多數(shù)玩家來說，也許是HalfLife2第一次把"物理"這個(gè)詞和3D游戲聯(lián)系起來。按部就
班升級(jí)的3D圖形效果突然被注入了一種鮮活的元素。物理效果從被玩家廣泛認(rèn)知起，就注定成為下
一代主流視頻游戲中不可或缺的組成部分。我們不妨來看看主流游戲引擎，Unreal3集成了Ageia的
PhysX,Source2似乎也用PhysX,至于大明星Camark的作品，你要相信他是不可能甘于落后的。
        然而在國內(nèi)，除了Ageia公司的商業(yè)推動(dòng)以外，我們很少能看到有這方面的學(xué)習(xí)和研究。所
以我打算出品一個(gè)"模擬世界"系列，寫一點(diǎn)介紹性質(zhì)的文章，翻譯一些經(jīng)典的論文。一方面作為自
己學(xué)習(xí)的總結(jié)與加深，另一方面也算是為中國的游戲制作圈做點(diǎn)貢獻(xiàn)----如果你認(rèn)為我有這么偉大
的話。(鄭重聲明1我很懶，鄭重聲明2我不資深)

        第一節(jié). Hello, simulation world!
        我們從這樣一個(gè)場(chǎng)景開始：包含重力的二維世界，一個(gè)水平線作為地面，一個(gè)圓作為我們要
模擬的動(dòng)態(tài)物體，暫不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)。我想稍微懂得編程的人都能把這個(gè)場(chǎng)景模擬出來：
         用一個(gè)二維的向量代表圓的速度: vel.
         另一個(gè)二維的向量代表圓的位置: pos.
         for every time_step:
        ｛
            vel += gravity_acceleration * time_step;
            pos += vel * time_step;
         ｝
         這樣就OK了？哦，還要加入對(duì)地面的碰撞處理,變成這樣：
         for every time step:
        ｛
           if(circle penetrate the ground):
                vel.y = -vel.y;
            vel += gravity_acceleration * time_step;
            pos += vel * time_step;
         ｝
這樣，一個(gè)最簡(jiǎn)單的物理模擬器就完成了，當(dāng)然你可以設(shè)置任意的初始位置與速度。如果你真的實(shí)現(xiàn)
出來，并把場(chǎng)景畫出來，就可以看到小球在地上蹦的效果了。

