周知aes有限域同構(gòu)于系數(shù)為F2域一元多項(xiàng)式環(huán)的商環(huán)，其理想由不可約多項(xiàng)式m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1生成，即F2^8≌F2[x]/(m(x))。這次進(jìn)一步用域擴(kuò)張的觀點(diǎn)分析，可以得知F2[x]/(m(x))正是包涵m(x)零點(diǎn)的擴(kuò)域，設(shè)為K。那么如何理解？
令I(lǐng)=(m(x))，則K=F2[x]/I，理解關(guān)鍵是找出m(x)在K上的零點(diǎn)，以及K怎樣包涵F2？
1. 零點(diǎn)為~x。這里用~g(x)表示多項(xiàng)式在K中的陪集，即~g(x)=g(x)+I，所以~x=x+I。把~x代入m(x)，根據(jù)商環(huán)定義的加乘運(yùn)算，代換結(jié)果為m(x)+I=~m(x)=~0（~0是K的零元）。那么還有嗎？比如~(x+a)（a非0），~x^2，代入這些得到的陪集代表不等于m(x)，所以不是零點(diǎn)。因此零點(diǎn)是唯一的一次多項(xiàng)式x之陪集
2. 構(gòu)造映射σ，把0對到K中的零多項(xiàng)式即~0，1對到K中的常數(shù)多項(xiàng)式即~1，且σ(0+1)=~1=~0+~1=σ(0)+σ(1)，σ(0*1)=~0=~0*~1=σ(0)*σ(1)，又依多項(xiàng)式比較法則得~0不等于~1，故σ是單同態(tài)，K包涵F2
小結(jié)：商群、商環(huán)、商域類似模同余之剩余系，理解這些結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵是深入理解等價類、陪集，進(jìn)而可理解正規(guī)子群、理想，最后就是商X之類的東西
posted on 2023-09-07 06:39
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