        第二節(jié). Show me the real stuff!
        我清楚你的想法，上面的東西的確弱智了點(diǎn)。(就像面試時(shí)要我打印Fibonacci，我就想只寫
上"你丫不是讓我遞歸吧") 不過我的hello world不是僅僅用來愚弄大眾的，從小老師就告訴我們，
小故事大道理嘛。從上面的例子我們可以得出以下結(jié)論：
        從一個(gè)角度來說，物理模擬分為兩部分，碰撞檢測(cè)和模擬計(jì)算。你要模擬的東西不是單獨(dú)的，
而是充分交互的，或者說交互才是模擬的核心。既然要交互，碰撞檢測(cè)是必不可少的部分，實(shí)際
上，就代碼量而言，一個(gè)物理引擎所包含的碰撞檢測(cè)的代碼一般都會(huì)多于模擬計(jì)算的代碼。因?yàn)?br>相對(duì)來說，后者所面對(duì)的問題要單純一些。
        從另一個(gè)角度來說，物理模擬還是分成兩部分，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)求解。其實(shí)這也是用數(shù)學(xué)處
理實(shí)際問題的一般規(guī)律。在上面的例子中，我們建立好2D空間，位置，速度的數(shù)學(xué)表示，是建模
的過程；而在每個(gè)time_step中，對(duì)速度和位置的改變(包括碰撞時(shí)的改變)，則是求解的過程。比
如說為什么碰撞的時(shí)候，把Y向速度反向呢？因?yàn)檫@就是求解的結(jié)果。(當(dāng)然這個(gè)結(jié)果是非常粗糙
甚至是在某些情況下有問題的)
        好了，廢話終于說完了，進(jìn)入正題。(首先聲明，本文所討論的只是剛體的模擬，至于其他
的高級(jí)的(或者稱為不太普及的)模擬，如粒子，布料，暫不涉及。) 現(xiàn)在我預(yù)感到有些同學(xué)將在下
面的閱讀過程中關(guān)掉瀏覽器，因?yàn)樗麄冇X得太"專業(yè)"了或者沒有深入了解的興趣。為了對(duì)這些同學(xué)所
付出的閱讀時(shí)間有所交代，我決定專門為他們寫個(gè)結(jié)尾："在模糊掉很多細(xì)節(jié)的前提下，物理引擎的
工作流程是這樣,模擬是一楨一楨的進(jìn)行的，每楨中，對(duì)所有的物體進(jìn)行檢測(cè)，找出相交互的物體以
及交互的細(xì)節(jié)，并根據(jù)這些信息，通過牛頓力學(xué)原理，對(duì)每個(gè)物體計(jì)算出新的速度，然后利用速度去
更新物體的方位。"
        現(xiàn)在大部分同學(xué)都走了，后排的同學(xué)可以往前面坐坐。
        以下部分的最低系統(tǒng)要求為大學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)普通物理力學(xué)以及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基本概念。推薦
配置再加上計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和較高級(jí)的理論力學(xué)知識(shí)。首先說說約束(constraint)這個(gè)概念，標(biāo)準(zhǔn)的定
義可以去參考理論力學(xué)課本。大概就是指兩個(gè)剛體間的相互牽制，比如說桌子和桌子上的茶杯間的牽
制，活塞和氣缸間的牽制。正是有了約束才使得物理模擬成為一個(gè)課題，否則按照最基本的幾個(gè)力學(xué)
公式就可以完美模擬剛體了。所以求解約束是物理模擬的核心內(nèi)容。當(dāng)然在求解之前，第一部是對(duì)約
束進(jìn)行建模。而約束又可以分為兩類，一類是如鉸鏈，活塞等"人為"的約束，被稱之為Joint,這類約
束建模的已知條件是很清晰的。另一類則是在物體在碰撞或接觸時(shí)產(chǎn)生的約束，這類約束建模則依賴
于碰撞檢測(cè)。也就是說后一類的約束，要想得到求解，跟前一類不在一個(gè)起跑線上----它先要過碰撞
檢測(cè)這道關(guān)。所以我們要照顧照顧它，先談?wù)勁鲎矙z測(cè)。
        碰撞檢測(cè)本身就是個(gè)大題目，涉及到一些基本概念請(qǐng)參考wiki, 本文會(huì)對(duì)其中一些給出幫助
理解性的解釋。一般物理引擎支持的Shape有：簡(jiǎn)單Shape如Shpere和Box，Convex，TriangleMesh
(Concave)。其碰撞檢測(cè)一般分成三個(gè)部分，粗測(cè)階段(BroadPhase)，細(xì)測(cè)階段(NarrowPhase)和中間
階段(MiddlePhase),請(qǐng)注意這些名詞的中文翻譯都是我自己想的，其目的僅僅是為了幫助理解，那些
翻譯出來對(duì)理解沒有幫助的我就不翻了，還望各老師同學(xué)理解。你可能要問為什么我不把MiddlePhase
排在中間呢，這是因?yàn)樗麅H僅針對(duì)TriangleMesh這種Shape，后面詳述。所謂BroadPhase,就是對(duì)所有
的Shape進(jìn)行初步檢測(cè)，具體做法是檢測(cè)每?jī)蓚€(gè)Shape的包圍盒是否相交，是則送入下一階段處理。這
里的包圍盒一般是AABB，原因顯然是它的性價(jià)比最好。下一步就是NarrowPhase了，這時(shí)，我們必須
根據(jù)不同類型的Shape給出不同的算法。比如你要支持Sphere和Box兩種Shape的話，就需要實(shí)現(xiàn)
Sphere_vs_Sphere, Sphere_vs_Box, Box_vs_Box三種算法。顯然，如果你要支持多種Shape，你的算
法數(shù)量將是很大的。某些簡(jiǎn)單Shape間的檢測(cè)是相對(duì)簡(jiǎn)單的如Sphere_vs_Sphere,Sphere_vs_Box，但
并不是所有的都如此。所幸的是有一些通用的算法，如SAT和GJK。SAT支持所有的Convex Polyhedron
,而GJK更強(qiáng)大，支持所有的Convex。因?yàn)橐话愫?jiǎn)單Shape都是Convex，所以你如果打算只支持Convex
的話，一個(gè)GJK算法就滿足你的需要了?；蛘呶覀兛梢哉fGJK處理不了的只有TriangleMesh了，由于
TriangleMesh一般比較大，我們需要借助BVH，找到每一個(gè)可能與其他Shape碰撞的Triangle，再進(jìn)行
精確檢測(cè)。而這個(gè)中間過程就是所謂MiddlePhase。本段中提及的關(guān)鍵算法，均將在下節(jié)中有詳述。
        其實(shí)上面的討論中都忽略了一個(gè)事實(shí)，就是在物理引擎中，碰撞檢測(cè)的工作并不是到找到哪
些Shape相交就結(jié)束了。還有很多工作要做，我們要選取合適的碰撞點(diǎn)，對(duì)每個(gè)碰撞點(diǎn)要得到法線，
相交深度等信息。這些也在下節(jié)中繼續(xù)討論。
        好了，現(xiàn)在我們得到了碰撞信息，兩種約束站在了同一起跑線上，讓我們回到約束求解這個(gè)
核心問題上來吧。我們求解約束，所希望的結(jié)果是什么呢？簡(jiǎn)單的說是新的物理狀態(tài)，速度，位移。
你既可以先求出約束力，然后通過約束力更新這些狀態(tài)，也可以直接算出這個(gè)約束所產(chǎn)生的沖量，直
接施加于剛體。
         對(duì)于每個(gè)約束，我們都能給出位移約束方程。比如說兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的距離固定，那么約束方程
就是 (r1 - r2)Dot(r1 - r2) = L*L。當(dāng)然這個(gè)是最簡(jiǎn)單的情形，剛體的約束方程要比質(zhì)點(diǎn)復(fù)雜，而
且各種不同的約束自然有各種不同的約束方程。而約束方程是求解的起點(diǎn)，或者說直接或間接的，你
都是通過約束方程和物理公式，算出了約束力或者沖量。而在各種求解的算法中，最關(guān)鍵的一個(gè)概念
就是約束的雅可比(Jacobian)，又叫雅可比矩陣。它的得出很簡(jiǎn)單，就是對(duì)約束方程求導(dǎo)。比如在上面
例子中的約束方程，如果將這個(gè)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將會(huì)得到什么呢？一個(gè)速度方程。然后把這個(gè)方程
中的速度V分離出來，并整理成矩陣相乘的形式:J*V=0，這樣得到的這個(gè)J矩陣就是這個(gè)約束的雅可比
矩陣。以雅可比為基礎(chǔ)，目前主要有兩種求解實(shí)現(xiàn)，分別是PGS求解LCP，和Sequential-Impulse
/ Impulse-Based。同上面一樣，欲知具體算法如何，且聽下回分解。

posted on 2008-01-09 17:44 楊粼波閱讀(544) 評(píng)論(0) 編輯收藏引用

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